魯祖亮 曹龍舟李林

(1.重慶三峽學(xué)院非線性科學(xué)與系統(tǒng)重點實驗室,重慶 萬州 404000; 2.天津財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與經(jīng)濟研究中心,天津 東城區(qū) 300222)

參數(shù)識別問題混合有限元解的最大模誤差估計

魯祖亮1,2, 曹龍舟1,李林1

(1.重慶三峽學(xué)院非線性科學(xué)與系統(tǒng)重點實驗室,重慶 萬州 404000; 2.天津財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與經(jīng)濟研究中心,天津 東城區(qū) 300222)

研究了參數(shù)識別問題混合有限元解的最大模誤差估計.利用 1階 Raviart-Thomas混合有限元離散狀態(tài)和對偶狀態(tài)變量,利用分片線性函數(shù)逼近控制變量,獲得了狀態(tài)變量和控制變量的最大模誤差估計,這里控制變量的收斂階是h2,狀態(tài)變量的收斂階是最后利用數(shù)值算例驗證了理論結(jié)果.

參數(shù)識別問題;混合有限元方法;最大模誤差估計

1 引言

參數(shù)識別問題的數(shù)值模擬是科學(xué)和工程計算中的一個重要研究領(lǐng)域,在材料力學(xué)、工程力學(xué)、工程設(shè)計等方面都有廣泛應(yīng)用.例如,1984年,Ewing教授總結(jié)了油藏模擬問題中的參數(shù)識別問題;1986年,Yeh教授系統(tǒng)研究了地下水水文問題的參數(shù)識別問題;最近,各種參數(shù)識別問題已經(jīng)科學(xué)計算中大量出現(xiàn)[1-3],因此研究這類問題的數(shù)值計算方法就顯得很重要.但是許多參數(shù)識別問題計算規(guī)模巨大,對求解速度及精度要求很高,所以提高這類最優(yōu)控制問題的計算效率是急需解決的重要問題.要提高求解這類問題的計算效率,就需要借助一些先進的數(shù)學(xué)工具和計算方法.

混合有限元方法是在有限元的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一個分支,已成為偏微分方程數(shù)值求解的一種重要方法.雖然由混合有限元方法所生成的代數(shù)問題比標準Galerkin方法對應(yīng)的代數(shù)問題要龐大得多,但是由于這種方法對某些問題的特殊優(yōu)越性,它仍然被廣泛的應(yīng)用于工程數(shù)值模擬和計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域.

2 混合有限元方法

3 最大模誤差估計

這一節(jié),考慮參數(shù)識別問題混合有限元解的L∞先驗誤差估計.利用文獻[8]的引理2.1,能獲得如下的結(jié)論.

引理3.1令和如果τ∈Wh滿足：

引理3.2假設(shè)和分別是問題(32)-問題(35)和問題(36)-問題(39)的解.如果中間誤差滿足：

引理 3.3設(shè)u?是問題 (19)-問題 (23)的解,是問題 (27)-問題 (31)的解.假設(shè)u?-y?z?∈H2(?).這時有

接下來,將獲得控制變量和狀態(tài)變量的最大模誤差估計.首先引入一個加權(quán)的L2范數(shù),這個范數(shù)將在獲得最大模估計的過程中發(fā)揮很大的作用.令定義如下的權(quán)函數(shù)

對于任意的r∈R,定義一個r加權(quán)范數(shù)如下

利用文獻[12]中的引理3.1,得到如下結(jié)果：

引理 3.4令μ在(66)中定義,如果v∈(L2(?))2,這時

引理 3.5如果v∈(L∞(?))2,這時

進一步,引入一個加權(quán)L2范數(shù)與L∞范數(shù)的關(guān)系和一些超逼近結(jié)果[13]：

如果v∈Wh是一個固定單元,被選擇滿足這時

引理3.6[7]令ξ是問題(73)的解.假設(shè)?是一個凸集.這時有

現(xiàn)在考慮中間變量和投影算子的誤差估計.

引理 3.7令和分別是(19)-(22)和(36)-(39)的解.如果解滿足：

則

引理 3.8令和分別是問題(36)-(39)中取和的解.這時有

類似于引理3.3,能獲得控制變量的L∞-誤差估計.

引理 3.9令u?和分別是問題(19)-(23)和(27)-(31).假設(shè)這時有

利用方程(19)-(23)和(27)-(31),得到如下的誤差方程：

利用類似于引理3.7的證明方法,得到

引理 3.10令和分別是問題(19)-(22)和(27)-(30)的解,這時有

通過修改文獻[14]中的定理3.3,能夠得到

引理 3.11令和分別是問題(19)-(22)和(27)-(30)的解,這時有

最后,獲得狀態(tài)變量和控制變量的L∞-誤差估計.

定理3.1令和分別是問題(19)-(22)和(27)-(30)的解.假設(shè)這時有

4 數(shù)值算例

這一節(jié),將用一個數(shù)值算例來驗證前面的理論結(jié)果,數(shù)值算例的程序主要采用了李若教授等人編寫的AFEPack軟件包[16].考慮如下的等分布參數(shù)識別問題：

其約束集為U={u∈L∞(?)：u(x)≥0}.

接下來,選擇如下真解：

表1 誤差‖u?-u?h‖0,∞,‖y?-y?h‖0,∞和‖z?-z?h‖0,∞的收斂階

表2 誤差‖p?-p?h‖0,∞和‖q?-q?h‖0,∞的收斂階

[1]Babu?ka I,Strouboulis T.The Finite Element Method and its Reliability[M].Oxford：Oxford University Press,2001.

[2]Braess D.Finite Elements[M].Berlin Heidelberg：Springer-Verlag,1992.

[3]Brezzi F,Fortin M.Mixed and Hybrid Finite Element Methods[M].Berlin Heidelberg：Springer-Verlag, 1991.

[4]Chen Y,Lu Z,Huang Y.Superconvergence of triangular Raviart-Thomas mixed finite element methods for bilinear constrained optimal control problem[J].Comp.Math.Appl.,2013,66(8)：1498-1513.

[5]Kr?ner A,Vexler B.A priori error estimates for elliptic optimal control problems with a bilinear state equation[J].Comp.Appl.Math.,2009,230(2)：781-802.

[6]Kunisch K,Liu W,Chang Y,et al.Adaptive finite element approximation for a class of parameter estimation problems[J].J.Comput.Math.,2010,28(5)：645-675.

[7]Kwon Y,Milner F A.L∞-error estimates for mixed methods for semilinear second-order elliptic equations[J].SIAM J.Numer.Anal.,1988,25(1)：46-53.

[8]Li R,Ma H,Liu W.,et al.Adaptive finite element approximation for distributed elliptic optimal control problems[J].SIAM J.Control Optim.,2002,41(5)：1321-1349.

[9]Lu Z,Chen Y.A posteriori error estimates of triangular mixed finite element methods for semilinear optimal control problems[J].Adv.Appl.Math.Mech.,2009,1(4)：242-256.

[10]Lu Z,Chen Y.L∞-error estimates of triangular mixed finite element methods for optimal control problem govern by semilinear elliptic equation[J].Numer.Anal.Appl.,2009,12(1)：74-86.

[11]李鑫.基于新的核函數(shù)求解凸二次規(guī)劃的內(nèi)點算法[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報,2016,32(3)：20-24.

[12]Lu Z,Chen Y,Zheng W.A posteriori error estimates of lowest order Raviart-Thomas mixed finite element methods for bilinear optimal control problems[J].East Asia J.Appl.Math.,2012,2(2)：108-125.

[13]Miliner F A.Mixed finite element methods for quasilinear second-order elliptic problems[J].Math.Comp., 1985,44(170)：303-320.

[14]Raviart P A,Thomas J M.A mixed finite element method for 2nd order elliptic problems,math.aspects of the finite element method[J].Lecture Notes in Math.,1977,606(2)：292-315.

[15]Scholz R.A remark on the rate of convergence for a mixed finite element method for second order problems[J].Numer.Funct.Anal.Optim.,1982,4(3)：269-277.

[16]Yang D,Chang Y,Liu W.A priori error estimate and superconvergence analysis for an optimal control problem of bilinear type[J].J.Comput.Math.,2008,26(4)：471-487.

Maximum norm error estimates of mixed finite element solutions for parameters identification problems

Lu Zuliang1,2, Cao Longzhou1, Li Lin1
(1.Key Laboratory for Nonlinear Science and System Structure,Chongqing Three Gorges University, Chongqing 404000,China; 2.Research Center for Mathematics and Economics,Tianjin University of Finance and Economics, Tianjin 300222,China)

In this paper,we investigate maximum norm error estimates of the parameters identification problems by Raviart-Thomas mixed finite element methods.The state and the co-state variables are approximated by the order k=1 Raviart-Thomas mixed finite element spaces and the control variable is approximated by piecewise linear functions.We obtain maximum norm error estimates for the control variable and coupled state variable, the convergence order is h2for the control and state variable andfor co-state variable.The performance of the error estimates is assessed by a numerical example.

parameters identification problems,mixed finite element methods,maximum norm error estimates

O241.82

A

1008-5513(2016)06-0562-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.002

2016-04-01.

國家自然科學(xué)基金(11201510,11171251);重慶市高?？蒲袆?chuàng)新團隊(CXTDX201601035);中國博士后科學(xué)基金(2015M580197);教育部春暉計劃(Z2015139);重慶市科委項目(cstc2015jcyjA20001);重慶市萬州區(qū)科委項目.

魯祖亮(1980-),博士,教授,研究方向：偏微分方程數(shù)值解.

2010 MSC:49J20,65N30