石 磊，劉 華*，蔣 芮，魏玉梅

(1.西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030；2.西北民族大學(xué) 實(shí)驗(yàn)中心，甘肅 蘭州 730030)

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基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草入侵?jǐn)U散模型穩(wěn)定性分析

石 磊1，劉 華1*，蔣 芮1，魏玉梅2

(1.西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030；2.西北民族大學(xué) 實(shí)驗(yàn)中心，甘肅 蘭州 730030)

以干旱地區(qū)植物對(duì)水資源的競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境為背景，考慮根系的分布范圍，建立水資源代謝庫，進(jìn)而建立基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草與可食牧草種間競(jìng)爭(zhēng)模型.同時(shí)加入入侵?jǐn)U散作用，建立基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草入侵?jǐn)U散模型，并且運(yùn)用微分方程穩(wěn)定性理論對(duì)該模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析.研究表明：在入侵?jǐn)U散作用下，毒雜草與可食牧草的共存平衡點(diǎn)由一個(gè)增加為兩個(gè)，增加了共存的可能性.

入侵； 穩(wěn)定性；元胞自動(dòng)機(jī)

生物入侵是指生物由原分布區(qū)域經(jīng)由自然的或人為的途徑擴(kuò)展到一個(gè)新的區(qū)域，繁殖并維持下去.近現(xiàn)代以來，我國(guó)遭受生物入侵的損失比較嚴(yán)重，每年損失數(shù)千億元，尤其是入侵性植物對(duì)我國(guó)草原生態(tài)環(huán)境造成了很大的危害.毒雜草的入侵會(huì)破壞天然草場(chǎng)的生態(tài)平衡，從而使得可食牧草的生長(zhǎng)狀況惡化或者滅絕，這樣就會(huì)進(jìn)一步影響農(nóng)牧業(yè)的發(fā)展，而這是所有牧民不想看到的結(jié)果[1-5].因此，必須保護(hù)農(nóng)業(yè)生態(tài)環(huán)境發(fā)展的良好社會(huì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境.

鑒于以上情況，對(duì)生物種群的分布狀況和數(shù)量或密度的研究，在生物數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域中有著極其重要的意義.然而由于生物種群之間各種復(fù)雜的關(guān)系制約，要想獲得種群在特定時(shí)刻的準(zhǔn)確分布情況和數(shù)量或密度值，往往比較困難，甚至沒有完成的可能.因此，對(duì)與其等效的穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行研究，就有著非常重要的理論與應(yīng)用價(jià)值[3-6].

由于我國(guó)干旱缺水，并且水資源短缺.所以，怎樣更加合理的利用水資源，并且使其更好的為我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展服務(wù)便成為了亟待解決問題[7-8].為此，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)我國(guó)的水資源利用效率問題進(jìn)行了深入的研究[9-13].這些研究為解決我國(guó)水資源短缺、水質(zhì)污染嚴(yán)重等等水資源環(huán)境問題提供了幫助.

直至19世紀(jì)后期，科學(xué)家還在使用簡(jiǎn)單的挖掘采樣方法對(duì)植物根系進(jìn)行研究，這令人難以相信[14].近些年來隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)以及人們對(duì)根系研究的不斷深入,使得根系的研究方法有了很大的改進(jìn),特別是Matlab等計(jì)算機(jī)技術(shù)的使用，使根系的定量化研究有了極大的發(fā)展[14].眾所周知，根系不僅是植物固定和機(jī)械支撐的器官，同時(shí)，根系在水分和養(yǎng)分吸收、同化物分配方面也是至關(guān)重要的.直到20世紀(jì)70年代以后，隨著人們對(duì)生物地球循環(huán)過程的不斷探索和認(rèn)知，科學(xué)家對(duì)自然生態(tài)系統(tǒng)中植物根系的研究開始慢慢起步，對(duì)生物量的測(cè)定才逐漸進(jìn)入人們的視線[16].植物活性根的分布模式在決定最佳株行距、最佳配置模式及施肥方式方面具有重要的意義[17].植物細(xì)根的水平和垂直分布范圍是植物營(yíng)養(yǎng)能力的最基本體現(xiàn),同時(shí)決定著根系對(duì)地下資源(水肥)的利用效果.根系生物量的分布格局直接反映了樹種根系的分布特點(diǎn),同時(shí)也間接反映了根系在土層中吸收水養(yǎng)分的土層[18].

以干旱地區(qū)為背景，該地區(qū)日照充足，水分為限制植物生長(zhǎng)的關(guān)鍵因素，而植物汲取水分的主要器官為根系，其分布范圍決定了個(gè)體植物資源代謝庫的大小.本文考慮到根系的分布范圍，擬引入水資源代謝庫，進(jìn)而建立基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草與可食牧草種間競(jìng)爭(zhēng)模型.同時(shí)加入擴(kuò)散作用，建立基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草入侵?jǐn)U散模型.運(yùn)用微分方程穩(wěn)定性理論對(duì)該模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析.

1 基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草與可食牧草種間競(jìng)爭(zhēng)模型的建立

建立毒雜草與可食牧草為水分競(jìng)爭(zhēng)的個(gè)體生長(zhǎng)方程，兩物種的生長(zhǎng)是logistic增長(zhǎng).

(1)

把ω1(x)和ω2(y)代入競(jìng)爭(zhēng)方程：

(2)

將模型改寫為：

(3)

將模型(2)線性化，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A為：

令:

由文獻(xiàn)[22]可知，根據(jù)特征方程的系數(shù)p,q的正負(fù)很容易判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，若p>0,q>0則平衡點(diǎn)穩(wěn)定，則這4個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析見表1.

表1 種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 Tab.1 Equilibrium point and stability of population competition model

2 基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草入侵空間擴(kuò)散模型

在本文中，考慮毒雜草是外來物種，在生長(zhǎng)過程中會(huì)從密度高的斑塊向密度低的斑塊發(fā)生遷移，因此將單一斑塊的毒雜草與可食牧草擴(kuò)展的相互競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)展到二維網(wǎng)格平面，建立了毒雜草入侵空間擴(kuò)散模型.如果將本節(jié)模型(2)考慮成兩植物在單個(gè)斑塊中將產(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng)，同時(shí)物種在生長(zhǎng)過程中會(huì)從密度高的斑塊向密度低的斑塊發(fā)生遷移，引入擴(kuò)散項(xiàng)，建立斑塊間物種入侵空間擴(kuò)散模型，則模型具有如下形式:

(4)

其中:r1>0，r2>0，α>0，β>0，0<λ1<1，0<λ2<1.模型(4)為第(i,j)個(gè)斑塊毒雜草入侵空間擴(kuò)散模型，本模型中元胞自動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)采用馮諾依曼型，每個(gè)元胞有4個(gè)鄰體.yi,j為二維網(wǎng)格中第(i,j)個(gè)斑塊的生物量，該斑塊的鄰體斑塊生物量為yi-1,j(上鄰體)，yi+1,j(下鄰體)，yi,j-1(左鄰體)，yi,j+1(右鄰體).

同理，考慮外來植物物種從生物量高的斑塊向生物量低的斑塊發(fā)生入侵?jǐn)U散，第(i,j)個(gè)斑塊與鄰體斑塊的生物量差為yi-1,j-yi,j(以上鄰體為例).模型中(∑yi±1,j±1-4yi,j)項(xiàng)體現(xiàn)了第(i,j)個(gè)斑塊中毒雜草的鄰體對(duì)第(i,j)個(gè)斑塊的入侵?jǐn)U散作用，μ為擴(kuò)散系數(shù)[24-25].

3 基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草空間擴(kuò)散模型的穩(wěn)定性分析

研究與模型等效的穩(wěn)定狀態(tài)的數(shù)量或密度關(guān)系,具有重要的理論與應(yīng)用價(jià)值.

對(duì)于模型(4)，其平衡點(diǎn)有4個(gè)，如下:

P1(0,θ1)，P2(0,θ2)，p3(K1(1-δ1θ3),θ3)，p4(K1(1-δ1θ4),θ4).

其中:

令擴(kuò)散項(xiàng)μ(∑N2i±1,j±1-4N2i,j)為參數(shù)M.

定理1對(duì)模型(4)對(duì)應(yīng)的自治系統(tǒng)，

平衡點(diǎn)p3(K1(1-δ1θ3),θ3)的穩(wěn)定條件為：

平衡點(diǎn)p4(K1(1-δ1θ4),θ4)的穩(wěn)定條件為：

證明對(duì)于基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草空間擴(kuò)散模型，可以用近似線性方法判斷其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.在下面的證明中為簡(jiǎn)化符號(hào)，xi,j均記為X，yi,j均記為Y.

1)對(duì)于平衡點(diǎn)p1(0,θ1)，

模型(4)對(duì)應(yīng)的近似線性方程為：

由于:

所以：

則線性方程為：

系數(shù)矩陣為：

特征方程系數(shù)為：

3)對(duì)于平衡點(diǎn)p3(K1(1-δ1θ3),θ3)，

模型(4)對(duì)應(yīng)的近似線性方程為：

由于:

所以：

則線性方程為：

系數(shù)矩陣為：

特征方程系數(shù)為：

再由1-δ1θ3>0及q>0得:

2θ3-K2+δ2K1K2-2δ1δ2K1K2θ3>0，

即：

4 結(jié)論

在以上兩個(gè)模型中，模型(2)是毒雜草與可食牧草的水資源競(jìng)爭(zhēng)模型，該模型只考慮了當(dāng)兩個(gè)種群在同一個(gè)水資源環(huán)境中生存時(shí)它們的相互競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.而模型(4)是基于水資源競(jìng)爭(zhēng)的毒雜草入侵空間擴(kuò)散模型，該模型考慮到了毒雜草和可食牧草作為兩個(gè)物種在單個(gè)斑塊中將產(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng)，而且毒雜草是外來物種，在生長(zhǎng)過程中會(huì)從密度高的斑塊向密度低的斑塊發(fā)生遷移這一重要因素.可以說模型(4)是模型(2)的改進(jìn).所得到的結(jié)果中：沒有加入擴(kuò)散項(xiàng)時(shí)，模型(1)的4個(gè)平衡點(diǎn)包括零平衡點(diǎn)和毒雜草滅絕的平衡點(diǎn)以及一個(gè)共存的非零平衡點(diǎn)；加入擴(kuò)散項(xiàng)之后，模型的零平衡點(diǎn)和毒雜草滅絕的平衡點(diǎn)消失，而且毒雜草與可食牧草的共存的非零平衡點(diǎn)由一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè).說明在擴(kuò)散作用下，兩種群的可能出現(xiàn)兩種穩(wěn)定情況，而且毒雜草續(xù)存的可能性增加.

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責(zé)任編輯：時(shí) 凌

The Stability Analysis of Poisonous Weeds′ Invasion Model
Based on the Competition of Water Resources

SHI Lei1，LIU Hua1*,JIANG Rui1,WEI Yumei2

(1.School of Mathematics and Computer Science, Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,China;2.Experimental Center,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,China)

This paper takes the competitive environment as the background of plants for water in arid regions.Considering the range of root system distribution,we can build the water metabolic warehouse,then build the inter-species competition model of poisonous weeds,and edible grass based on competition of water resources.At the same time,to join the invasion of diffusion,we build the diffusion model of poisonous weeds′ invasion based on water resources competition,and then analyse its stability by using the stability theory of the ordinary differeatial equations. Research shows that under the influence of the invasion and diffusion,the coexistence equilibrium points of the poisonous weeds and the edible grass could be increased to two,which increased the possibility of coexistence.

invasion；stability；cellular automata

2016-11-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(31260098)；國(guó)家民委中青年英才計(jì)劃項(xiàng)目(〔2014〕121號(hào))；西北民族大學(xué)研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(Yxm2016124)；2013年西北民族大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目.

石磊(1989- )，男，碩士生，主要從事經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)與生態(tài)系統(tǒng)分析的研究；*

劉華(1977- )，男(回族)，教授，主要從事生態(tài)數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)模擬的研究.

1008-8423(2016)04-0365-06

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.12.002

O29

A