江蘇省南京市玄武外國語學(xué)校 沈 艷

反比例函數(shù)最值問題解題方法分析

江蘇省南京市玄武外國語學(xué)校 沈 艷

反比例函數(shù)的最值問題由于其強(qiáng)大的兼容性，可以結(jié)合多種函數(shù)知識(shí)，能更好地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力以及對數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況，成為了近年來中考的熱門題型。本文針對不同的最值情況提出不同的解題方法，以供學(xué)生復(fù)習(xí)參考。

最值問題；反比例函數(shù)；綜合應(yīng)用

本文從線段最值，周長最值，面積最值三個(gè)角度依次舉例說明與反比例函數(shù)相關(guān)的最值問題的解法，數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想在此過程中有著重要的應(yīng)用。

一、三角形性質(zhì)法

巧妙構(gòu)造三角形，利用三角形中兩邊之和大于第三邊以及兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)，可以判斷出線段和或差的最值問題。

解析：先利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)中的未知量，再結(jié)合三角形各邊的關(guān)系找出最小值。將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y1、y2求得k=-2/3,m=-12。

當(dāng)PA，PB與AB構(gòu)成一個(gè)三角形時(shí),由三角形三邊關(guān)系可知|PA+PB|＞|AB|恒成立，故當(dāng)且僅當(dāng)P在AB上時(shí)，|PA+PB|最小，且等于。

點(diǎn)撥：本題中通過三角形解題，不需要分別列式計(jì)算PA、PB的長，使問題由繁化簡，節(jié)省了很大的計(jì)算量，是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn)。

二、配方法

配方法就是將關(guān)系式配成二次函數(shù)或者三次函數(shù)的形式，再利用相關(guān)知識(shí)解答，在解題時(shí)出現(xiàn)不在課本上介紹過的初等函數(shù)范圍內(nèi)時(shí),常用配方法解決。

OABC的周長,然后利用配方法求最小值。

AC=m,AB=,因?yàn)锳B⊥x軸和AC⊥y軸，OC⊥OB，所以四邊形OBAC為矩形，故其周長為：

點(diǎn)撥：本題用四邊形周長代數(shù)式的特點(diǎn)列出的函數(shù)式是中學(xué)階段較為常見的也是很重要的關(guān)系式,利用配方法解此式是學(xué)生應(yīng)該掌握的解題能力。

三、二次函數(shù)法

將數(shù)量關(guān)系表達(dá)為二次函數(shù)，根據(jù)其函數(shù)性質(zhì)就可以很直接地看出最值的有無以及大小了，此法多見于求多邊形周長或者面積的最值問題。下面例題中為面積最值。

解析：將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，解得c=-5,則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入y2，得d=-2，則，而一次函數(shù)y1=kx+b的圖象經(jīng)過B（-1，5）、兩點(diǎn)，故。令y1=0，解得x=3/2，故，由題意，設(shè)，因?yàn)镈P∥x軸，且點(diǎn)D在y2的圖象上，故，即。則△PAD的面積為。又n=-2m+3， -1＜m＜3/2，得0＜n＜5，而，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，△PAD的面積S最大，為。

點(diǎn)撥：本題在反比例函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)上又綜合考査了一次函數(shù)的解法、二次函數(shù)的解法等初中的核心內(nèi)容，在能力上檢驗(yàn)了學(xué)生在動(dòng)態(tài)情形下對圖形的觀察分析能力及函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力。

從本文的舉例中可以看出，反比例函數(shù)最值問題應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法多，縱橫聯(lián)系復(fù)雜，注重?cái)?shù)學(xué)思想的運(yùn)用，希望在提升學(xué)生解此類問題能力的同時(shí)可以激發(fā)學(xué)生的探索興趣，塑造自身的思維品質(zhì)。