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        關(guān)于亞交換群的對(duì)合交換圖

        2017-01-13 02:50:22譚延慶沈如林
        關(guān)鍵詞:自同構(gòu)子群延慶

        譚延慶,沈如林

        (湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

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        關(guān)于亞交換群的對(duì)合交換圖

        譚延慶,沈如林

        (湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

        對(duì)合交換圖是以群中2階元共軛類(lèi)為頂點(diǎn),兩頂點(diǎn)有邊當(dāng)且僅當(dāng)它們交換的圖.討論了亞交換群的對(duì)合交換圖結(jié)構(gòu).

        對(duì)合交換圖;群擴(kuò)張;亞交換群

        1 引言及結(jié)果

        設(shè)G是有限群,且X為G的一個(gè)二階共軛類(lèi),X在G中的對(duì)合交換圖ΓG(X)是指以X中元為頂點(diǎn),互異點(diǎn)x,y∈X有一條邊當(dāng)且僅當(dāng)xy=yx.稱(chēng)圖ΓG(X)為正則圖,如果ΓG(X)中每個(gè)頂點(diǎn)所連的邊數(shù)都相同.如果正則圖中每個(gè)頂點(diǎn)相連的邊數(shù)為k,則稱(chēng)為k-正則圖.特別,0-正則圖稱(chēng)孤立點(diǎn)圖.文獻(xiàn)[1-6]中分別研究了G為散在單群、有限Coxeter群、對(duì)稱(chēng)群及特殊線性群時(shí)對(duì)合交換圖ΓG(X)的結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[7]討論了亞循環(huán)2-群對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu).本文討論了亞交換群對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu).所謂亞交換群即交換群被交換群的擴(kuò)張.設(shè)A,B都是交換群,映射φ:B→Aut(A)為群同態(tài),函數(shù)f:B×B→A,滿足:

        這里?α,β,γ∈B,規(guī)定G為集合(B,A),并且在G中定義乘法:

        (α,a)(β,b)=(α+β,f(α,β)+aφ(β)+b),?(α,a),(β,b)∈G.

        則G是交換群A被交換群B的擴(kuò)張[8],記G=Ext(A,B;f,φ).本文中證明了:

        定理1設(shè)A,B均是交換群,G=Ext(A,B;f,φ),并設(shè)(α,a)為G中任意二階元,取A的子群H={-b+bφ(α)|b∈A},則(α,a)的共軛類(lèi)在G中的對(duì)合交換圖是(r-1)-正則的,r為所有陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中二階元的個(gè)數(shù)之和,β取遍B中所有元.

        2 定理1的證明

        任意取(β,b)∈G,結(jié)合上面的(1)式,有:(α,a)(β,b)=(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b),則二階元(α,a)的共軛類(lèi)可表示為(α,a)G={(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b)|β∈B,b∈A}.

        另外,若(β,b)∈CG(α,a),則:(α,a)(β,b)=(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b)=(α,a),即(α,a)的中心化子CG(α,a)={(γ,c)|γ∈B,c∈A,且f(α,γ)-f(γ,α)+aφ(γ)-cφ(α)+c=a}.

        考慮二階元(α,a)的中心化子與其共軛類(lèi)的交.由上述計(jì)算得到:

        (α,a)G∩CG(α,a)={(α,c)|b,c∈A,β∈B,c=f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b,且(a-c)φ(α)=a-c}.

        令集合H={-b+bφ(α)|b∈A},H是A的子群.(α,a)為G中取定二階元,交(α,a)G∩CG(α,a)中的元等價(jià)于陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中的二階元,即(α,c)∈(α,a)G∩CG(α,a)?2(a-f(α,β)+f(β,α)-aφ(β)+bφ(α)-b)=0.這是因?yàn)橛汕懊娴氖?1)可得:

        ?α,β∈B.聯(lián)立式(4)~(6)可得:

        (f(α,β)-f(β,α))φ(α)=f(β,α)-f(α,β)+f(α,α)φ(β)-f(α,α)

        (7)

        因?yàn)閏=f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b,陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中二階元滿足2(a-f(α,β)+f(β,α)-aφ(β)+bφ(α)-b)=0,即2(a-c)=0,也即a-c=c-a?(a-c)φ(α)=(a-f(α,β)+f(β,α)-aφ(β)+bφ(α)-b)φ(α)=(f(β,α)-f(α,β))φ(α)+aφ(α)-aφ(α+β)-bφ(α)+b=(f(β,α)-f(α,β))φ(α)-f(α,α)-a+f(α,α)φ(β)+aφ(β)-bφ(α)+b((α,a)二階元)=f(α,β)-f(β,α)-a+aφ(β)-bφ(α)+b(代入式(7))=c-a=a-c.定理1得證.

        3 特殊的亞交換群

        由定理1,要求交換群對(duì)交換群擴(kuò)張的對(duì)合交換圖,還需要解決交換群的自同構(gòu)群?jiǎn)栴}.文獻(xiàn)[9-10]給出了求有限交換p群的自同構(gòu)群的方法.具體內(nèi)容如下:

        進(jìn)一步,文獻(xiàn)[10]也給出了一般有限p群的自同構(gòu)群.設(shè)有限交換p群A的型為:

        其中m1>m2>…>mt≥1,Si>0.又設(shè)矩陣:

        例1若取A=Z8×Z2,B=Z2×Z2,G=Ext(A,B;f,φ),則G中對(duì)合交換圖為1-正則、2-正則和孤立點(diǎn)圖.

        故A有11個(gè)二階子群,且其與群Z2×Z2同構(gòu)的子群有:

        為便于討論,以下用表格來(lái)展示陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中二階元的情況及對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu),這里H={-b+bφ(α)|b∈A}.α固定,不妨設(shè)f(β,α)-f(α,β)=δ(x,y).由于f:B×B→A,因此可令δ(x,y)=(x,y)∈A.對(duì)于每個(gè)二階元(α,a),φ(β)取遍所有φ(B)的值.

        表1 φ(B)取時(shí)G中對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)Tab.1 The structure of the commuting involution graph of

        續(xù)表1:

        φ(α)Ha-aφ(β)f(α,α)δ(x,y)G中對(duì)合交換圖結(jié)構(gòu)5001()(0,0)(4,0)同上(2a0,0)(6x,0)=(-6a0,0)+(6a0,0)φ(β)?(6x,0)=(0,0)或(4a0,0)(0,0),(0,1),(4,0),(4,1),或6x≡4a0(mod8).同上3001()(0,0)(2,0)(4,0)(6,0)同上(4a0,0)(4x,0)=(-4a0,0)+(4a0,0)φ(β)?(4x,0)=(0,0)(0,0),(0,1),(2,0),(2,1),(4,0),(4,1),(6,0),(6,1)同上7001()(0,0)(2,0)(4,0)(6,0)同上(0,0)(0,0)=(0,0)恒成立.(x,y),x=0,1,…,7,y=0,1.同上

        表2 φ(B)取時(shí)G中對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)Tab.2 The structure of the commuting involution graph of

        表4 φ(B)取時(shí)G中對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)Tab.4 The structure of the commuting involution graph of

        表5 φ(B)取時(shí)G中對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)Tab.5 The structure of the commuting involution graph of

        同理,當(dāng)φ(B)取二階群時(shí),陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)可以取到(0,1),(4,0),(4,1)三個(gè)中的一個(gè)、兩個(gè)、或三個(gè).

        綜上所述,G中對(duì)合交換圖為1-正則、2-正則和孤立點(diǎn)圖.證畢.

        問(wèn)題亞交換群對(duì)合交換圖中每個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的邊數(shù)是否有上界?

        [1]BATES,BUNDYC,PERKINSD,etal.CommutinginvolutiongraphsforfiniteCoxetergroups[J].JournalofGroupTheory,2014,6(4):461-476.

        [2]GHOLAMINEZHADF.StructuresandTopologicalIndicesofCommuttingInvolutionGraphs[J].ElectronicNotesinDiscreteMathematics,2014,45(45):187-194.

        [3]BATESC,BUNDYD,HARTS,etal.Commutinginvolutiongraphsforsporadicsimplegroups[J].JAlgebra,2007,316(2):849-868.

        [4]BATESC,BUNDYD,PERKINSS,etal.CommutinginvolutiongraphsforfiniteCoxetergroups[J].JGroupTheory,2003,6(4):461-476.

        [5]BATESC,BUNDYD,PERKINSS.etal.Commutinginvolutiongraphsforsymmetricgroups[J].JAlgebra,2003,266(1):133-153.

        [6]BATESC,BUNDYD,PERKINSS.etal.Commutinginvolutiongraphsinspeciallineargroups[J].CommAlgebra,2004,32(11):4179-4196.

        [7] 譚延慶,沈如林.關(guān)于亞循環(huán)2-群的對(duì)合交換圖[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,34(1):20-23.

        [8] 徐明曜.有限群導(dǎo)引(上)[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

        [9] 俞曙霞.有限交換p群的自同構(gòu)群[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1983(2):90-95.

        [10] 華羅庚. 典型群[M].上海:上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1963.

        責(zé)任編輯:時(shí) 凌

        On Commuting Involution Graphs of Metabelian Groups

        TAN Yanqing,SHEN Rulin

        (School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

        For a group G and a conjugacy classXof an involution ofG,the commuting graphΓG(X) of G onX,is the graph whose vertex set isXand distinct verticesxandyhaving an edge if and only ifxy=yx. In this paper, we discuss the structure of the commuting involution graph of metabelian groups.

        commuting involution graph;group extension;metabelian group

        2016-11-02.

        國(guó)家自然科學(xué)基金地區(qū)項(xiàng)目(11201133).

        沈如林(1977- ),男,博士,副教授,主要從事有限群及代數(shù)編碼的研究.

        1008-8423(2016)04-0371-05

        10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.12.003

        O152

        A

        作者簡(jiǎn)介:譚延慶(1990- ),男(土家族),碩士生,主要從事群論的研究;*

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