段 汕，王小凡，張 洪

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

圖像相似性度量方法的研究

段 汕，王小凡，張 洪

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

在Vizilter圖像比較方法研究工作的基礎(chǔ)上，針對比較圖像由于獲取條件不同所產(chǎn)生的信息不確定性問題，通過引入圖像的標(biāo)準(zhǔn)比較空間，對圖像相似性度量問題進(jìn)行了研究.提出了基于距離測度、相關(guān)系數(shù)及復(fù)合投影的圖像相似性度量方法.基于圖像標(biāo)準(zhǔn)比較空間的相似性度量工作不僅對Vizilter的研究成果進(jìn)行了推廣，同時也給出了一些新的研究思路和方法.

圖像比較；相似性度量；投影算子；歐式距離；相關(guān)系數(shù)

在圖像分類、目標(biāo)識別和模板匹配等圖像處理和圖像分析問題[1-8]中，通常需要比較兩幅圖像的相似性或差異性.圖像表述和特征選取是影響圖像相似性度量的兩個重要因素，在Vizilter的研究工作[2]中，圖像被視為一個分片常值函數(shù)(亦稱Mosaic圖像).Mosaic圖像由圖像空間域的一組幾何基元和基元對應(yīng)的強(qiáng)度值表示，該圖像模型是一種強(qiáng)度-幾何模型[3].文獻(xiàn)[2]通過圖像強(qiáng)度和幾何特征的相似性測度來估計圖像的相似性.

文獻(xiàn)[2]主要研究基于兩幅圖像的比較方法，并將各自圖像所產(chǎn)生的圖像空間作為投影空間，通過各類相關(guān)系數(shù)的建立，對圖像的幾何及強(qiáng)度分布進(jìn)行量化.分片常值函數(shù)的圖像表示方法，與圖像的獲取條件密切相關(guān).由不同條件導(dǎo)致的圖像的不確定性使得量化指標(biāo)會產(chǎn)生較大的誤差.本文針對此問題，假定在理想條件下，能夠根據(jù)先驗信息獲得與研究對象具有相同場景、真實反應(yīng)研究對象的幾何及強(qiáng)度特征的標(biāo)準(zhǔn)圖像.標(biāo)準(zhǔn)圖像所產(chǎn)生的圖像的標(biāo)準(zhǔn)比較空間的幾何結(jié)構(gòu)和強(qiáng)度特征作為實現(xiàn)圖像比較的參照標(biāo)準(zhǔn)，通過投影算子[4,5](或濾波)、距離測度等方法提取目標(biāo)圖像的基于比較空間的相似數(shù)據(jù)指標(biāo)，以此實現(xiàn)目標(biāo)圖像與標(biāo)準(zhǔn)空間及多個目標(biāo)圖像間的相似性度量.本文的工作不僅對Vizilter的研究成果進(jìn)行了推廣，同時提出了一些新的研究思路和方法.

1 圖像標(biāo)準(zhǔn)比較空間

在文獻(xiàn)[2]圖像比較研究工作中，圖像被視為一個分片常值函數(shù)，具有如下的形式：

(1)

ωk(x,y)=χWk(x,y)/‖χWk‖,k=1,2,…,p.

(2)

稱為圖像w(x,y)的形狀空間，其中任一圖像w可由向量(w1,w2,…,wp)T∈Rp加以描述．

利用dE(w,f)=‖w-f‖可以確定同一空間中兩幅圖像強(qiáng)度的差異．但即使在線性變換下，都會導(dǎo)致其距離的較大變化.為了保證線性變換下的不變性，往往以正則化的線性相關(guān)系數(shù)K(w,f)=(w,f)/(‖w‖‖f‖)作為比較指標(biāo). 為實現(xiàn)兩幅圖像f,g相似度的比較，不同于文獻(xiàn)[2]，我們以標(biāo)準(zhǔn)圖像w所產(chǎn)生的圖像形狀空間W作為標(biāo)準(zhǔn)比較空間，討論圖像間的相似性度量問題. 為此，我們?nèi)匀灰酝队八阕拥姆椒ㄗ鳛橹饕ぞ哒归_研究.

基于W的結(jié)構(gòu)(2)，圖像f(x,y)∈L2(Ω)在形狀空間W上的投影具有如下形式：

(3)

其中投影系數(shù)fWk=(f,ωk),k=1,2,…,p．

2 基于距離的圖像相似性度量方法

距離測度法是相似性度量常用的方法. Mosaic圖像由幾何基元和其對應(yīng)的強(qiáng)度值表示，即圖像表示中同時反映了其幾何(或形狀)特征和強(qiáng)度特征. 利用圖像f和g在標(biāo)準(zhǔn)比較空間W下的投影PWf和PWg之間的距離可實現(xiàn)圖像f和g的相似性的比較.

2.1 基于歐式距離的圖像相似性度量

給定空間域Ω上形如(1)和(2)式的圖像f(x,y),g(x,y)∈L2(Ω)：

(4)

由(3)式可知，圖像f和g在標(biāo)準(zhǔn)比較空間W上的投影分別是：

(5)

其中fW=(fW1,fW2,…,fWp)T,fWk=(f,ωk);gW=(gW1,gW2,…,gWp)T,gWk=(g,ωk).

此時，圖像f和g相對標(biāo)準(zhǔn)比較空間W的相似性度量問題就轉(zhuǎn)化為空間W中的p維向量PWf和PWg的相似性度量問題. 一般對線性空間中的向量，可使用各種距離來度量其相似性或差異性.在歐式距離下，圖像f和g在標(biāo)準(zhǔn)比較空間W下的距離定義為：

dW(f,g)=‖PWf-PWg‖=‖fW-gW‖=

易知f=g?dW(f,g)=0，且dF(f,g)=‖f-gF‖,dF∧G(f,g)=‖fF∧G-gF∧G‖=‖f-g‖=dE(f,g).

2.2 基于Hausdorff距離的圖像形狀相似性度量

由(4)、(5)式知，對?f∈F,g∈G都有向量fW,gW∈W與之對應(yīng)，由此可知形狀F和G在線性空間W上的投影：

FW和GW是線性空間W中的子集，F(xiàn)W和GW的Hausdorff距離[6]定義為：

相對于比較空間W，形狀F和G的相似程度可以由dW(F,G)=dH(FW,GW)加以描述.

3 基于相關(guān)系數(shù)的圖像相似性度量方法

3.1 基于標(biāo)準(zhǔn)比較空間的線性相關(guān)系數(shù)

考慮圖像f(x,y),g(x,y)∈L2(Ω)及其在標(biāo)準(zhǔn)比較空間W上的投影fW,gW∈W. 向量fW,gW之間的夾角(fW∧gW)及內(nèi)積(fW,gW)可以刻劃圖像f和g相對于標(biāo)準(zhǔn)比較空間W的相似程度.特別地，如果cos(fW∧gW)=0，則說明圖像f和g是正交的，亦即圖像f和g關(guān)于W是相互獨(dú)立的. 由此，我們可以引入相對于標(biāo)準(zhǔn)比較空間W的圖像f和g的線性相關(guān)系數(shù)：

(6)

對于圖像f和g由(4)式知：

結(jié)合(4)、(5)式有：

于是

(7)

進(jìn)一步地，KN(f,g,W)還可以分解成如下形式：

KM(f,W)KM(g,W)K(fW,gW).

(8)

其中KM(f,W)=‖fW‖/‖f‖是文獻(xiàn)[2]定義的形態(tài)相關(guān)系數(shù).KN(f,g,W)在幾何意義上表征為3個余弦cos(f∧fW),cos(g∧gW)和cos(fW∧gW)之乘積，且(7)式給出了KN(f,g,W)的相關(guān)算法.

特別地，在W的特定選取方式下，KN(f,g,W)具有如下形式：

3.2 基于標(biāo)準(zhǔn)比較空間的形狀相關(guān)系數(shù)

利用圖像f∈F和g∈G的單位形狀特征向量u=(u1,u2,…,un)T及v=(v1，v2,…,vm)T將圖像f和g進(jìn)行歸一化，得：

其中γ=MTα=(αTM1,αTM2,…,αTMm)T,D=γγT=(dij)m×m,dij=(αTMi)(αTMj).

Mj(j=1,2,…，m)是矩陣M的列向量.

最終，相對標(biāo)準(zhǔn)比較空間W圖像線性相關(guān)系數(shù)最小值問題等價于如下帶約束條件的最優(yōu)化問題：

(9)

應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法[8]可以完成對上述問題的求解. 首先，考慮問題：

(10)

其對應(yīng)的拉格朗日函數(shù):

L(β,λ)=βTDβ+λ(1-βTβ).

將上式關(guān)于β進(jìn)行矩陣微分，并令其為零，得到2Dβ-2λβ=0,即Dβ=λβ.

可見，當(dāng)問題(10)取得最小值時，λ是D的特征值，β是特征值λ對應(yīng)的特征向量. 由于矩陣D是半正定的對稱矩陣，故其特征值λ是非負(fù)實數(shù).記λFmin和βmin分別是矩陣D的最小特征值和其對應(yīng)的特征向量，則有：

因此：

以此為基礎(chǔ)，給出相對標(biāo)準(zhǔn)比較空間W形狀F和G的形態(tài)相關(guān)系數(shù)：

4 基于復(fù)合投影的圖像形狀相似性度量

結(jié)合(4)、(5)式及單位形狀特征向量u及v，有：

f(x,y)=uTf,g(x,y)=vTg;

由此可以得出復(fù)合投影算子PFPG具有的形式和特征：

PGPFg=PG(PFg)=vTCT(Cg)，

PGPFg*=VTCTCβ=λFVTβ=λFg*.

這說明CTC的特征值λF亦是復(fù)合投影算子PGPF的特征值. 因此，基于3.2中形狀相關(guān)系數(shù)的研究工作，利用復(fù)合投影PWPGf和PWPFg特征值方法進(jìn)一步討論相對標(biāo)準(zhǔn)比較空間W圖像形狀F和G的相似性度量問題.

給定圖像f∈F和g∈G,考慮復(fù)合投影算子PWPG的特征值λGW(0≤λGW≤1)問題：

PWPGf=λGWf.

(11)

由方程(11)可得：

其中PWPGf=fGW.特征值λGW在幾何意義上表征余弦cos(fGW∧fG)和cos(fG∧f)的乘積，故特征值minλGW可以作為基于比較空間W圖像形狀F和G相似性的度量指標(biāo).

由(3)式知：

將上式代入方程(11)，得：

fTCBω=λGWfTu.

又(fTCBωuT)T=(fTCBAT)T=(λGWfTuuT)T=(λGWfT)T,即MCTf=ABTCTf=λGWf.所以，λGW是矩陣MCT的特征值，f是其對應(yīng)的特征向量.類似地，對于復(fù)合投影PWPFg有MTCg=λFWg,即λFW是矩陣MTC的特征值.

4 結(jié)束語

本文在Vizilter研究工作的基礎(chǔ)上，通過引入標(biāo)準(zhǔn)比較空間，用基于距離測度、相關(guān)系數(shù)和復(fù)合投影算子的方法討論了圖像相似性的度量，并得到了相應(yīng)的度量指標(biāo).相似性度量可以應(yīng)用于圖像分類、目標(biāo)檢測及模板匹配等，本文僅在理論上對圖像相似性度量進(jìn)行了研究.后續(xù)工作，將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究相似性度量在圖像處理和分析中的應(yīng)用.

[1] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Projective morphologies and their application in structural analysis of digital images[J]. J Comput Syst Sci Int, 2008, 47: 944-958.

[2] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Similarity measure and comparison metrics for image shapes[J]. J Comput Syst Sci Int, 2014, 4: 542-555.

[3] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Geometrical correlation and matching of 2D images shapes[J]. ISPRS Ann Photogramm Remote Sens Spatial Inf Sci, 2012, 1-3: 191-196.

[4] Evsegneev S O, Pyt′ev Y P. Analysis and recognition of piecewise constant texture images[J]. Pattern Recogn Image Anal, 2006, 16: 398-405.

[5] Pyt′ev Y P. Morphological image analysis[J].Pattern Recogn Image Anal, 1933, 3: 19-28.

[6] Burago D Y, Burago Y D, Ivanov S V. A course in metric geometry[M]. Rhode Island: American Mathematical Society, 2001: 17-20.

[7] 孫即祥. 現(xiàn)代模式識別[M]. 長沙: 國防科技大學(xué)出版社, 2002: 19-22.

[8] 徐 仲, 張凱院, 陸 全, 等. 矩陣論簡明教程[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2001: 85-87.

Research on Method of Similarity Measure for Images

Duan Shan, Wang Xiaofan, Zhang Hong

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

Due to the information of images obtained in different conditions is uncertain, the standard comparison space of image is introduced to solve the problem of image similarity measurement, based on the work of Vizilter in image comparison method. Three methods are used to discuss the image similarity measure, which are based on distance measurement, correlation coefficient and composite projection. The work of image similarity measure related to image standard comparison space not only promote the results of Vilziter, but also put forward some new ideas and methods.

image comparison; similarity measure; projection operator; Euclidean distance; correlation coefficient

2016-09-02

段 汕(1962-)，女，教授，博士，研究方向：數(shù)學(xué)應(yīng)用方法與圖像處理，E-mail: duanshan@mail.scuec.edu.cn

國家自然科學(xué)基金資助項目(61374085；11301552)

O143

A

1672-4321(2016)04-0121-05