李學鋒，王維峰

(中南民族大學 數學與統計學學院，武漢 430074)

一類帶干擾的復合Poisson-Geometric過程風險模型

李學鋒，王維峰

(中南民族大學 數學與統計學學院，武漢 430074)

研究了一類帶干擾的雙到達過程風險模型，其中保費收取為時間t的線性函數而兩險種的索賠均為復合Poisson-Geometric過程. 利用鞅分析得到了該模型的破產概率的Lundberg不等式及其精確表達式；利用微分和It公式得到了生存概率的積分微分方程. 該模型所得到的結果可對保險公司和保險監(jiān)管部門設置預警措施提供一定的理論指導，具有實際應用價值.

復合Poisson-Geometric過程；破產概率；鞅；Lundberg不等式；It公式

自從經典風險模型被提出以后，風險理論便逐漸形成并快速發(fā)展起來.目前，風險理論已經是精算界、數學界及保險業(yè)研究的熱門課題. 該理論主要研究保險事務中各種隨機風險模型的破產概率或生存概率.破產概率或生存概率是衡量保險公司風險狀況的重要指標，是管理風險的重要工具.破產概率高意味著保險公司經營風險大，這時保險公司需要采取合理有效的措施降低風險并提高其承擔風險的能力，確保保險公司能夠長期穩(wěn)定地發(fā)展下去.因此，為了更加符合保險公司的實際需要，許多學者從保費收入、索賠分布等不同的角度對經典風險模型進行了改進和推廣，并用各種不同的方法計算或估算出破產概率或生存概率. 文獻[1,2]分別考慮索賠服從相位(Phase-Type)分布和索賠分布用Erlang分布逼近的情況下的破產概率的表達式；文獻[3,4]將鞅理論用于破產概率的研究，促進了破產理論的快速發(fā)展；文獻[5]中，Dufresne和Gerber研究了帶干擾的復合Poisson過程的風險模型；文獻[6-8]研究了索賠相關過程的風險模型.

經典風險模型及其很多推廣中，總是假設其索賠次數為齊次Poisson過程，而Poisson過程的一個重要性質是均值和方差相等，即風險事件發(fā)生與索賠事件發(fā)生是無差異的.事實上，這個假設過于理想化，在實際中往往得不到滿足.例如在保險公司實行免賠額和無賠款折扣等制度后，一方面，保險公司要求只有當被保險人的損失超過某一金額時才給予賠付；另一方面，被保險人在事故發(fā)生時會權衡其利益得失而決定是否進行索賠，從而實際的索賠次數往往小于事故發(fā)生的次數.這種賠付制度在國外醫(yī)療中經常使用.近年來，我國保險公司在車險中也用到類似的無賠款折扣制度.文獻[9,10]針對這一實際情況，引入了一類索賠過程為復合Poisson-Geometric過程的風險模型，并得到了關于破產概率的一些結論.

本文在上述工作的基礎上，考慮在隨機干擾的條件下，建立了一種保險可能引起兩種索賠的風險模型.比如機動車保險，發(fā)生事故后的保險賠付可能有財產賠付(包括機動車和其它受損財產)，還可能有人身傷害的賠付(包括受傷者醫(yī)療費和死亡賠付).且兩種索賠過程均為復合Poisson-Geometric過程.利用鞅分析得到了該模型的破產概率所滿足的Lundberg不等式及最終破產概率的精確表達式，并利用微分和It公式得到生存概率的積分微分方程.

1 模型的建立

定義1 設隨機變量X的分布函數為F(x)，則X的矩母函數為：

顯然當r→∞時，有mi(r)→∞.

定義2 設(Ω,F,P)是完備的概率空間(本文所有的隨機變量都定義在此空間)，則對u≥0,t≥0，保險公司在t時刻的盈余為：

(1)

其中u≥0為保險公司的初始準備金；c為保險公司單位時間內收到的保險費；{N1(t),t≥0}與{N2(t),t≥0}分別為兩種索賠A和B的到達過程，即分別是保險公司在[0,t]內兩種索賠A和B發(fā)生的次數；Xi為索賠A的第i次索賠額；Yj為索賠B的第j次索賠額；{W(t),t≥0}為標準Wiener過程，表示保險公司不確定性收益和付款，σ>0為擾動系數.

對上述模型做如下假設：

(1) N1(t)～PG(λ1t,ρ1), N2(t)～PG(λ2t,ρ2),λi>0,0≤ρi<1,i=1,2;

(2) {Xi,i=1,2,…}，{Yj,j=1,2,…}都為相互獨立的隨機變量序列，分布函數分別為FX(x)和FY(y),密度函數分別為fX(x)和fY(y)，并假設它們的一、二階矩都存在,且E[Xi]=μ1,E[Yj]=μ2；

(3) {Xi,i=1,2,…}，{Yj,j=1,2,…},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{W(t),t≥0}相互獨立.

即得：

由此定義相對安全負荷系數

(2)

定義3 保險公司的破產時刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}，最終破產概率為：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u},

則生存概率ψ(u)=1-φ(u).

2 相關引理

證明 (i) 根據強大數定律知：

引理2 對于盈余過程{S(t),t≥0}，存在函數g(r)，使得：

E[e-rS(t)]=etg(r).

(3)

證明 E[e-rS(t)]=

引理3 方程g(r)=0存在唯一正解R.

由(2)式知：

g″(r)=

(4)

引理5[11]破產時刻T是FS停時.

P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+o(t),

P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)o(t),k=1,2,…,

3 主要結果

定理1 風險模型(1)的最終破產概率φ(u)滿足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u，

證明 由引理5知T是FS停時，取t0<∞，則易知T∧t0是FS停時，利用有界停時定理知：

e-ru=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=

E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(5)

又當T<∞時，有u+S(T)≤0,所以e-r[u+S(T)]≥1，故：

定理2 風險模型(1)的最終破產概率為：

(6)

其中R為調節(jié)系數.

證明 根據(5)式，取r=R,得：

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0).

(7)

以I(A)表示集合A的示性函數，則：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=

E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且根據強大數定律可知，當t0→∞,U(t0)→∞,a.s..

由控制收斂定理可知：

于是在(7)式兩端令t0→∞即得(6)式.

定理3 假設生存概率ψ(u)二次連續(xù)可微，則對任意u≥0，ψ(u)滿足積分微分方程：

(8)

且滿足邊界條件：

(9)

證明 令：

H(t)=u+ct+σW(t),

(10)

在充分小的時間段(0,t]內，考慮(1)式所定義的風險過程U(t)，由于N1(t)和N2(t)都是Poisson-Geometric過程，由全概率公式及文獻[9]有：

(λ1+λ2)tE[ψ(H(t))]=E[ψ(H(t))]-

(11)

dH(t)=cdt+σdW(t),

σψ′(H(t))dW(t),

即ψ(H(t))=ψ(u)+

所以：

E[ψ(H(t))]=ψ(u)+

(12)

(11)式兩邊同時除以t，并令t→0，同時利用(12)式得：

故(8)式成立.

在(8)式中令u→0并由引理1即得(9)式.

4 結束語

本文提出的一類帶干擾的且索賠為復合Poisson-Geometric過程的雙險種風險模型，不僅保留了Poisson過程的很多良好性質，而且很好地解決了Poisson過程中事故發(fā)生次數與索賠發(fā)生次數相等的問題，該過程與保險公司的實際賠付政策(免賠額制度和無賠款折扣制度)密切相關，從而更好地刻畫了保險公司實際的風險過程，有更具體的應用背景，因此具有很強的實際意義.本文所得到的關于破產概率和生存概率的結論對保險公司的自身設置預警措施有一定的理論指導意義，故該模型有應用價值，同時也能為保險監(jiān)管部門設置相應的監(jiān)管指標系統提供理論依據. 從最終破產概率的表達式可以看出，為確保保險公司的穩(wěn)定經營，一方面，保險公司必須具備足夠的初始準備金；另一方面，公司也不能一味為了提高市場份額而盲目降低保費或高額承保. 因此，保險公司為減小風險，提高承擔風險的能力，必須在獲得盡可能多的保單的同時，做好統計調查，以便厘定合理的保費、免賠額、無賠款折扣及賠付額度. 同時，保險公司還不能忽視一些隨機干擾對公司穩(wěn)定經營的影響，往往這些因素也直接關系到保險公司的生死存亡. 當然，隨著保險公司的日益多元化經營，在實際經營運作中會面臨更多的影響破產概率的因素，本文所建模型乃至現有的所有風險模型都還有待進一步改進，而且本文的思路和計算方法還為以后的研究提供了有益的思路.

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A Kind of Compound Poisson-Geometric Process Risk Model with Disturbance

Li Xuefeng，Wang Weifeng

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we considered a kind of double arrival process risk model with disturbance. In the model, the premium income is a linear function of timetand the two arrivals of the claims follow compound Poisson-Geometric processes. Using martingale analysis, we obtained the Lundberg inequality and the accurate expression of ruin probability；using differential calculus andItformula, we obtained the integro-differential equation for survival probability. The results of the model in this paper can provide some theoretical guidance and have practical application values for the insurance companies and insurance regulatory authorities when they set up early warning measures.

compound Poisson-Geometric process；ruin probability; martingale；Lundberg inequality；Itformula

2016-07-29

李學鋒(1979-)，女，講師，研究方向：金融數學，E-mail: lxf@mail.scuec.edu.cn

國家自然科學基金專項基金項目數學天元基金(11526195)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(CZQ14022)

O211；F840

A

1672-4321(2016)04-0132-05