江蘇省南京河西外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 李 敏

由動(dòng)圓相切引出的問題

江蘇省南京河西外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 李 敏

圓是初中數(shù)學(xué)中非常重要的基本圖形，而動(dòng)圓使圓能夠“運(yùn)動(dòng)”起來(lái)，這就可以在豐富出題思路的同時(shí)增加題目的難度。動(dòng)圓相切作為其中的一類問題，在具有以上性質(zhì)的同時(shí)，還具有情況多樣、注重思維等特點(diǎn)。

坐標(biāo)；面積；時(shí)間；動(dòng)圓；相切

相切在平面幾何的各種位置關(guān)系中是非常特殊的，由相切我們可以得出很多性質(zhì)，但是如何巧妙地應(yīng)用以達(dá)到簡(jiǎn)化答題、準(zhǔn)確答題的目的是我們要學(xué)習(xí)的。接下來(lái)就分幾種情況，向?qū)W生介紹相切這種情況下的解題思路。

1、求坐標(biāo)

坐標(biāo)一定是在直角坐標(biāo)系中的，所以涉及求坐標(biāo)的問題大多是與函數(shù)結(jié)合起來(lái)考查，常見的有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等等，這就需要我們?nèi)嬲莆崭鞣N函數(shù)的圖像、性質(zhì)等，對(duì)學(xué)生的知識(shí)范圍是有力的考查。

解析：首先我們要在直角坐標(biāo)系中畫出拋物線的圖像，接下來(lái)就是確定動(dòng)圓在何處時(shí)會(huì)與x軸產(chǎn)生相切。由拋物線的解析式可知頂點(diǎn)到x軸的距離是1，并不能存在點(diǎn)P在x軸下方相切的情況，所以動(dòng)圓只能在x軸的上方分為在y軸左右的兩種情況分別相切（如題中圖所示），下面就對(duì)此進(jìn)行求解。當(dāng)動(dòng)圓與x軸相切于點(diǎn)A時(shí)，P1的縱坐標(biāo)是2，代入二次函數(shù)中得出橫坐標(biāo)。橫坐標(biāo)出現(xiàn)兩個(gè)值，其實(shí)這就是上面所說的兩種情況，它們是關(guān)于y軸對(duì)稱的。綜上所述，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為或。

點(diǎn)撥：題中如果將動(dòng)圓的半徑減小到某一個(gè)值時(shí)，就有可能出現(xiàn)在x軸下方與其相切的情況了，這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)四種情況，學(xué)生可以將此作為拓展，自行計(jì)算出滿足條件的半徑值。不光是二次函數(shù)，當(dāng)有這種對(duì)稱性質(zhì)的圖形時(shí)都要注意情況的多樣性。

二、求面積

這里的面積并不是求兩個(gè)動(dòng)圓的面積，大多數(shù)都是與兩個(gè)圓有關(guān)的其他圖形的面積。這就需要學(xué)生在知道動(dòng)圓相切時(shí)的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上對(duì)各種圖形的面積公式了如指掌，同時(shí)對(duì)割補(bǔ)法等常見的求面積的方法也要掌握。

例2 如圖所示，△ABC為等腰直角三角形，，。有一個(gè)半徑為1的圓A，O點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)BO=x，。（1）求y關(guān)于x的關(guān)系式和x的取值范圍：（2）以BO為半徑，O為圓心做圓O，當(dāng)此圓與圓A相切時(shí)，求△AOC的面積。

點(diǎn)撥：當(dāng)在初中數(shù)學(xué)中涉及直角三角形的知識(shí)時(shí)，勾股定理是非常實(shí)用的，尤其是在求邊長(zhǎng)證明直角三角形等問題上，另外本題中的兩種情況必須都要計(jì)算才行。關(guān)于相切問題，由于位置關(guān)系的不同常出現(xiàn)多種情況，學(xué)生一定要考慮全面。

三、求時(shí)間

當(dāng)出現(xiàn)時(shí)間的時(shí)候，就一定會(huì)伴隨著路程與速度，可以說此種情況是更加偏向于實(shí)際情況的，讓原本的計(jì)算問題添加一些實(shí)際氣息會(huì)使題目更加有趣，在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)也更加貼近中考的出題理念，是很好的出題思路。

例3 如圖所示，有兩個(gè)半徑都為2cm的動(dòng)圓圓P和圓Q，圓心分別為P，Q。有一矩形ABCD，AB=20cm，BC=4cm。點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以4cm/s的速度沿著曲線A-B-C-D移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始以1cm/s的速度沿著CD運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者有一個(gè)到達(dá)D點(diǎn)之后，兩點(diǎn)就都停止移動(dòng)，求t為何值時(shí)兩動(dòng)圓相切。

點(diǎn)撥：此類問題并不注重對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的檢驗(yàn)，而是更加看重學(xué)生的邏輯思維能力以及分析推理能力，情況的多樣性使題難度增加的同時(shí)，還容易讓我們的思路變得不清晰，這就需要學(xué)生在解題時(shí)集中注意力。

縱觀全文，我們可以看出動(dòng)圓相切問題的多樣性是非常強(qiáng)的，不論以何種形式考查，在題中都會(huì)出現(xiàn)不同的情況，這就給我們一個(gè)啟示，在解此類題時(shí)務(wù)必要考慮全面，不能在盲目找出一種情況時(shí)就直接結(jié)束本題的解答。