李素貞 ， LAPUERTA Enrique Cavero,2

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2. Polytechnic University of Catalonia, Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, Spain)

基于振動測試的張弦結(jié)構(gòu)拉索索力識別

李素貞1， LAPUERTA Enrique Cavero1,2

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2. Polytechnic University of Catalonia, Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, Spain)

張弦結(jié)構(gòu)的拉索索力識別對拉索甚至整個結(jié)構(gòu)的性態(tài)鑒定和可靠性評估具有重要意義。針對張弦結(jié)構(gòu)中拉索索力識別應(yīng)用，選取了5種基于振動測試的解析方法——3種傳統(tǒng)的索力實用計算公式和2種新發(fā)展的邊界不確定的索力識別方法，比較分析了不同方法的優(yōu)點和不足之處，探討了索的邊界條件、抗彎剛度和長細(xì)比的影響，確立了各種方法的適用范圍和使用條件。分析結(jié)果表明：傳統(tǒng)索力實用計算公式僅在邊界條件比較明確(簡支或固定)的情況下適用；當(dāng)拉索的邊界條件不確定時，宜采用Euler梁方法和Timohenko梁方法進(jìn)行索力識別；當(dāng)拉索的長細(xì)比<20時，宜采用Timohenko梁方法；弦理論、Shimada方法和Zui方法必須采用局部模態(tài)；Euler梁方法和Timohenko梁方法既可采用局部模態(tài)，也可采用整體模態(tài)。

索力識別；張弦結(jié)構(gòu)；振動測試

作為大跨空間結(jié)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)體系之一，張弦結(jié)構(gòu)近年來發(fā)展迅速。在張弦結(jié)構(gòu)的施工和使用過程中快速、正確地識別張拉索的索力對于鑒定桿件本身的性能、了解整體結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布、檢驗結(jié)構(gòu)施工是否達(dá)到設(shè)計要求、診斷結(jié)構(gòu)的健康狀況并評價其安全性具有重要意義。

振動法是目前索力測量技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一種方法[1]。與直接測量法不同，振動法主要通過拾取拉索在環(huán)境激勵或強(qiáng)迫激勵下的動力響應(yīng)信號，識別索的模態(tài)參數(shù)，進(jìn)而利用索力與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系推算索力。早期振動法主要基于弦振動理論得到頻率和弦張力的關(guān)系計算索力[2]。由于該方法不考慮索的剛度和垂度，且假設(shè)拉索具有明確的邊界條件，這對多數(shù)張弦結(jié)構(gòu)的拉索受力情況而言都是過于理想的假定。為準(zhǔn)確使用振動法測定索力，一些新的解析算法相繼提出以考慮索的剛度[3-5]、垂度[6]、或同時考慮剛度和垂度[7]的影響，在弦振動公式基礎(chǔ)上提出了修正的索力實用計算公式。另一方面，有些學(xué)者也用差分的方法[8]和有限元更新[9]等數(shù)值方法或系統(tǒng)識別方法[10]解決了這個問題，不僅同時考慮了索剛度和垂度兩個因素，而且還可以考慮拉索上裝有阻尼減振器等的影響，這也是解析方法難以實現(xiàn)的。但是，以上方法在桿件邊界條件未知的情況下索力識別往往難以實施或者結(jié)果精度不高，而且一般都必須已知桿件的有效振動長度，這在一些實際情況中(如節(jié)點復(fù)雜、索的可視長度有限等)很難準(zhǔn)確測量。鑒于此，LI等[11]提出了一種解析方法識別邊界和有效振動長度不確定條件下拉索的索力，在此基礎(chǔ)上MAES等[12]進(jìn)一步考慮了拉索剪切變形的影響。

與橋梁結(jié)構(gòu)特別是斜拉橋或懸索橋結(jié)構(gòu)中的拉索或懸索不同，張弦結(jié)構(gòu)中的拉索抗彎剛度影響一般較大，邊界條件較復(fù)雜[13-14]。盡管數(shù)值方法的適用范圍較廣，但是解析方法有助于了解拉索最基本的振動特性，并可較快的給出索力計算結(jié)果、避免了模型更新的復(fù)雜過程。鑒此，針對張弦結(jié)構(gòu)中拉索索力識別應(yīng)用，選取了5種解析方法——3種傳統(tǒng)的索力實用計算公式和2種新發(fā)展的邊界不確定的索力識別方法，比較分析了不同方法的優(yōu)點和不足之處，確立了各種方法的適用范圍和使用條件。

1 索力識別方法

1.1 弦理論

弦理論是確定張拉索索力最早、最基本的方法，其表達(dá)式可以寫成：

(1)

式中：N為索力；m為單位長度索的質(zhì)量；L為拉索的自由振動長度；fn為索的第n階自振頻率。由式(1)可知，弦理論既不考慮拉索的垂度也不考慮其抗彎剛度。

1.2 考慮抗彎剛度的索力實用計算公式

SHIMADA等在弦理論的基礎(chǔ)上將拉索的抗彎剛度影響考慮在內(nèi)提出了索力與頻率的修正關(guān)系：

(2)

式中：EI為索的抗彎剛度。

ZUI等進(jìn)一步考慮了拉索抗彎剛度和垂度的共同影響，在前人工作的基礎(chǔ)上發(fā)展了索力實用計算公式，當(dāng)垂度較小時：

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4)

這里引入的兩個參數(shù)ξ和C分別定義為：

(4)

(5)

式中:ξ定義為抗彎剛度影響系數(shù)?？梢?，索力越大、索的長度越大、抗彎剛度越小，ξ越大。

1.3 Euler梁方法

由式(3-1)和式(3-4)可知，ZUI等的方法比較適合長細(xì)桿件，對短索、粗桿等仍有較大局限性。鑒此，LI等基于Euler梁振動方程提出了一種新的索力識別方法。

采用變量分離法，Euler梁振動方程可以變換為：

(6)

式中：φ(x)為振型;Y(t)為時間函數(shù)。為數(shù)學(xué)處理方便，該常數(shù)寫成α4的形式，則由式(6)可得到頻率和振型如下：

(9)

φ(x)=C1cosq1x+C2sinq1x+C3coshq2x+C4sinhq2x

(10)

式中:C1,C2,C3,C4為實常數(shù);q1,q2可以寫成：

和

(11)

式中:

(12)

且有：

α2=q1q2

(13)

(14)

假設(shè)沿桿件長度方向布置了ns個傳感器用于加速度(或速度、位移)測量，可以得到各階模態(tài)的頻率ω和ns個傳感器所在位置的豎向模態(tài)位移φ。即有：

(15)

簡寫成：

[φ]ns×1=[S]ns×4[C]4×1

(16)

式中：[S]是特征矩陣，ns≥5。鑒于C1～C4必有非零解，故:

[S+S]=0

(17)

[S]+是矩陣[S]的偽逆。注意在該方程中有兩個未知數(shù)q1和q2。從式(9)可知，α可由測得的頻率得到，因此由式(13)可得：

(18)

將其代入式(17)，q1成為方程中唯一的未知數(shù)得解，q2因而可由式(18)求解得到。將q1、q2代入式(13)可求得g2，代入式(14)簡單變換后可求得軸力N。

1.4 Timoshenko梁方法

考慮剪切變形的影響，MAES等在Euler梁方法的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步改進(jìn)。根據(jù)Timoshenko梁的振動方程，振型可以寫成如下形式：

αφiv(x)+bφ″(x)+cφ(x)=0

(19)

這里參數(shù)a,b,c分別為：

(20)

(21)

(22)

式中:A為梁截面面積；ky=As/A為Timoshenko梁剪切修正系數(shù)；G為剪切模量。式(19)的解可寫成：

φ(x)=C1eβ1x+C2eβ2x+C3eβ3x+C4eβ4x

(23)

式中：β1～β4可由參數(shù)a,b,c唯一確定。

同理，假設(shè)沿桿件長度方向布置了ns個傳感器，可得類似式(17)的方程，其中特征矩陣[S]見式(24)所示。此時，方程(17)中包括包含a,b,c三個未知數(shù)。注意頻率ω可以直接測得，由式(20)～式(22)，參數(shù)a,b,c由軸力N唯一確定。因此對于給定的頻率ω，利用方程(17)可求解唯一的未知數(shù)N。

(24)

2 單索構(gòu)件的索力識別

為比較以上算法的有效性，分析不同因素對識別結(jié)果的影響，確定不同算法的適用范圍，所有算例采用的拉索基本參數(shù)：長2.5 m；半徑7.5 mm；單位長度質(zhì)量為1 101 kg/m；彈性模量1.95×1011N/m2。假設(shè)沿被測桿件長度方向等距離布置了5個加速度計S1～S5。

2.1 抗彎剛度影響

抗彎剛度影響系數(shù)ξ見式(4)定義。假設(shè)索的邊界條件為簡支，保持EI和L不變，通過改變軸向拉力的大小調(diào)節(jié)參數(shù)ξ以調(diào)查以上五種方法的適用范圍。

軸力識別誤差與ξ的關(guān)系見圖1。圖1(a)為Euler梁方法和Timoshenko梁方法的識別結(jié)果，可見兩方法比較適合ξ較小即抗彎剛度較大或短索的場合。當(dāng)ξ≤30時，兩種方法都具有很高的識別精度；當(dāng)30<ξ≤40時，Euler梁方法識別誤差顯著增大，Timoshenko梁方法仍取得較高的精度；當(dāng)ξ>40時，兩種方法識別誤差都迅速增大，可行性降低。

圖1(b)為三種傳統(tǒng)方法的識別結(jié)果。在簡支梁的假定下，Shimada方法始終取得了很高的識別精度；當(dāng)ξ>50時，弦理論的識別誤差迅速減?。划?dāng)ξ>100時，三種方法的識別精度都可控制在<5%。

圖1 抗彎剛度對索力識別精度的影響

2.2 邊界條件影響

預(yù)設(shè)軸向拉力為22.4 kN(此時ξ=12)，考慮不同的邊界條件組合(見表1)。桿件的兩個端點為A、B，每個端點有三個自由度，兩個平動、一個轉(zhuǎn)動。表1中“0”表示該自由度被約束，“free”表示自由度無約束。

五種方法的索力識別相對誤差結(jié)果見表2，由此可見， Euler梁方法和Timoshenko梁方法受邊界條件的影響小，兩類方法都取得了很高的識別精度，相對誤差基本<0.2%。三類傳統(tǒng)方法對邊界條件有較強(qiáng)的依賴性，弦理論和Shimada方法在索兩端簡支情況下效果較好，Zui方法在索兩端固支情況下識別精度較高。

表1 不同邊界條件下的模擬工況

表2 不同邊界條件下索力識別結(jié)果

2.3 長細(xì)比影響

為了進(jìn)一步確定EULER梁方法和TIMOSHENKO梁方法的不同適用范圍，還需考慮長細(xì)比λ(即索的長度與截面厚度或?qū)挾戎?的影響：

(25)

這里，保持抗彎剛度影響系數(shù)ξ不變(取12)，逐步改變構(gòu)件的長細(xì)比，同時調(diào)節(jié)預(yù)設(shè)拉力N。

軸力識別誤差與長細(xì)比的關(guān)系見圖2。由此可見，Timoshenko梁方法不受長細(xì)比大小的影響，始終取得很高的識別精度。Euler梁方法的識別誤差<3%，當(dāng)長細(xì)比>20時亦可取得很高的識別精度。

圖2 長細(xì)比對索力識別精度的影響

3 體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)拉索的索力識別

與構(gòu)件不同，整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)測試會激發(fā)系統(tǒng)整體模態(tài)和構(gòu)件的局部模態(tài)。比較以上各種方法分別采用結(jié)構(gòu)整體模態(tài)和構(gòu)件局部模態(tài)進(jìn)行軸力識別的有效性。張弦樓板見圖3。

圖3 張弦樓板

采用圖3為算例。張拉索的幾何和材料參數(shù)同第2節(jié)的取值；混凝土樓板的基本參數(shù)取值如下：單位長度質(zhì)量為2 300 kg/m，彈性模量3.2×1010N/m2，板厚100 mm；預(yù)設(shè)軸向拉力為22.4 kN(ξ=12)。

采用有限單元法計算結(jié)構(gòu)的頻率與振型，前6階模態(tài)結(jié)果見圖4。從振型可見，前兩階是結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)，后四階是構(gòu)件的局部模態(tài)。將計算得到的頻率或/和振型作為已知條件，代入以上五種方法分別求解拉索的索力，并與預(yù)設(shè)拉力(22.4 kN)進(jìn)行比較。

圖4 結(jié)構(gòu)頻率與振型

各種方法的索力識別結(jié)果見表3，由此可見：Euler梁方法和Timoshenko梁方法在利用整體模態(tài)和局部模態(tài)進(jìn)行索力識別時都能取得較高精度；弦理論和Shimada方法只有在利用局部模態(tài)時才能取得較高的索力識別精度，整體模態(tài)識別效果很差；Zui方法識別精度都較差，原因是該算例中各段索的邊界條件更接近簡支而非固支。

4 索力識別策略

綜合以上分析，不同索力識別方法的適用范圍和使用條件總結(jié)見表4，比較分析可知。

(1)從方法的難宜程度比較，弦理論最簡單；Shimada方法和Zui方法提出的實用計算公式次之；Euler梁方法和Timohenko梁方法較為復(fù)雜。

表3 張弦樓板拉索索力識別

表4 索力識別方法的適用范圍

(2)從對傳感器數(shù)量的要求比較，弦理論、Shimada方法和Zui方法理論上至少需要一個加速度或速度計；Euler梁方法和Timohenko梁方法在邊界條件已知時至少需要三個傳感器，在邊界條件未知時需要≥5個傳感器。

(3)從對邊界條件的要求比較，弦理論和Shimada方法在兩端簡支時識別精度高；Zui方法在兩端固定時識別精度高；Euler梁方法和Timohenko梁方法對邊界條件依賴性小，任意邊界條件下都能取得較高精度，這也是該兩類方法最大的優(yōu)點之一。

(4)從對模態(tài)測試的要求比較，弦理論、Shimada方法和Zui方法必須采用局部模態(tài)；Euler梁方法和Timohenko梁方法既可采用局部模態(tài)，也可采用整體模態(tài)，這極大降低了模態(tài)測試的難度和不確定性。

(5)鑒于抗彎剛度影響系數(shù)ξ對識別方法的選擇有重要影響，這里針對體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)拉索的索力識別將式(4)稍作變換如下：

(26)

式中:εu為預(yù)應(yīng)力拉索的極限應(yīng)變；γ為拉索的預(yù)張力系數(shù)，如γ=0.5表示預(yù)張力達(dá)到拉索極限強(qiáng)度的50%。對于某特定體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，λ可由式(25)計算得到，同時根據(jù)拉索的控制預(yù)張力由式(26)可計算索的抗彎剛度影響系數(shù)，由此根據(jù)表3可最終確定合適的索力識別方法。

取εu=2 000με進(jìn)行估算，當(dāng)ξ=0.3,0.5,0.7時，存在關(guān)系式ξ=0.024λ,0.032λ,0.037λ，此時索力識別方法可僅由拉索的幾何屬性(長細(xì)比)確定。

5 結(jié) 論

針對張弦結(jié)構(gòu)拉索的索力識別，比較分析了基于振動測試的兩類新方法及傳統(tǒng)的三類實用計算公式的優(yōu)點和不足之處，確立了不同方法的適用范圍和使用條件，主要結(jié)論為：

(1)當(dāng)拉索的邊界條件接近兩端簡支時，采用Shimada方法可以獲得較高索力識別精度，可不考慮抗彎剛度的影響。

(2)在拉索邊界條件不確定、抗彎剛度影響較大(ξ≤40)時，宜采用Euler梁方法和Timohenko梁方法進(jìn)行索力識別；當(dāng)λ<20時，宜采用Timohenko梁方法。

(3)當(dāng)抗彎剛度影響較小、邊界條件比較明確時宜采用弦理論(ξ≥50，簡支)或Zui方法(ξ≥200，固定)。

(4) 弦理論、Shimada方法和Zui方法必須采用局部模態(tài)；Euler梁方法和Timohenko梁方法既可采用局部模態(tài)，也可采用整體模態(tài)。

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Cable tension identification of cable-supported structures based on vibration tests

LI Suzhen1, LAPUERTA Enrique Cavero1,2

(1. School of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai, China； 2. Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, Spain)

Identifying actual cable tensions of cable-supported structures is significant for the examination and assessment of these sensitive elements and the reliability evaluation of the whole structure. Aiming at cable tension identification of cable-supported structures, here five vibration tests-based analytical methods including three traditional practical calculation formulas and two newly-developed methods with the uncertainty of boundaries were presented and their advantages and disadvantages were also analyzed comparatively. The effects of boundary conditions, bending stiffness and slenderness on the estimation accuracy of the cable tension were investigated, the applicability ranges and effectiveness conditions of the five methods were determined. The results showed that the traditional methods are applicable only for the fixed or hinged boundary conditions; when a cable’s boundary conditions are uncertain, it is appropriate to use Euler beam and Timoshenko beam methods to identify cable tension; moreover, Timoshenko beam method is more stable and more accurate than the Euler beam method be when a cable’s slenderness ratio is less than 20.

cable-tension identification; cable-supported structure; vibration test

“十二五”國家科技支撐計劃重大項目子課題(2013BAG19B00-02-04)

2015-05-27 修改稿收到日期：2015-11-20

李素貞 女，博士，副教授，1978年生

TU323.3