康東升，龔睫茜，段 笑

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

兩類奇異臨界橢圓方程組解的存在性

康東升，龔睫茜，段 笑

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

研究了兩類非線性奇異臨界橢圓方程組，運(yùn)用Schwartz對(duì)稱化方法、集中緊性原理和山路引理，證明了全空間中的一類齊次臨界橢圓方程組基態(tài)解的存在性和有界區(qū)域上的一類帶有線性擾動(dòng)項(xiàng)的臨界橢圓方程組正解的存在性．

奇異臨界橢圓方程組；解的存在性；集中緊性原理；山路引理

1 研究?jī)?nèi)容及結(jié)果

本文研究如下兩類帶有不同Hardy項(xiàng)和多重臨界項(xiàng)的非線性奇異臨界橢圓方程組：

(1)

(2)

其中D1,2(N)D表示(N)關(guān)于范數(shù)的完備化空間，(Ω)H表示空間(Ω)關(guān)于范數(shù)的完備化空間，Ω?N是包含原點(diǎn)的有界光滑區(qū)域，方程組中的參數(shù)滿足以下假設(shè)：

在乘積空間D2D×D中，方程組(1)的泛函定義為：

I(u,v)x.

在乘積空間H2H×H中，方程組(2)對(duì)應(yīng)的能量泛函為：

于是J∈C1(H2,)．類似地，可以在空間H2與其對(duì)偶空間(H2)-1之間定義對(duì)偶積．

方程組(1)和(2)與Sobolev-Hardy不等式密切相關(guān)[1]：

當(dāng)s=2時(shí)，上式就變?yōu)橹腍ardy不等式[2]：

Λ1(μ),

并且還可以定義下面的最佳常數(shù)：

(3)

A(μ1,μ2)

Vμ,ε(x),

?ε>0,

(5)

(6)

在假設(shè)(H1)和τ≥0條件下，先給出如下符號(hào)定義：

(7)

(8)

c*

c**,

本文的主要結(jié)果歸納為下面5個(gè)定理．

定理1 假設(shè)(H1)成立，且1

定理2 假設(shè)(H1)成立，且2≤q≤2*(s)，則c*=c**，最佳常數(shù)A(μ1,μ2)存在達(dá)到函數(shù)對(duì){C(Vμ1,ε,0)}或{C(0,Vμ2,ε)}，ε>0,C>0，此時(shí)方程組(1)有半平凡基態(tài)解：

2 預(yù)備引理

引理1 假設(shè)條件(H1)成立．則最佳常數(shù)A(μ1,μ2)有一個(gè)非負(fù)徑向?qū)ΨQ的達(dá)到函數(shù)對(duì)(u,v)∈D2{(0,0)}，它也是方程組(1)的一個(gè)非負(fù)基態(tài)解，滿足I(u,v)=c*≤c**．進(jìn)一步地，當(dāng)c*

證明 證明過(guò)程與文獻(xiàn)[5]中引理2.1類似，這里略去．

引理2[6]假設(shè)(H1)成立．

(1) 當(dāng)1

(2) 當(dāng)2≤q≤2*(s)時(shí)，有：

引理3 假設(shè)(H1)成立,則對(duì)任意c

證明 證明與文獻(xiàn)[7]中引理2.1類似，這里略去詳細(xì)過(guò)程．

引理5 在定理4的假設(shè)條件下，當(dāng)ε→0+時(shí)下列漸近估計(jì)成立：

(9)

于是由(3)和(9)式就有：

(10)

(2) 由(9)式和引理4有：

證明 因?yàn)?H2)成立，二次型L(u,v)a1u2+2a2uv+a3v2是正定的，并且滿足m1(u2+v2)≤L(u,v)≤m2(u2+v2),?(u,v)∈H×H.

另一方面，

(11)

(12)

綜合(11)、(12)式、引理4和引理5可得：

O1(∫Ω|uμ1,ε|2)

3 主要結(jié)果的證明

定理1的證明 將(Vμ1,ε,τVμ2,ε),τ≥0帶入(4)式，再由(3)和(4)式有：

A(μ1,μ2).

(13)

考慮如下定義在[0,∞)上的函數(shù)：

因?yàn)楫?dāng)τ→+∞時(shí)k(τ)>0，故存在τ1∈(0,∞)使得在[τ1,∞)上k(τ)>0．此外對(duì)于任意τ2∈[τ1,∞)，在[0,τ2]上∫NF(Vμ1,ε,τVμ2,ε)/|x|s和k(τ)一致收斂．于是，有：

τ∈[0,τ2].

(14)

由(13)和(14)式有：

(15)

這表明c*

定理2的證明 分別用(Vμ1,ε,0)和(Vμ2,ε,0)來(lái)檢驗(yàn)(4)式，由(3)～(5)式就有：

(16)

(17)

由(3)、(7)、(17)式和Minkowski不等式可知：

∫N(|u|2+|

gmin.

(18)

對(duì)于任意u,v∈D{0}，由(3)，(4)式和引理2有：

當(dāng)1

A(μ1,μ2)≥gmin.

(21)

如果2≤q≤2*(s)，由(15)、(21)式和引理2有：

對(duì)任意(u,v)∈H2{(0,0)}，由Hardy不等式和Sobolev-Hardy不等式有：

且存在一個(gè)常數(shù)ρ→0+，使得b(0,0)．由于當(dāng)t→+∞時(shí)，J(tu,tv)→-∞所以存在t0>0使得‖(t0u,t0v)‖H2>ρ且J(t0u,t0v)<0．由山路引理[9,10]可知，存在序列{(un,vn)}?H2，使得當(dāng)n→∞時(shí)，J(un,vn)→c,J′(un,vn)→0．

由引理3知在序列{(un,vn)}中存在子序列(仍記為{(un,vn)})，使得在H2中(un,vn)→(u,v)．因此J存在一個(gè)臨界點(diǎn)(u,v)滿足方程組(2)，并且c就是對(duì)應(yīng)的臨界值．設(shè)u+=max{u,0}，v+=max{v,0}分別用u+,v+來(lái)替換方程組(2)中等式右邊的u,v，并且重復(fù)上述過(guò)程，可以得到方程組(2)的一個(gè)非負(fù)解(u,v)．此外，在假設(shè)條件(H2)中的ai≠0表明u,v≠0．由最大值原理[11]可以推出在Ω{0}中u,v>0．定理4證畢．

定理5的證明 定理5的證明與定理4非常類似，這里略去詳細(xì)過(guò)程．

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Existence of Solutions for Two Singular Critical Elliptic Systems

Kang Dongsheng, Gong Jiexi, Duan Xiao

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, two classes of nonlinear singular critical elliptic systems were studied. The Schwartz symmetrization, the concentration compactness principle and the Mountain Pass lemma were used to prove the existence of ground state solutions to a homogeneous critical elliptic system in the whole space and the existence of positive solutions to a critical elliptic system with linear perturbations in bounded domain.

singular critical elliptic system; existence of solution; concentration compactness principle; Mountain Pass lemma

2016-09-28

康東升(1967-)，男，教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail: dongshengkang@scuec.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11601530)

O175. 25

A

1672-4321(2016)04-0126-06