王志紅 ●

江西省贛州市于都中學(xué)(342300)

論二項(xiàng)式定理在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王志紅 ●

江西省贛州市于都中學(xué)(342300)

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)非常重要的部分，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).體會(huì)二項(xiàng)式定理的解題思想，理解二項(xiàng)式定理的概念，并且通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)來(lái)求解系數(shù)求和，以及通項(xiàng)式的求解.本文主要闡述二項(xiàng)式定理的一些基本知識(shí)及其相關(guān)解題技巧，希望給學(xué)生在高中數(shù)學(xué)解題上帶來(lái)幫助.

二項(xiàng)式定理;高中數(shù)學(xué);二項(xiàng)式系數(shù);賦值法

一、利用二項(xiàng)式定理的概念求解

例1 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，如果有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,那么a2的值為( ).

A．3 B.6 C.9 D.12

答案：B.

①項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)；

③每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式根據(jù)a的降幕排列，b的升幕排列進(jìn)行展開.

二、利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)

A．-40 B．-20 C．20 D．40

答案:D.

點(diǎn)評(píng) 二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的求解一般是根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)的表達(dá)式，并讓表達(dá)式的未知數(shù)的指數(shù)為零，此時(shí)通項(xiàng)中前面的系數(shù)即為要求的常數(shù)項(xiàng).

三、賦值法在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用

令x=-1,則有a0+a1+…+an=0①，令x=1,則有a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=2n②.

將①-②得：2(a1+a3+a5+…)=-2n,∴a1+a3+a5+…=-2n-1.

由題意得-2n-1=-256=-28，∴n=9.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于二項(xiàng)式表達(dá)式中的a,b取值不固定，因?yàn)楸磉_(dá)式是一個(gè)恒等式，根據(jù)這一特點(diǎn)，可以將a,b取一些特定的數(shù)，比如-1，0,1，具體的賦值由問(wèn)題而定.此題將變量取為-1,1再兩式相減，在對(duì)表達(dá)式進(jìn)行錯(cuò)位相消，從而得到所需要n的數(shù)值.

四、利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算

例4 2015年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(DFP)達(dá)到676708億元，比上年增長(zhǎng)6.9%.如果“十三·五”期間(2016年～2020年)每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十三·五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為____.

故填910172億元.

五、利用二項(xiàng)式定理求解余數(shù)或整除

例5 求4851除以 7 的余數(shù).

因此,4851除以 7 的余數(shù)是6.

點(diǎn)評(píng) 利用二項(xiàng)式定理求解余數(shù)或整除問(wèn)題，一定要把除數(shù)作為要展開的變量，然后把展開的表達(dá)式進(jìn)行提取公因式.

綜上所述，二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)難點(diǎn)，但也是高考重要的考點(diǎn)，利用好二項(xiàng)式定理這一工具，可幫助中學(xué)生解決高中數(shù)學(xué)許多重要的知識(shí).由于二項(xiàng)式定理讓問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，所以，中學(xué)生務(wù)必將二項(xiàng)式定理熟練掌握，將其靈活運(yùn)用到解題上.本文只是對(duì)二項(xiàng)式定理解題進(jìn)行初步研究，在以后實(shí)踐教學(xué)中還將繼續(xù)，希望給廣大學(xué)生學(xué)習(xí)上帶來(lái)幫助.

G632

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1008-0333(2016)34-0030-01