（福清市元洪高級中學，福建福州350300）

三角函數(shù)全國課標Ⅰ卷試題分析及其備考教學策略

劉細菊

（福清市元洪高級中學，福建福州350300）

三角函數(shù)作為高中數(shù)學的一個主干知識，是全國新課標I卷考查的重要內(nèi)容，相關(guān)試題基礎(chǔ)性強，有“型”可尋，認真研讀這個章節(jié)的考綱內(nèi)容，深入分析相關(guān)試題特點，引導學生整體掌握章節(jié)知識結(jié)構(gòu)，合理歸納各類題型，重視思想方法的點撥，是高三備考復習教學的主要策略。

高中數(shù)學；三角函數(shù)；試題特點；題目類型

三角函數(shù)的周期性與奇偶性是現(xiàn)實數(shù)量與空間的一個重要模型，是中學數(shù)學學習中最重要的一種基本初等函數(shù)，它與代數(shù)、幾何聯(lián)系密切，是解決許多數(shù)學問題的有力工具，作為高中數(shù)學的一個主干知識，它也是全國新課標I卷考查學生基礎(chǔ)知識與基本技能掌握情況的重點內(nèi)容之一。歷年來全國新課標I卷三角函數(shù)部分的試題重在考查基礎(chǔ)知識、基本能力、基本思想，許多試題來源于課本中的例題、習題的變形。因此，立足教材，認真研讀考綱內(nèi)容，深入分析試題特點，引導學生整體掌握章節(jié)知識結(jié)構(gòu)，合理歸納各類題型，把握思想方法，是高三備考復習教學的主要策略。

一、新課標全國I卷三角函數(shù)部分試題分析

2012-2016年新課標全國I卷三角函數(shù)部分的試題考點統(tǒng)計表

從上面的統(tǒng)計表不難看出，全國新課標I卷涉及三角函數(shù)與解三角形的考題所考查的主要內(nèi)容是三角函數(shù)的基本概念、圖像性質(zhì)、“和、差、倍”公式的運用以及正、余弦定理。進一步分析試題所考查的數(shù)學思想方法內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)其重點承載的是函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查任務(wù)，同時，這一部分的試題難度定位一般是中、低檔，題型比較穩(wěn)定。

1.考小題“基礎(chǔ)”凸顯

(1)對于三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的小題，每年都考，其重點在于兩域（定義域、值域、最值）、四性（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性），以及用圖（用三角函數(shù)的圖像判斷其性質(zhì)）；對于三角函數(shù)的圖像變換在近五年中都沒有涉及到，但還需掌握好它。定義的考查頻率不高，課標卷中，常將三角函數(shù)的定義與圖象結(jié)合起來考查。

(2)對于三角恒等變換的小題考查頻率高，其考查重點在于“化簡”與“求值”。常利用已知角和被求角之間的關(guān)系，結(jié)合題目條件進行變形解決問題，需要熟練掌握各個公式，以及它們之間的聯(lián)系，包括配湊思想、分類討論思想等。

(3)對于解三角形，每年都考，其考題的位置一般不是在填空題的最后一題，就是在解答題的第一題，其重點是利用兩定理解三角形，多以簡單三角形的背景出現(xiàn)，有時以實際生活問題的背景呈現(xiàn)（2009年第17題解三角形的應用題）。

2.考大題有“型”可尋

有關(guān)三角形解答題，不是每年必考（五年三考），多與數(shù)列交替出現(xiàn)，其考查重點是以簡單三角形為背景求三角形的邊或內(nèi)角或三角形面積有關(guān)的問題，考查難度中等，但需要有深度的推理、計算能力。一般利用正弦定理、余弦定理、面積公式可以得以解決。近五年的三角解答題雖沒涉及到“以實際背景包裝的三角應用問題”，但在2009年的全國卷中第17題的位置出現(xiàn)過，因此這塊內(nèi)容也應給予關(guān)注。

二、三角函數(shù)高三備考復習教學策略

認真研讀《考試大綱》并細致分析歷年全國新課標I卷真題，了解考綱中的內(nèi)涵，熟悉考綱要求和全國卷試題特點，才能對復習教學進行合理定位，科學安排。

對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的復習要做到廣泛撒網(wǎng)，重點撈魚。對概念、公式、性質(zhì)不能走過場，要花足夠的時間搞好主干知識的復習，應在“準確、系統(tǒng)、靈活”上下工夫，對知識要真正的理解和掌握并形成合理的知識網(wǎng)絡(luò)，狠抓基礎(chǔ)并重視思想方法的點撥，以不變應萬變。

1.精選例題，幫助選擇公式

三角函數(shù)這一主干板塊公式眾多，琳瑯滿目。一般校的學生基礎(chǔ)較為薄弱，面對眾多公式無從下手，如果能夠有針對地精選例題，幫助學生歸納什么情況選哪個公式，讓學生有“路”可套，這樣就能達到事半功倍的效果。

【例】（1）在△ABC中，已知b=10，c=56,C=60°，求角B；

（2）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,c的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6則b=()

A．10B．9C．8D．5

這兩個題目都是已知兩邊及其中一邊的對角，第一題求角，第二題求邊，很多教輔書把這兩個題目歸結(jié)正弦定理題型。實際上這兩個題目第一題用正弦定理，第二題用余弦定理更簡單，因此在復習過程中要借助例題引導學生總結(jié)歸納：

（1）已知兩角一邊解三角形用正弦定理；

（2）兩邊及其中一邊的對角求角用正弦定理，求邊用余弦定理；

（3）已知兩邊夾角解三角形用余弦定理；

（4）已知三邊解三角形用余弦定理；

（5）使用三角形面積公式的規(guī)律：已知哪個角就選擇有那個角的面積公式；

（6）使用余弦定理的規(guī)律：已知哪個角就選擇有那個角的余弦公式。

這樣，學生在利用公式的時候，就可以從這里找到“套路”。

2.關(guān)注核心，重視思想方法

數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，在全國新課標I卷當中三角函數(shù)部分重點承載的是函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，在備考過程中，必需關(guān)注數(shù)學思想方法的滲透，靈活地借助數(shù)學思想方法解題，就可以避免繁雜的運算，優(yōu)化解題思路，降低解題難度。

分析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式，可運用方程思想：（1）解出sinθ，cosθ的值；（2）可利用sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθ·cosθ,之間的關(guān)系，求出sinθ—cosθ,組成方程組進行求解。

評析：通過建立方程或方程組，并求出未知量的值，從而使問題得到解決，本題利用方程思想解題。

分析∶本題根據(jù)函數(shù)解析式，畫出圖象，可以直觀而簡明地得出答案，在有時間限制的高考中就能大大地節(jié)約時間，提高考試的效率。

評析：本題考查零點定理的應用，利用數(shù)形結(jié)合思想可以很快使問題得到解決。

分析：本題考查三角恒等變換中已知值求值，通過觀察已知角和被求角之間的關(guān)系，利用化歸轉(zhuǎn)化的思想使問題得到解決。

評析：考查角的配湊，利用化歸轉(zhuǎn)化思想方法可以使問題輕松得到解決。

3.把握熱點，幫助歸類

從這五年的試題分析可以看出，三角部分核心內(nèi)容年年考，重點內(nèi)容重點考，解三角形是高頻考點，每年都考，不是在填空題的最后一題就是大題第一題，題型主要歸納為以下幾類。

類型1.活用兩個定理（知三求一）

這類題目特點是：已知有三個邊角關(guān)系，求三角形中的其他元素。活用兩個定理可以一步到位。

【例】(2016全國II理13)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=_____。

類型2．借助兩個定理邊角互化統(tǒng)一（已知等式關(guān)于邊或角的正弦齊次）

這種類型題目特點是∶已知關(guān)于邊或角的正弦齊次式，無法利用兩個定理一步到位，但利用正弦定理統(tǒng)一化為邊或統(tǒng)一化為角。

【例】（2016全國I理17）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別別為a,b,c已知2cosC(acosB+bcosA)=c，（I）求C；（II）若c=7,△ABC的面積為，求△ABC的周長。

類型3．借助兩個定理建立相關(guān)參數(shù)的方程或函數(shù)（求值列方程，求最值或范圍列函數(shù)關(guān)系式）

這種類型特點是：題目給出的條件不夠，需要我們?nèi)?chuàng)造條件，引進參數(shù)列出方程求解或列出三角函數(shù)關(guān)系式，利用三角函數(shù)的有界性求最值或取值范圍。重在考查學生方程與函數(shù)思想。

【例】（2013新課標I理17）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°，

(1)若PB=12，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA。

類型4.解三角形在實際生活中的應用

三角函數(shù)模型的應用近幾年全國課標理科卷中出現(xiàn)頻率不高，但是2009年考過，所以也必須關(guān)注。這種題目就是把它的外衣脫掉，建立三角模型，將所給的條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中去求解。

4.規(guī)范作答，力爭高分

在復習時，除了要抓好知識、題型、方法等方面的教學外，還應該提升學生的解題規(guī)范，常抓易失分的點。比如：已知值求角一定要說明角度范圍，單調(diào)區(qū)間有多個不能用“?”，求單調(diào)區(qū)間時“K?Z”不能丟等等。三角函數(shù)的得分一方面取決于對問題的理解、求解，另一方面取決于作答的規(guī)范、步驟等。因此要加強每天一題規(guī)范訓練，全面批改，落實訂正。

總之，三角函數(shù)是初等數(shù)學的重要內(nèi)容，在數(shù)學和其他領(lǐng)域中具有重要作用。它是解決數(shù)學問題的重要工具。從這五年的全國高考課標卷來看，三角函數(shù)的題型始終保持穩(wěn)定，小題偏向考察三角函數(shù)性質(zhì)和三角恒等變換的化簡求值，大題偏向考察解三角形，我們把握好這些特點，把它正確定位，廣大師生能從中尋覓、體會課標卷命題的“周期性”等規(guī)律，從而實現(xiàn)高效備考。

［1］傅殿松.高考數(shù)學三角函數(shù)復習專題分析［J］.中學教學參考，2016(2)．

［2］蔣科新.三角函數(shù)解題思想方法［J］.中學教學參考，2016 (11)．

（責任編輯：王欽敏）