杜先存，林 杏，唐麗花

(紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199)

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關(guān)于橢圓曲線y2=qx(x2+32)的整數(shù)點

杜先存，林 杏，唐麗花

(紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199)

設(shè)q≡5(mod 8)為奇素數(shù)，主要利用Legendre符號值、同余、奇偶數(shù)的性質(zhì)等證明了橢圓曲線y2=qx(x2+32)僅有整數(shù)點(x,y)=(0,0).

橢圓曲線；整數(shù)點；同余；奇素數(shù)

長久以來，橢圓曲線的整數(shù)點一直是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何學(xué)中基本而又重要的問題，關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+b)(p,b∈Z+)的整數(shù)點問題，目前已有一些結(jié)果，主要集中在b=1，2,4,64.b=1時文獻[1-5]已進行了一系列研究；b=2時文獻[6-10]已進行了一系列研究；b=4時文獻[11]進行了一些研究；b=64時文獻[12]進行了一些研究.至今關(guān)于b=32的情況還沒有任何結(jié)論，所以本文主要利用初等方法對q為奇素數(shù)，b=32的情況進行了研究.

1 相關(guān)引理

引理1[13]對于素數(shù)p，方程X2-2p2Y4=1，X,Y∈N+僅當(dāng)p=2和3時分別有解(X,Y)=(3,1)和(17,2).

2 相關(guān)定理及證明

定理1如果q≡5(mod 8)為奇素數(shù)，則橢圓曲線:

y2=qx(x2+32)

(1)

僅有整數(shù)點(x,y)=(0,0).

qz2=x(x2+32)

(2)

因為gcd(x,x2+32)=gcd(x,8)=1或2或4或8或16或32，故(2)式可分解為以下12種情況：

情形Ⅰx=a2，x2+32=qb2，z=ab

情形Ⅱx=qa2，x2+32=b2，z=ab

情形Ⅲx=2a2，x2+32=2qb2，z=2ab

情形Ⅳx=2qa2，x2+32=2b2，z=2ab

情形Ⅴx=4a2，x2+32=4qb2，z=4ab

情形Ⅵx=4qa2，x2+32=4b2，z=4ab

情形Ⅶx=8a2，x2+32=8qb2，z=8ab

情形Ⅷx=8qa2，x2+32=8b2，z=8ab

情形Ⅸx=16a2，x2+32=16qb2，z=16ab

情形Ⅹx=16qa2，x2+32=16b2，z=16ab

情形Ⅺx=32a2，x2+32=32qb2，z=32ab

情形Ⅻx=32qa2，x2+32=32b2，z=32ab

其中g(shù)cd(a,b)=1，a,b∈Z+.

下面分別討論這12種情形下橢圓曲線(1)的正整數(shù)點的情況.

情形Ⅰ 由x=a2，x2+32=qb2及gcd(a,b)=1得x為奇數(shù)，因此x2+32也是奇數(shù).故由x=a2知a為奇數(shù)，因此x=a2≡1(mod 8)，所以x2+32≡1(mod 8).又q為奇素數(shù)，x為奇數(shù)，所以由x2+32=qb2知b為奇數(shù)，所以b2≡1(mod 8).因為q≡5(mod 8)為奇素數(shù)，則qb2≡5(mod 8)，則有1≡x2+32=qb2≡5(mod 8)，顯然不成立，因此情形Ⅰ不成立.故該情形方程(2)無整數(shù)解，則橢圓曲線(1)無整數(shù)點.

情形Ⅱ 由x2+32=b2得b2-x2=32，即(b+x)(b-x)=32，解得(b,x)=(±6,±2)，(±9,±7)，則由x=qa2=2，得q=2,a=1，與“q為奇素數(shù)”矛盾；由x=qa2=7，得q=7,a=1，與“q≡5(mod 8)為奇素數(shù)”矛盾，因此情形Ⅱ不成立.故該情形方程(2)無整數(shù)解，則橢圓曲線(1)無整數(shù)點.

情形Ⅲ 由x=2a2,x2+32=2qb2及q≡5(mod 8)為奇素數(shù)，知b為偶數(shù)所以b2≡0,4(mod 8)，因此2qb2≡0(mod 8).又gcd(a,b)=1，則a為奇數(shù)，故a2≡1(mod 8)，因此x=2a2≡2(mod 8)，所以x2+32≡4(mod 8)，因此有4≡x2+32=2qb2≡0(mod 8)，即4≡0(mod 8)，顯然不成立，因此情形Ⅲ不成立.故該情形方程(2)無整數(shù)解，則橢圓曲線(1)無整數(shù)點.

情形Ⅴ 由x=4a2，x2+32=4qb2及q≡5(mod 8)為奇素數(shù)，知b為偶數(shù)，故b2≡0,4(mod 8).又gcd(a,b)=1,而b為偶數(shù)，所以a為奇數(shù).將x=4a2代入x2+32=4qb2得16a4+32=4qb2，即:

4a4+8=qb2

(3)

對式(3)兩邊同時取模q得:

4a4≡-8(modq)

(4)

情形Ⅶ 由x=8a2及x2+32=8qb2知b為偶數(shù)，故b2≡0,4(mod8)，將x=8a2代入x2+32=8qb2得64a2+32=8qb2，即:

8a4+4=qb2

(5)

情形Ⅷ 將x=8qa2代入x2+32=8b2，得64q2a4+32=8b2，即：

8q2a4+4=b2

(6)

由式(6)可得b為偶數(shù)，可設(shè)b=2c，再將b=2c代入式(6)可得：

2q2a4+1=c2

(7)

因為a奇數(shù)，q≡5(mod8)為奇素數(shù)，則a2≡1(mod8)，q2≡1(mod8)，故式(7)為3≡2q2a4+1=c2≡0,1,4(mod8)，顯然不成立，所以情形Ⅷ不成立，故該情形方程(2)無整數(shù)解，則橢圓曲線(1)無整數(shù)點.

情形Ⅸ 將x=16a2代入x2+32=16qb2，得162a4+32=16qb2，即：

16a4+2=qb2

(8)

由式(7)得b為偶數(shù).又因為q≡5(mod8)為奇素數(shù)，則qb2≡0,4(mod8)，所以式(8)為2≡16a4+2=qb2≡0,4(mod8)，顯然不成立，故情形Ⅸ不成立，故該情形方程(2)無整數(shù)解，則橢圓曲線(1)無整數(shù)點.

情形Ⅹ 將x=16qa2代入到x2+32=16b2，得162q2a4+32=16b2，即：

16q2a4+2=b2

(9)

由式(8)得b為偶數(shù)，所以b2≡0,4(mod8)，因此有式(9)為2≡16q2a4+2=b2≡0,4(mod8)，顯然不成立，故該情形方程(2)無整數(shù)解，則橢圓曲線(1)無整數(shù)點.

情形Ⅺ 將x=32a2代入到x2+32=32qb2，得322a4+32=32qb2，即：

32a4+1=qb2

(10)

因為q≡5(mod8)為奇素數(shù)，由式(10)知b為奇數(shù)，所以b2≡1(mod8)，因此qb2≡5(mod8)，所以式(10)為1≡32a4+1=qb2≡5(mod8)，顯然不成立，所以情形Ⅺ不成立.

故該情形方程(2)無整數(shù)解，則橢圓曲線(1)無整數(shù)點.

情形Ⅻ 將x=32qa2代入到x2+32=32b2，得322q2a4+32=32b2，即32q2a4+1=b2，即：

b2-32q2a4=1

(11)

由引理1知方程(11)無正整數(shù)解，故該情形方程(2)無正整數(shù)解，則橢圓曲線(1)無正整數(shù)點.

又方程(11)有整數(shù)解(b,a)=(1,0)，此時x=32qa2=0，故該情形給出方程(2)的整數(shù)解(x,z)=(0,0).又y=qz=0，故橢圓曲線(1)有整數(shù)點(x,y)=(0,0).

綜上定理1得證.

[1] 祝輝林，陳建華.兩個丟番圖方程y2=nx(x2±1)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2007，50(5)：1071-1074.

[2] 樂茂華.橢圓曲線y2=px(x2±1)的正整數(shù)點[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008,29(3)：1-2.

[3] 管訓(xùn)貴.關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+1)的一個注記[J].四川理工學(xué)院(自然科學(xué)版)，2010，23(4)：384+393.

[4] 竇志紅.橢圓曲線y2=2px(x2+1)上正整數(shù)點的個數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011,27(2)：210-212+235.

[5] 楊海，付瑞琴.一類橢圓曲線有正整數(shù)點的判別條件[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013,29(4)：338-341.

[6] 廖思泉，樂茂華.橢圓曲線y2=px(x2+2)的正整數(shù)點[J].數(shù)學(xué)雜志，2009,29(3)：387-390.

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[8] 李玲，張緒緒.橢圓曲線y2=nx(x2+2)的整數(shù)點[J].西安工程大學(xué)學(xué)報，2011，25(3):407-409.

[9] 杜曉英.橢圓曲線y2=px(x2+2)在p≡1(mod8)時的正整數(shù)點[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2014,44(15):290-293.

[10] 張瑾.橢圓曲線y2=px(x2+2)有正整數(shù)點的判別條件[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)知，2015,45(4)：232-235.

[11] 崔保軍.橢圓曲線y2=px(x2+4)的正整數(shù)點[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014,32(6)：962-963.

[12] 崔保軍.橢圓曲線y2=px(x2+64)的正整數(shù)點[J].甘肅高師學(xué)報，2015,20(2):7-9.

[13] 廖思泉，樂茂華.橢圓曲線y2=qx(x2+32)的整數(shù)點[J].數(shù)學(xué)雜志,2009，29(3):388-389,387-390.

責(zé)任編輯：時 凌

The Integral Points on the Elliptic Curvey2=qx(x2+32)

DU Xiancun，LIN Xing，TANG Lihua

(College of Teacher Education,Honghe University,Mengzi 661199,China)

Letq≡5(mod 8) be odd prime,we proved that the elliptic curve in the title has only integer point (x,y)=(0,0) with the help of some properties of Legendre symbol,congruence,odd number and even number.

elliptic curve;integer point;congruence;odd prime

2016-09-22.

云南省教育廳科研基金(2014Y462)；紅河學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新項目(SZ1651)；紅河學(xué)院科研基金項目(XJ15Y22).

杜先存(1981- )，女，碩士，副教授，主要從事數(shù)論及數(shù)學(xué)教育的研究.

1008-8423(2016)04-0391-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.12.007

O156.1

A