江蘇省海門市海南中學(xué) 龔 杰

等腰三角形中悟分類思想

江蘇省海門市海南中學(xué) 龔 杰

分類思想是初中階段的核心數(shù)學(xué)思想，也是中考的必考點(diǎn)。正確進(jìn)行分類討論的關(guān)鍵是弄清楚分類的依據(jù)。對于初二學(xué)生而言，代數(shù)的分類經(jīng)歷過絕對值的分類、方程無解的分類，幾何上遇到的分類情況就更少了，遇到分類討論比較多的就是等腰三角形這一特殊的三角形。等腰三角形中有很多涉及分類思想的題目，遇到這類題目，常犯的錯(cuò)誤就是“漏解”，怎么才能避免這種情況的產(chǎn)生呢？如何從對等腰三角形的分類有進(jìn)一步的理解后對分類思想有進(jìn)一步的思考？本文從分類的依據(jù)入手，談?wù)勅绾伟盐盏妊切蔚姆诸慄c(diǎn)，從而正確做到“不重不漏”，避免“漏解”情況的發(fā)生。

三角形的基本構(gòu)成元素就是邊和角，還有三條重要的線段。下面我們就這幾點(diǎn)來討論一下等腰三角形的分類情況。

一、遇邊要分為“腰”和“底”

例1 等腰三角形兩條邊的長度分別為7和8，則它的周長為_____ 。

分析：題目的已知條件中提到等腰三角形的兩條邊長，但是并沒有指明邊長7和8中，哪條長度是腰長，哪條長度是底邊的長，所以我們就要分類。當(dāng)?shù)妊切蔚难L是7時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底邊長就是8，則此時(shí)等腰三角形三條邊的長度分別為7，7，8，它的周長就是7+7+8=22；當(dāng)?shù)妊切蔚难L是8時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底邊長就是7，則此時(shí)等腰三角形三條邊的長度分別為7，8，8，周長就是7+8+8=23。然后我們考慮一下三角形的三邊關(guān)系，發(fā)現(xiàn)都可以。故這個(gè)等腰三角形的周長等于22或23。

例2 等腰三角形兩條邊長分別為4和8，則它的周長為_____ 。

分析：同例1一樣，題目的已知條件中提到等腰三角形的兩條邊長，但是并沒有指明邊長7和8中，哪條長度是腰長，哪條長度是底邊的長，所以我們?nèi)匀灰诸悺．?dāng)?shù)妊切蔚难L是4時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底邊長就是8，則此時(shí)等腰三角形三條邊的長度分別為4，4，8，它的周長就是4+4+8=16；當(dāng)?shù)妊切蔚难L是8時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底邊長就是4，則此時(shí)等腰三角形三條邊的長度分別為4，8，8，周長就是4+8+8=20。但是考慮到三邊組成三角形要滿足三角形的三邊關(guān)系，因?yàn)?+4=8，所以這種情況不成立。故這個(gè)等腰三角形的周長等于20。

歸納：在等腰三角形的題目中，若條件中涉及到等腰三角形的邊長，沒有圖又沒有明確哪條是底邊長，哪條是腰長時(shí)，應(yīng)該在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論。

二、遇角要分為“頂”和“底”

例3 已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是70°，則它的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是_____。

分析：題目的已知條件中提到等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，但是并沒有指明70°是頂角還是底角，所以我們就要分類。當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘?0°時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)就是（180°-70°）=55°，則此時(shí)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為70°，55°，55°；當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉鞘?0°時(shí)，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)就是180°-2×70°=40°，則此時(shí)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為70°，70°，40°。

例4 已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是110°，則它的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是_______。

分析：同例3一樣，題目的已知條件中提到等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，但是并沒有指明110°是頂角還是底角，所以我們就要分類。當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘?10°時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)就是（180°-110°）=35°，則此時(shí)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為110°，35°，35°；當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉鞘?10°時(shí)，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)就是180°-2×110°=-40°，而三角形的內(nèi)角不可能是負(fù)數(shù)，所以這種情況舍去。

歸納：在等腰三角形的題目中，若條件中涉及到等腰三角形的角的度數(shù)，沒有圖又沒有明確哪個(gè)角是頂角，哪個(gè)角是底角時(shí)，應(yīng)該在符合三角形內(nèi)角和是180°的前提下分類討論。頂角的取值范圍0°～180°，底角的取值范圍0°～90°。

例5 平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（3，-3），在x軸上確定一點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有______個(gè)。

分析：△AOP是等腰三角形，三角形中三個(gè)頂點(diǎn)A，O，P中點(diǎn)A，點(diǎn)O已確定，我們只要尋找點(diǎn)P即可。三角形的三條邊中邊AO已經(jīng)確定，但是AO是腰還是底邊還不知道，這就需要分類討論了。

首先我們認(rèn)為AO是腰，腰有兩個(gè)端點(diǎn)，誰是頂點(diǎn)還不確定，所以我們需要再次分類。

（1）AO為腰，A為頂點(diǎn)，那就說明AO=AP，所以我們只要以A為圓心，AO長為半徑，畫圓，與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，一個(gè)與O重合，另一個(gè)就是我們要找的第一個(gè)P點(diǎn)；

（2）AO為腰，O為頂點(diǎn)，那就說明OA=OP，所以我們只要以O(shè)為圓心，OA長為半徑，畫圓，與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，兩個(gè)都是我們要找的P點(diǎn)；這樣我們就找到了3個(gè)P點(diǎn)。

其次就是AO是底，底有兩個(gè)端點(diǎn)，都不是頂點(diǎn)，所以我們不需要分類。

（3）AO為底邊，P就是頂點(diǎn)，那就說明PA=PO，所以我們需要找一個(gè)P點(diǎn)到AO兩端點(diǎn)的距離相等，所以P在AO的垂直平分線上，我們畫線段AO的垂直平分線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，這就是我們腰找的第4個(gè)點(diǎn)P。

綜上所述，這樣的P點(diǎn)一共有4個(gè)。

歸納：對于尋找等腰三角形可以按照逐步分類的方法來思考，這樣就能不重不漏地找到了，而且不管題目如何變，在x軸上找，還是在y軸上找，用這個(gè)方法都能逐步解決。

三、遇高要分為“內(nèi)”和“外”

例6 已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，則頂角的度數(shù)為_________ 。

分析：三角形的高一般分為三種，銳角三角形的三條高都在形內(nèi)，直角三角形的兩高在邊上，一條在形內(nèi)，鈍角三角形的兩條高在形外，一條在形內(nèi)。因?yàn)闊o圖，所以不知道頂角是銳角，直角還是鈍角，所以要分類討論。高在邊上不能形成夾角，所以直角舍去。我們可以畫出圖形進(jìn)行解決問題。

由圖1可知頂角為45°，由圖2可知頂角為135°。

歸納：對于等腰三角形的中出現(xiàn)高，如果無圖就要分類討論，得出兩個(gè)結(jié)論，而且這兩個(gè)角是互補(bǔ)的。

通過以上對等腰三角形中分類思想的討論，我們應(yīng)該對于分類思想有了基本的認(rèn)識，在今后的幾何學(xué)習(xí)和代數(shù)學(xué)習(xí)中首先要弄清楚每一個(gè)知識點(diǎn)，才能在遇到分類情況時(shí)能夠又快又準(zhǔn)地找到分類依據(jù)，從而就能不重不漏地進(jìn)行解答。