任肖霖，趙文芝

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

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厚尾均值漸變變點(diǎn)的最小二乘估計(jì)

任肖霖，趙文芝

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

利用最小二乘估計(jì)方法，給出隨機(jī)誤差為ARCH過(guò)程的均值漸變變點(diǎn)估計(jì)量，并證明了該估計(jì)量的相合性及收斂速度．通過(guò)Monte Carlo模擬說(shuō)明估計(jì)的有效性．

漸變模型；厚尾序列；最小二乘估計(jì)

在對(duì)實(shí)際的金融數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的過(guò)程中，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)金融市場(chǎng)經(jīng)常會(huì)受到一些突發(fā)事件的影響，而使得金融數(shù)據(jù)在某個(gè)時(shí)刻k后，樣本的分布或分布參數(shù)緩慢地開(kāi)始變化．在對(duì)金融數(shù)據(jù)進(jìn)行建模時(shí)，必須對(duì)漸變變點(diǎn)時(shí)刻進(jìn)行估計(jì)，否則影響建模的準(zhǔn)確性，導(dǎo)致對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)的錯(cuò)誤估計(jì)，造成不必要的損失．所以對(duì)均值漸變模型的變點(diǎn)分析也是統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究熱點(diǎn)．Hu?ková[1]對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)為獨(dú)立同分布序列的均值漸變模型進(jìn)行研究，得到變點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度及其極限分布；Hu?ková與Steinebach[2]使用CUSUM方法對(duì)漸變變點(diǎn)進(jìn)行研究，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布；Alexander和Josef[3]研究隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足弱不變?cè)淼臐u變隨機(jī)過(guò)程中變點(diǎn)的估計(jì)，并給出變點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度；Madurkayova[4]對(duì)隨機(jī)誤差為獨(dú)立同分布序列的均值漸變模型運(yùn)用RCUSUM函數(shù)的比率構(gòu)造Ratio統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行單變點(diǎn)檢驗(yàn)；Wang[5]給出隨機(jī)誤差為長(zhǎng)相依序列的均值漸變變點(diǎn)的最小二乘估計(jì)量，得到該估計(jì)量的收斂速度；Steinebach和Timmermann[6]研究了具有漂移項(xiàng)的隨機(jī)過(guò)程中漸變變點(diǎn)，并對(duì)其進(jìn)行序貫檢驗(yàn)；Timmermann[7]對(duì)漸變變點(diǎn)進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)，得到零假設(shè)和備擇假設(shè)下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布；Vogt和Dette[8]研究了非參數(shù)模型中漸變變點(diǎn)估計(jì)量的漸近分布；Timmermann[9]研究了隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足弱不變?cè)淼臐u變隨機(jī)過(guò)程，得到序貫檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布．

已有文獻(xiàn)對(duì)漸變變點(diǎn)的研究主要集中于隨機(jī)誤差項(xiàng)為獨(dú)立同分布序列的均值漸變模型，對(duì)厚 尾均值漸變模型的研究較少．本文運(yùn)用最小二乘法估計(jì)隨機(jī)誤差為ARCH序列的均值漸變變點(diǎn)，并得到估計(jì)量的收斂速度．

1 最小二乘估計(jì)量

考慮如下厚尾均值漸變模型：

(1)

其中:k*為未知變點(diǎn)，a+=max(0,a),μ,δ≠0,γ∈[0,1]均為未知參數(shù)．

假設(shè){ei,i,2,…,n}為四階矩有界的ARCH過(guò)程，即滿足:

(2)

記

考慮k*的最小二乘估計(jì):

(3)

當(dāng)γ=0時(shí)，若

(4)

由韓四兒[10]的命題2.1.3可得，當(dāng)n→∞時(shí)，有

其中:W(v)是雙邊Brown運(yùn)動(dòng)．

2 估計(jì)量的相合性

令

于是式(3)等價(jià)于

(5)

將Vk(γ)分解為：

Vk(γ)=Ak,1+Ak,2+Ak,3+Ak,5,1≤k

(6)

其中:

且

證明：類(lèi)似于文獻(xiàn)[5]的分析過(guò)程有：

(7)

由韓四兒[10]的命題2.1.9知：

又由Hu?ková[1]的引理2.5可知：

證明：令0<ε

類(lèi)似于式(7)可得：

則

其中:

(8)

由引理1得：

(9)

(10)

(11)

由于Vk*(γ)=0,則由式(6)～(9)可得定理結(jié)論．

3 估計(jì)量的收斂速度

定理2 假定定理1的條件和式(4)成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，

其中:

(12)

由中值定理，有

(13)

另外，由Hu?ková[1]的引理2.2～2.4可得：若|k-k*|>MΔ,M>0 有

(14)

然后考慮γ∈[0,1/2)時(shí)估計(jì)量的收斂速度．

由式(7)，(12)～(14)可得：

-C1δ2n-2γ|k-k*|2γ+1≤Ak,5≤-C2δ2n-2γ

|k-k*|2γ+1,

(15)

其中|k-k*|>MΔ,M>0,C1,C2>0 ．

類(lèi)似于式(13)，可得

(16)

由式(7)，(16)以及引理1得：

δ-2n2γ|k-k*|-2γ+1

(17)

(18)

類(lèi)似地，由定理1得

(19)

由式(7)、(16)得

(20)

(21)

γ=1/2，γ∈(1/2,1]時(shí)證明過(guò)程與上述過(guò)程類(lèi)似，在此省略．

4 數(shù)值模擬

運(yùn)用Monte Carlo方法進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)據(jù)生成過(guò)程如下：

其中:n為樣本容量，k*為變點(diǎn)位置，μ=0,δ=2,γ=0∶0.25∶1，ei為ARCH(2)過(guò)程：

選取α0=1，α1=0.5，α2=0.2，εi～N(0,1),i=1,2,…,n.

用上述模型產(chǎn)生n=600個(gè)樣本，τ*=0.5變點(diǎn)位置k*=[nτ]*=300，得到γ=0.25時(shí)模擬數(shù)據(jù)圖如圖1所示.

圖1 模擬數(shù)據(jù)圖

圖1中，豎線處為變點(diǎn)位置，可以看出，前300個(gè)樣本在0附近波動(dòng)，在變點(diǎn)時(shí)刻300后，樣本發(fā)生了漸變變化．

表1 τ*=0.25時(shí)變點(diǎn)估計(jì)值

表2 τ*=0.5時(shí)變點(diǎn)估計(jì)值

表3 τ*=0.75時(shí)變點(diǎn)估計(jì)值

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Least square estimation for gradual change in mean of heavy-tailed sequence

REN Xiao-lin, ZHAO Wen-zhi

(School of Science, Xi'an Polytechnic University, Xi'an 710048, China)

In this paper, the change-point estimation problem for gradual change in the mean of heavy-tailed sequence was considered. Least squares method was constructed and the consistency of the estimator was proved. The rate of convergence was also studied, Monte Carlo simulations demonstrated that the proposed method was effective.

gradual change model; heavy-tailed sequence; least squares estimation

2016-03-24.

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11201372)；陜西省教育廳科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013JK0592)

任肖霖(1993-)，女，碩士，研究方向：統(tǒng)計(jì)模型分析與應(yīng)用研究．

O212

A

1672-0946(2016)06-0692-05