張 靈 徐章韜

（華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 430079）

1 引言

數(shù)學(xué)概念不僅是建立數(shù)學(xué)相關(guān)理論的前提，也是構(gòu)成數(shù)學(xué)命題的基本結(jié)構(gòu)單元，還成為思維方式建構(gòu)或轉(zhuǎn)變的基石.就邏輯而言，數(shù)學(xué)概念一般都具有內(nèi)涵和外延之限定，其內(nèi)涵就是“事物的量”，其外延則是“事物的量”的范圍.數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延具有一個發(fā)展變化的過程；從教育心理學(xué)的角度來說，概念的學(xué)習(xí)有概念形成和概念同化之不同；從數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的角度來說，數(shù)學(xué)概念本身是過程與對象的辯證統(tǒng)一，對數(shù)學(xué)概念的掌握，通常要從過程入手，然后再凝聚為對象，最終這兩方面構(gòu)成一個整體，并與其他相關(guān)數(shù)學(xué)概念一起，形成互相關(guān)聯(lián)的“概念網(wǎng)絡(luò)”[1].在具體的數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，對于相似的概念，除了要重視從邏輯的、數(shù)學(xué)史的、教育心理學(xué)這幾個層次分別進(jìn)行思考之外，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)對概念進(jìn)行辨析.相似即是不同，表面的相似之下往往隱藏著本質(zhì)的不同.然而，對于相似的概念，由于它們的相似性，容易讓學(xué)生產(chǎn)生理解上的混亂，將概念的外延重合、內(nèi)涵混為一談，把相似概念作為同一對象來操作，無法形成對概念的正確認(rèn)識，不能明確概念之間的區(qū)別與聯(lián)系以形成清晰的概念網(wǎng)絡(luò).因此，對相似概念進(jìn)行多角度深層次的辨析是必要的，從語義上、數(shù)學(xué)上、教育上明確相似概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，借助辨析的過程，不僅能將概念區(qū)分開，還能夠多角度地挖掘概念的內(nèi)涵和意義，更加透徹地理解概念本質(zhì).

章建躍老師在其所作的概率統(tǒng)計系列作品中提出“改進(jìn)教學(xué)從加深理解內(nèi)容入手”，制約統(tǒng)計與概率教學(xué)水平的瓶頸首先在教師自身的知識儲備，教師在課堂中出現(xiàn)一些常識性錯誤的原因在于其對統(tǒng)計、概率的基礎(chǔ)知識理解不深、把握不準(zhǔn)[2].尤其是對于思想層面的內(nèi)容，如“加深對隨機(jī)現(xiàn)象的理解，正確理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性”，培養(yǎng)起來并不容易[3].因此，從改進(jìn)教學(xué)的角度來看，對知識進(jìn)行多角度的深入分析也是必要的，本文從概念入手，通過辨析的方式深入剖析概念的實質(zhì)，以促進(jìn)對概念本身以及概念教學(xué)的理解.

“隨機(jī)現(xiàn)象”和“隨機(jī)事件”是概率論中的兩個容易混淆的基礎(chǔ)概念，這兩個概念是學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識的起點(diǎn)，若學(xué)生對這兩個概念的理解似是而非、混為一談，勢必影響學(xué)生對其他相關(guān)概念、命題等的學(xué)習(xí)，也會阻礙學(xué)生深入認(rèn)識概率論的研究目的和研究手段.

2 辨析

下面從三個方面展開辨析.

2.1 語義上的辨析

“隨機(jī)”在隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件這兩個概念中意義相同，在詞典里，“隨機(jī)”的涵義是隨機(jī)遇而定，不作特殊安排，強(qiáng)調(diào)不確定性，差別在于“現(xiàn)象”和“事件”這兩個詞的不同.在詞典里，“現(xiàn)象”是指事物在發(fā)展、變化中表現(xiàn)出來的外部形態(tài)：自然現(xiàn)象/社會現(xiàn)象/看問題要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，“事件”是指不平常的大事情（多指有社會影響的）：政治事件/泄密事件/防止發(fā)生食物中毒事件.根據(jù)詞典里的解釋可知：“現(xiàn)象”是一種外部形態(tài)，強(qiáng)調(diào)外在表現(xiàn)，而在外在表現(xiàn)背后的本質(zhì)是有待挖掘的；“事件”指向某件事情，事情表現(xiàn)出一種結(jié)果，引起結(jié)果的原因是需要尋找的.

根據(jù)《數(shù)學(xué)辭海》的解釋，“隨機(jī)現(xiàn)象”是指在一次試驗或觀測中，其結(jié)果有多種可能，事先無法精確斷定究竟哪一種結(jié)果會發(fā)生的現(xiàn)象，在此概念中，現(xiàn)象指向的外部形態(tài)是多種可能結(jié)果發(fā)生的不確定性.“隨機(jī)事件”指在相同的確定條件下，隨機(jī)試驗所可能有的表現(xiàn)或結(jié)果，隨機(jī)事件是隨機(jī)試驗中的一種結(jié)果，在一定條件下，這種結(jié)果可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn).如拋一塊均勻的硬幣，可能正面朝上，也可能反面朝上.若稱之為一個隨機(jī)現(xiàn)象，這里的現(xiàn)象表現(xiàn)為：正反面朝上的不確定性；若要探究一次試驗中，正面朝上的概率，這是一個隨機(jī)事件的概率，這里的事件是“正面朝上”這種結(jié)果.在隨機(jī)事件概念中，強(qiáng)調(diào)“在相同的確定條件下”，這是因為隨機(jī)試驗發(fā)生條件不同，將會影響隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小和隨機(jī)事件的性質(zhì)，如硬幣的前后面重量不同，將影響一次試驗中硬幣正面朝上的概率，又若在試驗中，將硬幣正面朝下做自由落體運(yùn)動，則發(fā)生正面朝上的可能性為零，是不可能事件.

2.2 數(shù)學(xué)上的辨析

從“現(xiàn)象-本質(zhì)”的角度來看，對于現(xiàn)象而言，要分析本質(zhì)，現(xiàn)象背后隱含著本質(zhì)，反過來，借助本質(zhì)能幫助我們真正認(rèn)清和把握住現(xiàn)象.從數(shù)學(xué)的角度來研究問題，需要拋棄問題的其他屬性，只提取其數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)來進(jìn)行分析，因此，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律成為概率論的主要研究目的之一.分析隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，需要借助隨機(jī)試驗來模擬隨機(jī)現(xiàn)象，對每一次試驗的結(jié)果進(jìn)行記錄，重復(fù)大量試驗，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，這時需要分析每一種結(jié)果（隨機(jī)事件）實際出現(xiàn)的次數(shù)，當(dāng)分析試驗中某種結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)時，會發(fā)現(xiàn)其頻率穩(wěn)定在一個固定數(shù)值左右，試驗次數(shù)越多，頻率波動越小，這個數(shù)值便是所指向的隨機(jī)事件的概率.隨機(jī)事件的概率反映了隨機(jī)試驗中某種結(jié)果發(fā)生的可能性大小，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.因此，若要探尋隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，把握隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性，可以具體地歸結(jié)到對隨機(jī)事件的概率的探究.

從“結(jié)果-原因”的角度來看，對于結(jié)果而言，要分析原因，只有找出結(jié)果產(chǎn)生的原因，才能認(rèn)識其本質(zhì)和規(guī)律.隨機(jī)事件中的“事件”指向一種結(jié)果，為什么在一次隨機(jī)試驗中，這種結(jié)果可能發(fā)生也可能不發(fā)生，若重復(fù)大量試驗，其發(fā)生頻率通常會穩(wěn)定在一個固定數(shù)值左右？從結(jié)果往回看，首先，在一次隨機(jī)試驗中，有多種可能發(fā)生的結(jié)果，即在隨機(jī)現(xiàn)象中，其有多種可能的表現(xiàn)形式，事先無法精確斷定究竟發(fā)生哪一種結(jié)果，正是由于隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的不確定性，導(dǎo)致了在隨機(jī)試驗中，隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性.其次，在隨機(jī)現(xiàn)象中，結(jié)果的發(fā)生又不是完全沒有規(guī)律的，隨機(jī)性正是指不確定性中蘊(yùn)含著規(guī)律性，在一次隨機(jī)試驗中，對每一個結(jié)果而言，其出現(xiàn)的可能性有大有小，也就是說，隨機(jī)事件的發(fā)生是有概率的，隨機(jī)事件的概率越大，在隨機(jī)試驗中，其出現(xiàn)的幾率越大，多次重復(fù)試驗，其不確定性中的規(guī)律性便宏觀地表現(xiàn)在概率上.因此，隨機(jī)事件的概率產(chǎn)生于隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性.下圖揭示了隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件之間的關(guān)聯(lián).

隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件

2.3 教學(xué)上的辨析

隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件之間，存在“現(xiàn)象-本質(zhì)”、“原因-結(jié)果”的區(qū)別與聯(lián)系，二者在實際教學(xué)中的側(cè)重點(diǎn)不同.

（1）就教育心理學(xué)而言

概念的學(xué)習(xí)有概念形成和概念同化之不同.所謂概念形成是指，從大量實例出發(fā)，以學(xué)生的感性經(jīng)驗為基礎(chǔ)，形成表象，歸納、抽象、概括出事物的某類“本質(zhì)”屬性，并提出各種假設(shè)，加以驗證，以獲得數(shù)學(xué)概念；所謂概念同化是指，從學(xué)生已有的概念出發(fā)，以其間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，直接揭示所學(xué)概念的某類“本質(zhì)”特征，以獲得數(shù)學(xué)概念[4].“隨機(jī)現(xiàn)象”是概率論中的一個初始概念，并且在生活中實際存在大量的可感知的隨機(jī)現(xiàn)象，因此，在教學(xué)時，可采用概念形成的方式來獲得概念，通過一些實例向?qū)W生介紹確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象，對二者進(jìn)行區(qū)分，并抽象概括出“隨機(jī)現(xiàn)象”的內(nèi)涵；“隨機(jī)事件”的認(rèn)知建立在對“隨機(jī)試驗”和“基本事件”認(rèn)知的基礎(chǔ)之上，適合采用概念同化的方式來獲得，可先引入隨機(jī)試驗的概念，由此給出基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念：隨機(jī)試驗的每一個結(jié)果叫做基本事件，也叫做樣本點(diǎn)，所有樣本點(diǎn)的集合叫做樣本空間Ω，樣本空間的子集A（空集和Ω除外）叫做隨機(jī)事件[5].

（2）就教學(xué)難點(diǎn)而言

回溯歷史，人們很早就對隨機(jī)性有所意識，在古河流文明時期，古巴比倫、古印度和古埃及人用黏土制作三棱柱、四棱柱和正六面體等不同形狀的骰子，并使用象牙賭板、動物距骨、堅果核等各類隨機(jī)函數(shù)發(fā)生器.在我國，考古發(fā)現(xiàn)的甲骨卜辭和數(shù)字卦顯示在殷商時代龜卜成象、筮數(shù)成卦的卜筮活動就已很盛.當(dāng)時的人們普遍把隨機(jī)性看作是神的意愿.到了古希臘時期，古希臘人對隨機(jī)性的認(rèn)識可分為兩派，一派認(rèn)為隨機(jī)性是尚未認(rèn)識的確定性，另一派認(rèn)為隨機(jī)性屬于上帝和自由意志，哲學(xué)和宗教原因限制了人們對隨機(jī)現(xiàn)象的進(jìn)一步認(rèn)知.此后很長一段時間，由于受到宗教的束縛，人們對隨機(jī)現(xiàn)象不可能有進(jìn)一步的研究.直到17世紀(jì)中葉開始，人們對隨機(jī)現(xiàn)象的研究進(jìn)入了一個嶄新的階段，帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）與費(fèi)爾馬（P.de Fermat，1601—1665）的7封通信即著名的“帕費(fèi)通信”標(biāo)志著概率論誕生了，在通信中，主要討論了一些賭博問題.這時雖然產(chǎn)生了概率論，但人們普遍認(rèn)為隨機(jī)性并非客觀存在的，承認(rèn)它不過是因為無知而不得不采取的一種權(quán)宜之計.現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期，人們意識到世界并非完全確定，確實存在著無法回避的隨機(jī)性，確定性只是隨機(jī)性模式的一種特殊情況.人類對隨機(jī)性認(rèn)識螺旋上升、對隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)研究逐步深入的本質(zhì)根源是隨機(jī)性與確定性的深刻聯(lián)系，從某種意義上說，對確定性和隨機(jī)性關(guān)系的認(rèn)識既是科學(xué)不斷進(jìn)步的原因又隨著科學(xué)的不斷進(jìn)步而更加深入.[6]

因此，在認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象時，難點(diǎn)就在于對確定性和隨機(jī)性關(guān)系的理解.首先，隨機(jī)性是客觀存在的，承認(rèn)隨機(jī)性并不是因為無知，其次，確定性只是隨機(jī)性模式的一種特殊情況，沒有絕對真理和終極真理，從歷史的發(fā)展過程來看，要認(rèn)清這一點(diǎn)并不容易.

對于隨機(jī)事件概念教學(xué)來說，首先，受相似概念的影響，區(qū)分隨機(jī)事件和隨機(jī)現(xiàn)象是一個難點(diǎn)，應(yīng)指明，雖然隨機(jī)事件的發(fā)生也具有隨機(jī)性，但這是由隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性產(chǎn)生的，其本質(zhì)是一種結(jié)果.然而，在人教版高中數(shù)學(xué)必修3中，并沒有明確區(qū)分隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件，導(dǎo)致師生難以明確概念內(nèi)涵，用隨機(jī)現(xiàn)象來定義隨機(jī)事件，將二者混為一談；其次，介紹隨機(jī)事件概念時，為何要強(qiáng)調(diào)“在相同的確定條件下”，學(xué)生難免疑惑，但是，在人教版高中數(shù)學(xué)必修3的教材編寫中，不講隨機(jī)試驗就來講隨機(jī)事件，把隨機(jī)事件定義為：“在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的隨機(jī)事件，簡稱隨機(jī)事件”，定義中的“條件”是什么，師生難以理解[7]！

（3）就教學(xué)作用而言

隨機(jī)現(xiàn)象作為概率論的研究對象，其概念教學(xué)的一個重要作用是明確概率論的研究范圍，在教學(xué)過程中，應(yīng)明確何為確定現(xiàn)象，何為隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性才是概率論要研究對象.隨機(jī)事件是從數(shù)學(xué)的角度研究隨機(jī)現(xiàn)象的切入點(diǎn)，教學(xué)中引入隨機(jī)事件概念的作用是使得隨機(jī)現(xiàn)象中的結(jié)果能夠被當(dāng)成對象來進(jìn)行研究，結(jié)果的規(guī)律性反映了隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，因此，在學(xué)習(xí)概率知識時，隨機(jī)事件是一個必須要掌握的、關(guān)鍵的概念，往往隨機(jī)試驗中的隨機(jī)事件才是需要學(xué)生直接面對和研究的對象.

3 結(jié)論

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式，在數(shù)學(xué)知識體系中，處于基礎(chǔ)地位，對于學(xué)生構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)知識體系十分關(guān)鍵，“隨機(jī)現(xiàn)象”和“隨機(jī)事件”這兩個概念的辨析常會被教師忽視，錯誤地認(rèn)為學(xué)生會計算概率就達(dá)到教學(xué)目標(biāo)了，這是一種功利性地教學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只是為了解題，不應(yīng)把知識僅當(dāng)作做題工具，教師更應(yīng)該關(guān)注的是學(xué)生是否真正理解了抽象的數(shù)學(xué)概念、理論和命題等，而后才能進(jìn)入到對知識的應(yīng)用.