河南省鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 袁曉華

關(guān)于二元初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)性問(wèn)題的分析

河南省鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 袁曉華

函數(shù)連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)中重要的概念，但二元初等函數(shù)在定義域上的連續(xù)性的判斷一直是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)?；谶@種認(rèn)識(shí)，本文首先對(duì)定義域和定義區(qū)域進(jìn)行了區(qū)分，然后對(duì)二元函數(shù)的連續(xù)性定義和二元初等函數(shù)在定義域上的連續(xù)性問(wèn)題展開(kāi)了分析，從而為關(guān)注這一話題的人們提供參考。

二元初等函數(shù)；定義域；連續(xù)問(wèn)題

在多數(shù)數(shù)學(xué)教材中，既沒(méi)有明確進(jìn)行定義域和定義區(qū)域的區(qū)別論述，同時(shí)也未對(duì)二元初等函數(shù)的連續(xù)性進(jìn)行具體敘述。在這種情況下，學(xué)生學(xué)習(xí)多元函數(shù)連續(xù)性問(wèn)題時(shí)常常感到困惑，從而無(wú)法較好地完成相關(guān)問(wèn)題的理解。因此，相關(guān)人員還應(yīng)該對(duì)二元初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)性問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步分析。

一、二元初等函數(shù)的定義域和定義區(qū)域的區(qū)分

二元初等函數(shù)連續(xù)性的討論都圍繞著定義區(qū)域和定義域進(jìn)行。比如在分析基本初等函數(shù)時(shí)，就會(huì)指出其在定義域內(nèi)是連續(xù)的。但是在敘述多元初等函數(shù)時(shí)，則需要指明其是在定義區(qū)域內(nèi)保持連續(xù)。所以在分析二元初等函數(shù)連續(xù)性之前，還應(yīng)該了解定義區(qū)域和定義域的區(qū)別，以便幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)多元初等函數(shù)。所謂的定義區(qū)域，就是在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。比如在將使算式有意義的點(diǎn)集當(dāng)成是函數(shù)的自然定義域時(shí)，其定義區(qū)域就是包含定義域的連通閉集或開(kāi)集。因此，定義區(qū)域范圍更大，與定義域有明顯區(qū)別。

二、二元初等函數(shù)在其定義域上的連續(xù)性問(wèn)題

1.二元函數(shù)的連續(xù)性定義

2.定義域上二元初等函數(shù)的連續(xù)性分析

由二元初等函數(shù)的定義可知，二元初等函數(shù)是利用一個(gè)式子表示的二元函數(shù)，所以其肯定為二元函數(shù)，也遵循二元函數(shù)的連續(xù)性定義。分析二元函數(shù)在定義域的連續(xù)性定義可以發(fā)現(xiàn)，其中并未對(duì)函數(shù)在一點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)集的連續(xù)性進(jìn)行定義，并且也未對(duì)函數(shù)在孤立點(diǎn)上的連續(xù)性進(jìn)行定義。而D的內(nèi)點(diǎn)就是D的聚點(diǎn)，D的界點(diǎn)既有可能為D的聚點(diǎn)，也有可能為D的孤立點(diǎn)，在定義域D內(nèi)，無(wú)論（x0，y0）為內(nèi)點(diǎn)還是界點(diǎn)，想要了解函數(shù)在該點(diǎn)是否連續(xù)，還要確保（x0，y0）為D的聚點(diǎn)。所以，如果定義域內(nèi)存在孤立點(diǎn)，就是函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。因此，二元初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論將被定義域中含有孤立點(diǎn)所打破。

3.二元初等函數(shù)在定義域上連續(xù)性定義

通過(guò)分析二元初等函數(shù)在定義域上的連續(xù)性可以發(fā)現(xiàn)，二元初等函數(shù)即便在點(diǎn)集上有定義，但是卻不一定在該點(diǎn)集上保持連續(xù)，所以，利用二元函數(shù)的連續(xù)性定義判定二元初等函數(shù)在定義域上保持連續(xù)，無(wú)法準(zhǔn)確進(jìn)行二元初等函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題的敘述。由上面的例子可知，可以認(rèn)為二元初等函數(shù)在除去孤立點(diǎn)的定義域上將保持連續(xù)，所以，根據(jù)這些內(nèi)容，還應(yīng)該對(duì)二元函數(shù)的連續(xù)性定義進(jìn)行補(bǔ)充，從而更好地判斷二元初等函數(shù)在定義域上的連續(xù)性。具體來(lái)講，就是設(shè)點(diǎn)集D上函數(shù)f（x，y）有定義，并且在點(diǎn)集D上存在有點(diǎn)A（x0，y0）為D的界點(diǎn)，在ε＞0，且ξ＞0的條件下，如果A（x，y）∈∪（A0，ξ）∩D時(shí)，|f（x，y）-f（x0，y0）|＜ε，則可以認(rèn)為函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)A0處保持連續(xù)，也可以敘述為函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)A0相對(duì)D上保持連續(xù)。在這一定義中，點(diǎn)A0為定義域D的孤立點(diǎn)，在∪（A0，ξ），由于ε＞0，且ξ＞0，所以除A0外的D中其他點(diǎn)不在∪（A0，ξ）內(nèi)。而由于|f（A）-f（A0）|=|f（x，y）-f（x0，y0）|=0＜ε，因此可以證明孤立點(diǎn)Ao處的函數(shù)f（x，y）保持連續(xù)。在平時(shí)的分析中，通常稱(chēng)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)為完全連續(xù)，所以，如果函數(shù)在該點(diǎn)完全連續(xù)，其在該點(diǎn)相對(duì)于包含點(diǎn)的任何點(diǎn)集也將保持連續(xù)。實(shí)際上，對(duì)所有的多元初等函數(shù)來(lái)講，函數(shù)在定義區(qū)域上是連續(xù)的，都不能說(shuō)明其在定義域上也是連續(xù)的。對(duì)二元初等函數(shù)在定義域的連續(xù)性問(wèn)題展開(kāi)分析，能夠幫助學(xué)生更好的理解多元初等函數(shù)的這一特性。

總之，通過(guò)分析定義域與定義區(qū)域的區(qū)別，并且分析二元函數(shù)的連續(xù)性定義，可以發(fā)現(xiàn)二元函數(shù)在定義域上保持連續(xù)的結(jié)論并不成立，但其在定義區(qū)域上具有一定的連續(xù)性。因此，相信本文對(duì)二元初等函數(shù)在其定義域上的連續(xù)性問(wèn)題展開(kāi)的分析，可以為相關(guān)研究的開(kāi)展提供指導(dǎo)。

[1]劉暢，史書(shū)陽(yáng).在判別二元函數(shù)連續(xù)性時(shí)學(xué)生常犯的錯(cuò)誤[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2008（23）：133.

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袁曉華（1985）女，漢族，河南項(xiàng)城人，學(xué)位：碩士，職位：教師，職稱(chēng)：助教，研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)】