時(shí)杰

（江蘇省蘇州市南京師范大學(xué)強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)院）

函數(shù)列的收斂與一致收斂

時(shí)杰

（江蘇省蘇州市南京師范大學(xué)強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)院）

從收斂和一致收斂的概念出發(fā)，討論數(shù)學(xué)分析中函數(shù)列的收斂與一致收斂的關(guān)系，這為如何掌握并進(jìn)一步研究函數(shù)列的收斂與一致收斂問題提供了方法。

函數(shù)列；收斂；一致收斂

函數(shù)列收斂與一致收斂理論是數(shù)學(xué)分析中的重要概念之一，同時(shí)也是教與學(xué)的難點(diǎn)。但是學(xué)生往往對(duì)定義理解不透徹，生搬硬套“ε-N”語言，加之各種版本的數(shù)學(xué)分析教科書將函數(shù)列的收斂問題與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題放在一起，使得教與學(xué)更為困難。本文從實(shí)數(shù)數(shù)列的收斂問題中引出函數(shù)列的收斂，進(jìn)而引出一致收斂，逐步推進(jìn)，使得這部分內(nèi)容更易學(xué)習(xí)并掌握。

實(shí)數(shù)序列的收斂問題是定義在實(shí)數(shù)集上的，其實(shí)函數(shù)序列的收斂性也是如此，函數(shù)序列的收斂性反映的是函數(shù)列在點(diǎn)集上的局部性質(zhì)，也就是說，函數(shù)列在點(diǎn)集上的收斂性就是實(shí)數(shù)序列的收斂問題。下面就從這個(gè)角度討論函數(shù)列的收斂與一致收斂問題。

一、收斂的幾個(gè)定義

實(shí)數(shù)列的收斂性定義

幾何上，xn→a的意思是：數(shù)軸上跳動(dòng)的點(diǎn)xn與定點(diǎn)a之間的距離，隨著n的無限變大而無限變小，無論ε是怎樣小的數(shù)，做點(diǎn)a的ε鄰域（a-ε，a+ε），跳動(dòng)的點(diǎn)遲早有一次將跳進(jìn)去，再也跳不出來，這個(gè)次數(shù)便可作為N。

那么是否能根據(jù)正數(shù)ε找到一個(gè)公共的N，使得N只與ε有關(guān)，不妨記為N（ε），對(duì)此我們引進(jìn)比點(diǎn)點(diǎn)收斂更強(qiáng)一點(diǎn)的收斂概念，那就是一致收斂，定義如下：

注7和注8可以類比實(shí)數(shù)序列與子序列的收斂關(guān)系，其實(shí)注7和注8便是對(duì)實(shí)數(shù)序列與子序列收斂關(guān)系的推廣。

下面僅給出注2、注3的簡(jiǎn)單證明：

證明注2：

證明注3：

二、一致收斂的幾個(gè)等價(jià)命題

命題1（一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)則）

命題1等價(jià)于如下命題：

用命題1和命題2進(jìn)行判別的優(yōu)勢(shì)在于不需要知道極限函數(shù)是什么，只是根據(jù)函數(shù)列本身的特點(diǎn)來判斷函數(shù)列是否一致收斂。

以上內(nèi)容通過實(shí)數(shù)列的收斂引出函數(shù)列的收斂、一致收斂以及一致收斂的等價(jià)命題，據(jù)此我們可以研究數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂問題。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究過程中，函數(shù)列的收斂和一致收斂的證明是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn)。這些內(nèi)容更是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂的基礎(chǔ)。以上討論，為學(xué)習(xí)者理清了思路，幫助學(xué)習(xí)者掌握其中規(guī)律，增強(qiáng)對(duì)函數(shù)列收斂與一致收斂的概念理解。

［1］張宗達(dá).工科數(shù)學(xué)分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2008-01.

［2］鄭維行，王聲望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010-07.

［3］吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解［M］.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，1981.

［4］穆勇.關(guān)于函數(shù)列一致收斂的一個(gè)判定定理［J］.宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，29（2）：48.

·編輯 薛直艷