田巧玉

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030)

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具有測度邊界條件的高維Riccati方程的可解性

田巧玉

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030)

高維Riccati方程；邊界測度值；逐點(diǎn)估計(jì)；Radon測度

本文主要研究如下高維Riccati方程解的存在性：

(1)

(2)

本文主要目的是建立當(dāng)1

為了陳述主要結(jié)果，首先介紹幾個(gè)基本的概念.本文的主要結(jié)果的證明方法是將方程(1)轉(zhuǎn)化為具有擬度量核的積分方程，該方法有廣泛的應(yīng)用[12,14-15].但是值得注意的是，一般情況下，即使在非常簡單的區(qū)域，格林核G并不滿足擬度量核的條件.但是如果邊界足夠光滑，比方說，?Ω是C1,1，方程(2)可以滿足擬度量核假設(shè)條件.沿襲文獻(xiàn)[8]的記號(hào)，定義：

G(x,y)≤a1ρ(x)ρ(y)N1,1(x,y),P(x,z)≤a2ρ(x)N1,1(x,z),

(3)

(4)

本文的主要結(jié)果是如下的存在性準(zhǔn)則.

定理1假設(shè)1

1)不等式：

(5)

2)存在常數(shù)C>0使得：

(6)

3)對充分小的ε>0，下面的方程存在解：

(7)

4)存在常數(shù)C>0使得在任意緊子集E?RN-1上成立μ(E)≤CCapI(E).

更進(jìn)一步，存在常數(shù)C′>0使得，如果以上結(jié)論1和結(jié)論2成立且C≤C′,則當(dāng)ε=1時(shí)，方程(7)存在解u且滿足：

CΡ[u]≤u≤C′Ρ[u],C|Ρ[u]|≤|u|≤C′|Ρ[u]|

(8)

當(dāng)Ω是有界光滑區(qū)域時(shí)，有類似的結(jié)果，這里不再贅述.

(9)

其中um+1,m≥0滿足：

(10)

通過該系列取極限進(jìn)而得到主要結(jié)論.

本文中C是一個(gè)常數(shù)，可能在每一行的值不同.在可測Borel集E?RN-1上的容積CapI,a,p(E)定義為：

其中p>1.

本節(jié)將借助迭代技術(shù)，通過三個(gè)引理證明定理1.

引理1假設(shè)u0(x)=Ρ[u]，存在常數(shù)C1使得：

(11)

在Ω幾乎處處成立,則如下的梯度估計(jì)成立：

(12)

和：

(13)

其中0<δ<1依賴于q和N.

證明由u0(x)的定義，結(jié)合Ν1,1的定義和式(4)，可以知道：

u0≤b0N1,1[μ]，

(14)

其中b0>0為常數(shù).下面通過歸納法證明：

(15)

其中bm>0,m≥0為常數(shù).顯然，由式(14)知道當(dāng)m=0時(shí)，式(15)成立.由式(2)可以將um+1寫作：

(16)

從而，

(17)

結(jié)合式(17)，(11)，(3)和式(4)得：

(18)

如果：

(19)

(20)

(21)

這里用到不等式：

(22)

(23)

引理2在引理1的假設(shè)條件下，有：

(24)

其中常數(shù)C4依賴于q和N.

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

由式(16)，得到：

(30)

此式結(jié)合文獻(xiàn)[11]中的定理2.6,可以推出式(6)成立.值得指出的是式(8)由式(26)和式(27)得到.

[1]HANSSONK，MAZ，YAVG，VERBITSKYIE.CriteriaofsolvabilityformultidimensionalRiccatiequations[J].ArkMat，1999,37:87-120.

[2]VERBITSKYIE.Superlinearequations,potentialtheoryandweightednorminequalities[M].CzechRepub,PragueAcadSci,1999.

[3]MENGESHAT，PHUCNC.QuasilinearRiccatitypeequationswithdistributionaldatainMorreyspaceframework[J].JDifferentialEquations,2016,260:5421-5449.

[4]PHUCNC.MorreyglobalboundsandquasilinearRiccatitypeequationsbelowthenaturalexponent[J].JMathPuresAppl，2014,102:99-123.

[5]PHUCNC.NonlinearMuckenhoupt-WheedentypeboundsonReifenbergflatdomains,withapplicationstoquasilinearRiccatitypeequations[J].AdvMath，2014,250:387-419.

[6]PHUCNC.QuasilinearRiccatitypeequationswithsuper-criticalexponents[J].CommPartialDifferentialEquations，2010,35:1958-1981.

[7]NGUYENPT，VERONL.BoundarysingularitiesofsolutionstoellipticviscousHamilton-Jacobiequations[J].JFunctAnal，2012,263:1487-1538.

[8]BIDAUT-VERONM，GARCIA-HUIDOBROM，VERONL.LocalandglobalpropertiesofsolutionsofquasilinearHamilton-Jacobiequations[J].JFunctAnal， 2014,267:3294-3331.

[9]BIDAUT-VERONM，GARCIA-HUIDOBROM，VERONL.BoundarysingularitiesofpositivesolutionsofquasilinearHamilton-Jacobiequations[J].CalcVarPartialDifferentialEquations,2015,54:3471-3515.

[10]MARCUSM，NGUYENPT.Ellipticequationswithnonlinearabsorptiondependingonthesolutionanditsgradient[J].ProcLondMathSoc，2015,11:205-239.

[11]BIDAUT-VERONM，HOANGG，NGUYENQH，VERONL.Anellipticsemilinearequationwithsourcetermandboundarymeasuredata:thesupercriticalcase[J].JFunctAnal，2015,269:1995-2017.

[12]KALTONNJ,VERBITSKYIE.Nonlinearequationsandweightednorminequalities[J].TransAmerMathSoc,1999,351:3441-3497.

[13]BIDAUT-VERONM,VIVIERL.Anellipticsemilinearequationwithsourceterminvolvingboundarymeasures:thesubcriticalcase[J].RevMatIberoam,2000,16:477-513.

[14]FRAZIERM,NAZAROVF,VERBITSKYIE.GlobalestimatesforkernelsofNeumannseriesandGreen′sfunctions[J].JLondMathSoc,2014,90:903-918.

[15]HANSENW.UniformboundaryHarnackprincipleandgeneralizedtriangleproperty[J].JFunctAnal,2005,226:452-484.

責(zé)任編輯：高 山

Criteria of Solvability for Multidimensional Riccati Equations with Boundary Measure Data

TIAN Qiaoyu

(School of Mathematics and Computer Science,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,China)

multidimensional riccati equation;boundary measure data;pointwise estimates;Radon measure

2016-11-05.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11401473).

田巧玉(1982- )，女，碩士，講師，主要從事偏微分方程理論及其應(yīng)用的研究.

1008-8423(2016)04-0361-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.12.001

O175.25

A