李 蕊 劉改琴

(重慶理工大學(xué)光電信息學(xué)院，重慶 400054)

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大學(xué)物理教學(xué)中對(duì)大角度單擺的介紹

李 蕊 劉改琴

(重慶理工大學(xué)光電信息學(xué)院，重慶 400054)

大學(xué)物理的教學(xué)在簡(jiǎn)諧振動(dòng)部分介紹了小角度單擺，但沒(méi)有介紹擺角較大時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng).利用Matlab研究了大角度的單擺運(yùn)動(dòng)，得到了大角度單擺的運(yùn)動(dòng)曲線，曲線表明，盡管擺角較大時(shí)單擺不再做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但其運(yùn)動(dòng)曲線看似余弦曲線，且具有一定的周期性；文章給出了小角度單擺的相圖及其與實(shí)際擺動(dòng)的對(duì)比動(dòng)畫(huà)；對(duì)大角度單擺運(yùn)動(dòng)的相圖進(jìn)行了分析，說(shuō)明在擺角較大時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)將不同于簡(jiǎn)諧振動(dòng)而更加復(fù)雜.在此基礎(chǔ)上，探討了如何把所得結(jié)論引入到大學(xué)物理教學(xué)中，以加深和拓展學(xué)生對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)的理解.

單擺；Matlab；動(dòng)畫(huà)

在大學(xué)物理教學(xué)中，對(duì)單擺的介紹安排在簡(jiǎn)諧振動(dòng)部分，而只有單擺的擺角很小的時(shí)候單擺才做簡(jiǎn)諧振動(dòng).單擺的擺角為大角度時(shí)做什么運(yùn)動(dòng)并未給學(xué)生介紹.由于單擺擺角較大時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程沒(méi)有解析解，Matlab軟件可以對(duì)非線性微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，在作圖和動(dòng)畫(huà)方面也功能強(qiáng)大，不少文獻(xiàn)都采用Matlab對(duì)單擺進(jìn)行分析[1-3].故本文首先通過(guò)Matlab計(jì)算來(lái)分析無(wú)阻尼無(wú)驅(qū)動(dòng)力時(shí)大角度單擺的運(yùn)動(dòng)，得到圖像和動(dòng)畫(huà)，然后在此基礎(chǔ)上探討如何把大角度單擺的運(yùn)動(dòng)引入到課堂教學(xué)中，以加深和拓展學(xué)生對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)的理解.

1 無(wú)阻尼、無(wú)驅(qū)動(dòng)力時(shí)大角度單擺的運(yùn)動(dòng)

無(wú)阻尼、無(wú)外來(lái)驅(qū)動(dòng)力時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，方程的解為正弦(或余弦)函數(shù)，單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng).而當(dāng)單擺擺角為大角度時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程為非線性方程，很難得到其解析解.利用Matlab軟件對(duì)大角度的單擺運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，將(2)式改寫(xiě)為

(3)

計(jì)算所得到的不同擺角的單擺運(yùn)動(dòng)曲線如圖1所示.

圖1 不同擺角的單擺運(yùn)動(dòng)曲線

圖1顯示了不同的大角度的單擺運(yùn)動(dòng)曲線，曲線看似余弦曲線，并且運(yùn)動(dòng)周期隨擺幅的增大而增大.這一趨勢(shì)與大角度的單擺運(yùn)動(dòng)周期公式相符合[4].

T=

在大學(xué)物理教學(xué)中講完做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的小角度單擺之后，作為補(bǔ)充，可以直接給出圖1和以上的周期公式，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到擺角較大時(shí)單擺不再做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但仍然在做周期運(yùn)動(dòng).

2 小角度單擺運(yùn)動(dòng)的相圖

在大學(xué)物理教學(xué)中對(duì)小角度單擺運(yùn)動(dòng)的描述往往是角位置、速度、加速度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系.但是當(dāng)單擺的擺角較大時(shí)，由于其運(yùn)動(dòng)方程無(wú)法給出解析解，這時(shí)就可采用相圖表示單擺小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

(4)

適當(dāng)選擇初始條件，其解為

(5)

(6)

因此，小角度的單擺的相圖如圖2所示是一個(gè)圓.顯然這并不是單擺小球的真實(shí)的運(yùn)動(dòng)軌道，但同樣給出單擺不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖2 小角度單擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相圖

為幫助學(xué)生理解相圖，還可給出小角度單擺運(yùn)動(dòng)與其相圖的對(duì)比動(dòng)畫(huà)，圖3為對(duì)比動(dòng)畫(huà)的一個(gè)截圖.圖中顯示單擺小球正向左側(cè)擺動(dòng).

圖3 小角度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相圖與單擺運(yùn)動(dòng)的對(duì)比圖

將相圖引入到教學(xué)中，可以拓展學(xué)生的思維方式，使其認(rèn)識(shí)到可以有或直觀或抽象的多種方式表現(xiàn)物體的運(yùn)動(dòng).在課堂教學(xué)中如果有富余的時(shí)間，可以對(duì)相圖的概念略作介紹，然后給出單擺運(yùn)動(dòng)與其相圖的對(duì)比動(dòng)畫(huà)即可.

3 大角度單擺運(yùn)動(dòng)的相圖

當(dāng)單擺的擺角較大時(shí)，可從保守系統(tǒng)能量守恒的角度來(lái)給出相圖.為了能做大幅度的運(yùn)動(dòng)，把單擺系有小球的細(xì)繩換成質(zhì)量可忽略的剛性細(xì)桿.取單擺擺桿水平時(shí)重力勢(shì)能為零，則單擺的總機(jī)械能為

(7)

(8)

(9)

選取不同的H值(H=-0.866,0,1,1.8)，可得大角度的單擺運(yùn)動(dòng)相圖如圖4所示.

圖4 不同擺角的單擺相圖

由圖4可知，當(dāng)H<1時(shí)，相軌道是一些閉合回線，單擺做往復(fù)運(yùn)動(dòng).

而當(dāng)H=1、擺角可達(dá)到π時(shí)，相當(dāng)于單擺豎直倒立起來(lái)，從圖4中可以看出出現(xiàn)了不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).在平衡點(diǎn)處，單擺的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了兩種可能，一種可能是單擺在最高點(diǎn)反向運(yùn)動(dòng)，仍然呈現(xiàn)一種往復(fù)運(yùn)動(dòng)，在相圖中相軌道閉合；第二種可能是單擺在最高點(diǎn)沿原運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)，這時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)已不再是周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)了，其相軌道也不再閉合.而在有阻尼、有驅(qū)動(dòng)力時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)將更加復(fù)雜，很容易進(jìn)入混沌[5,6].

當(dāng)H>1時(shí)，曲線不再閉合，表示單擺不再擺動(dòng)，而是沿順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)起來(lái).

由此可知，單擺具有較大能量時(shí)，其運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了不確定性，已經(jīng)不同于我們所習(xí)慣的機(jī)械決定

論了.這種延伸知識(shí)的介紹可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到單擺的運(yùn)動(dòng)就能體現(xiàn)經(jīng)典力學(xué)的局限性.在物理選修課的教學(xué)中可以對(duì)此作一些講解.

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用Matlab給出了大角度單擺的運(yùn)動(dòng)曲線和不同擺角的單擺的相圖.計(jì)算所得曲線與理論分析的結(jié)果是一致的.利用Matlab計(jì)算得到曲線圖像可以清楚顯示出大角度單擺的運(yùn)動(dòng)，動(dòng)畫(huà)比對(duì)更是可以使學(xué)生易于理解.把這些圖和動(dòng)畫(huà)引入到大學(xué)物理的教學(xué)中，可使學(xué)生對(duì)單擺的運(yùn)動(dòng)有更深的理解.

[1] 李碩，趙彤帆，李根全，等．Matlab軟件在單擺自由振動(dòng)中的應(yīng)用[J]．實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2013，32(11)：65-68. Li S， Zhao T F， Li G Q， et al. Application of Matlab Software in simple pendulum free oscillation[J]． Research and Exploration in Laboratory， 2013， 32(11)： 65-68.

[2] 郭娜，朱奕奕．Matlab軟件在單擺自由振動(dòng)中的應(yīng)用探索[J]．電子技術(shù)與軟件工程，2015(10)：86. Guo N， Zhu Y Y． Application and exploration of Matlab software in simple pendulum free oscillation[J]． Electric Technology & Software Engineering， 2015， 10： 86.

[3] 龍曉霞．大角度單擺運(yùn)動(dòng)的計(jì)算機(jī)模擬[J]．重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，5(2)：28-31. Long X X． Computer simulation for the motion of a single pendulum in large angle[J]． Journal of Chongqing University of Arts and Sciences(Nature Sciences Edition)， 2006， 5(2)： 28-31.

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[6] 黃報(bào)星．非線性單擺的周期解與混沌解及其混沌控制[J]． 高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，16(2)：1-3,13. Huang B X． Periodic solution and chaotic solution of nonlinear simple pendulum and chaos control[J]． Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)， 2003， 16(2)： 1-3,13.

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INTRODUCE SIMPLE PENDULUM OF LARGE ANGULAR AMPLITUDE IN UNIVERSITY PHYSICS TEACHING

Li Rui Liu Gaiqin

(College of Optical and Electronic Information, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054)

Simple pendulum of small angular amplitude is introduced in university physics teaching, but simple pendulum of large angular amplitude is not mentioned. In this paper, Matlab was used to study the motion of simple pendulum of large angular amplitude and the motion curves are obtained. The curves seem like cosine curve and the motion is also periodic. Phase diagram of simple pendulum of small angular amplitude is given and an animation is made to contrast phase diagram with the actual motion. Phase diagram of large angular amplitude shows a more complicated motion of simple pendulum, which is different from the simple harmonic oscillation. On this basis, how to introduce the conclusions in the physics teaching is discussed in order to deepen and broaden students’ understanding of simple pendulum movement.

simple pendulum; Matlab; animation

2015-11-19；

2016-03-08

重慶理工大學(xué)高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目2013YB37.

李蕊，女，講師，主要從事物理教學(xué)科研工作,研究方向?yàn)槟蹜B(tài)物理.lrsharper@cqut.edu.cn

李蕊,劉改琴. 大學(xué)物理教學(xué)中對(duì)大角度單擺的介紹[J]. 物理與工程，2016，26(6)：75-77.