朱瑩,馬飛遙

(寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江 寧波 315211)

帶有變指數(shù)擬線性橢圓方程組的邊界爆破解

朱瑩,馬飛遙

(寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江 寧波 315211)

研究了在光滑有界域中帶有變指數(shù)的擬線性橢圓方程組,且該方程組滿足邊界爆破的條件,在常指數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入討論了變指數(shù)的情況.主要運(yùn)用了構(gòu)造上下解和迭代的方法證明了邊界爆破解在臨界與次臨界條件下,解的存在性,唯一性以及邊界行為.

橢圓方程;擬線性;變指數(shù);邊界爆破

1 引言

本文將研究如下帶有變指數(shù)擬線性方程組的邊界爆破問(wèn)題

其中?是RN中的光滑有界域,?p代表p-Laplacian算子,定義為

指數(shù)a(x),b(x),c(x),e(x)滿足a(x),e(x)＞p-1,b(x),c(x)＞0.邊界爆破行為是指當(dāng)d(x)→0+時(shí),u(x),v(x)→+∞,其中d(x)表示?中任意一點(diǎn)x到邊界??的距離,即

邊界爆破問(wèn)題已經(jīng)被大量的國(guó)內(nèi)外研究者研究.他們分別從不同的角度用不同的方法研究了不同問(wèn)題的邊界爆破,從單個(gè)方程到方程組,從線性方程,半線性方程,擬線性方程到完全非線性方程,研究了所謂的次臨界、臨界乃至超臨界時(shí)的邊界爆破問(wèn)題.

文獻(xiàn)[1]在對(duì)方程 ?u=eu,x∈?,u=∞,x∈??作了探討,證明該方程具有唯一解u∈C2(?),并且給出了邊界行為.從此拉開(kāi)了研究橢圓方程邊界爆破問(wèn)題的序幕.

文獻(xiàn)[2]研究了含一般右端項(xiàng)的擬線性橢圓方程?pu=f(u)在右端項(xiàng)為單調(diào)增的正函數(shù)和一些其他的條件時(shí)的解的情況.與此同時(shí),還研究了徑向?qū)ΨQ情況下的解的邊界行為.

文獻(xiàn)[3]考慮了當(dāng)指數(shù)a(x),b(x),c(x),e(x)為常數(shù)時(shí)的擬線性橢圓方程組

分別分析了在次臨界(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)＞b(x)c(x)和臨界(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)=b(x)c(x)條件下解的邊界爆破行為,并且給出了滿足一定條件下的解的存在性和唯一性.文獻(xiàn)[4]研究了帶有權(quán)函數(shù)的擬線性單個(gè)方程的邊界爆破解.

本文的主要研究?jī)?nèi)容是基于前人研究基礎(chǔ)上,對(duì)變指數(shù)的擬線性方程組次臨界和臨界條件給予新的定義,并得到有類似于文獻(xiàn)[5]中邊界爆破的結(jié)果.我們關(guān)注的是非負(fù)的弱解,即(u,v)滿足方程組(1.1),且然而,根據(jù)p-Laplacian的正則性,我們可以觀察到弱解(見(jiàn)文獻(xiàn)[6-8]),又由變指數(shù)a(x),e(x)＞p-1,再利用比較原則,可以得到在?中u,v＞0(見(jiàn)文獻(xiàn)[9]).

2 主要結(jié)果

本文利用類似于文獻(xiàn)[3]中迭代的方法,并結(jié)合上下解的構(gòu)造,得到了次臨界和臨界情況下,方程組(1.1)解的邊界行為,即：

定理2.1(次臨界條件下解的存在性)假設(shè)(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)＞b(x)c(x),則方程組(1.1)至少有一個(gè)正解當(dāng)僅當(dāng)b(x)＜e(x)-p+1,c(x)＜a(x)-p+1.

定理 2.2(次臨界條件下解的邊界行為)假設(shè) (u,v)是方程組 (1.1)的一組正解,a(x),e(x)＞p-1,并且滿足則存在常數(shù)C1,C2,使得

定理2.3(解的唯一性)假設(shè)(u1,v1),(u2,v2)都是方程組(1.1)的正解,a(x),e(x)＞p-1,并且滿足和當(dāng)x∈??時(shí),則u1=u2,v1=v2.

定理2.4(臨界條件下解的存在性)假設(shè)(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)=b(x)c(x),則當(dāng)且僅當(dāng)b(x)=e(x)-p+1,c(x)=a(x)-p+1,方程組(1.1)的解存在.

3 預(yù)備知識(shí)

在該部分,將給予本文要用到的一些新的定義并給出以下與方程組(1.1)相關(guān)的一些單個(gè)方程以及相關(guān)方程組的一系列性質(zhì).

對(duì)于q(x)＞p-1,γ(x)＞0,考慮方程

其中d(x)=dist(x,??).

定義3.1定義兩個(gè)變量

其中Uq(x),γ(x)為方程(3.1)的解.由文獻(xiàn)[4]可知當(dāng)q(x)與γ(x)都為常數(shù)時(shí),Aq(x),γ(x),Bq(x),γ(x)為正的且有限的變量.

定義3.2如果方程組的指數(shù)滿足條件(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)＞b(x)c(x),稱為次臨界條件;類似地,如果方程組的指數(shù)滿足(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)=b(x)c(x)則稱為臨界條件.且定義為a(x),b(x),c(x),e(x)的最小值;為a(x),b(x),c(x),e(x)的最大值.

定義3.3如果當(dāng)使得

引理 3.1[10]令G：Q×R→R是連續(xù)且不增的,u,v∈W1,p(Q)對(duì)所有的非負(fù)函數(shù)分別滿足不等式

且滿足u≤v,x∈??,則u≤v,x∈?.

引理3.2假設(shè)和分別是下列方程組的下解和上解,

引理 3.3假設(shè)和分別是方程組(3.2)的下解和上解,且當(dāng)當(dāng)x∈?,則方程組 (3.2)至少有一個(gè)弱解 (u,v),且滿足當(dāng)當(dāng)x∈??,u=v=+∞.

引理 3.4令(u1,v1),(u2,v2)是下列方程組的弱解

4 定理的推論與證明

4.1 次臨界條件

4.2 臨界條件

參考文獻(xiàn)

[1]Bieberbach L.?u=euuud die automorphen funktionen[J].Math.Ann.,1916,77：173-212.

[2]Jerk Matero.Quasilinear elliptic equations with boundary blow-up[J].Journal d′Analyse Mathmatique, 1996,69：229-247.

[3]Meli á n J G.Large solutions for an elliptic system of quasilinear equations[J].J.Diff.Eqns.,2008,245：3735-3752.

[4]Chen Y J,Zhu Y P,Hao R Y.Large solutions with a power nonlinearity given by a variable exponent for p-Laplacian equations[J].Nonlinear Analysis,2014,110：130-140.

[5]Meli á n J G,Rossi J D.Boundary blow-up solutions to elliptic systems of competitive type[J].J.Diff.Eqns.,2004,206：156-181.

[6]Di Benedetto E.C1+αlocal regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations[J].Nonlinear Anal., 1983,7：827-850.

[7]Lieberman G.Boundary regularity for solutions of degenerate elliptic equations[J].Nonlinear Anal., 1988,12：1203-1219.

[8]Tolksdorf P.Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations[J].J.Diff.Eqns.,1984,51：126-150.

[9]Vazquez J L.A strong maximum principle for some quasilinear elliptic[J].Appl.Math.Optim.,1984,12：191-202.

[10]Tolksdorf P.On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with boundary points[J].Comm.Partial Differential Equation,1983,8：773-817.

Boundary blow up solution for variable exponent quasilinear elliptic systems

Zhu Ying,Ma Feiyao
(Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

The semilinear elliptic equations with variable exponents is studied in a smooth domain,and the equation systems verifies the conditions of boundary blow-up.Upon the basis of constant exponents,this paper takes into deep considerations of the case of variable exponents and obtains the existence,uniqueness and boundary behavior of boundary blow-up solutions in the critical and subcritical condition by the construction of super-sub solutions and interation method.

elliptic systems,quasilinear,variable exponent,boundary blow up

O175.25

A

1008-5513(2016)06-0640-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.010

2016-09-12.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201250).

朱瑩(1992-),碩士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35J55