◇ 江蘇 孫 華

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

◇ 江蘇 孫 華

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想之一,解題中運用分類討論思想的前提是“分類”,科學(xué)分類具有不重、不漏的原則.下面就解題中需要分類的常見類型,進行歸納總結(jié).

1 按變量以及參數(shù)范圍進行分類

通常情況下,含有參數(shù)與變量的數(shù)學(xué)問題,大部分需要運用分類討論思想方能解答.學(xué)生在解決此類問題時,應(yīng)考慮參數(shù)以及變量的變化對問題產(chǎn)生的影響,按照題目要求對變量以及參數(shù)范圍進行分類之后再逐類解決問題.

例1角α的頂點為原點O,始邊為x軸的正半軸.若角α的終邊上存在一點P(2t,－4t),且t不等于0,求tanα以及sinα的值.

解析

角α終邊上點的坐標(biāo)為參數(shù)形式,因此需按照問題要求對參數(shù)進行分類.

2 按題目設(shè)定條件進行分類

部分題目中給定條件的分類信息較為明顯,學(xué)生解決此類問題應(yīng)按照題目設(shè)定條件給出的類別進行分類與解答,避免出現(xiàn)答案不全面的問題.

例2設(shè)將某圓柱的側(cè)面展開,可得寬為2cm、長為4cm的矩形,求該圓柱體積.

解析

本題中含有隱藏條件,即用該矩形可圍成2種體積不等的圓柱.一種是將長作為圓柱高,另一種是將寬作為圓柱高.

3 根據(jù)概念進行分類

部分題目沒有明顯的分類信息,而是將分類信息隱藏于題目當(dāng)中,考查考生對概念的掌握程度.如學(xué)生在遇到帶有絕對值的問題時,即使題目沒有要求進行分類,仍需對題目進行分類.

例3求函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2值域.

解析

函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2與x軸的交點分別為x＝－1以及x＝2.因此x＝－1、x＝2即為分類討論的界點.將定義域R分為3類:x＜1,－1≤x≤2,x＞2.

當(dāng)x＜1時,得函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝－2x－1.

當(dāng)－1≤x≤2時,得函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝1.

當(dāng)x＞2時,得函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝2x－3.

在同一坐標(biāo)系中,繪制各段函數(shù)圖象,便能夠求出函數(shù)值域為[1,＋∞).

4 按照數(shù)學(xué)定理、公式以及性質(zhì)進行分類

高中數(shù)學(xué)中部分問題與所學(xué)定理、公式以及性質(zhì)有密切聯(lián)系.若題目條件發(fā)生變化,則所得結(jié)果也會相應(yīng)產(chǎn)生變化.因此在解決該類問題時,便應(yīng)將定理、公式以及性質(zhì)作為分類依據(jù).

再如對數(shù)函數(shù)問題的解決往往也需要分類討論.通常情況下,對數(shù)函數(shù)y＝logax都是按照單調(diào)性進行分類討論.

其單調(diào)性變化有2種情況:0＜a＜1和a＞1.

例4解不等式log＞－1.x

解析

若0＜x＜1,有＜;若x＞1,有＞.解得0＜x＜1或x＞3.

分類討論思想是學(xué)生在解答問題中較為常用的思想,能夠提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.教師在進行專題復(fù)習(xí)時,應(yīng)加強鍛煉學(xué)生分類討論能力.

(作者單位:江蘇省如皋市第二中學(xué))