徐倩倩，許紀(jì)校，楊軍峰

(河海大學(xué) 商學(xué)院，南京211100)

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基于價差分析建立國債期貨跨期套利模型

徐倩倩，許紀(jì)校，楊軍峰

(河海大學(xué) 商學(xué)院，南京211100)

國債期貨交易初期以期現(xiàn)套利和跨期套利等投資方式為主.跨期套利以預(yù)測跨期價差為基礎(chǔ)，此前有關(guān)股指期貨及國債期貨跨期套利的研究往往忽略了對跨期價差的分析.根據(jù)已有相關(guān)文獻(xiàn)，總結(jié)得出均值方差模型、協(xié)整GARCH模型兩個常用的跨期價差預(yù)測模型，并且認(rèn)為自回歸模型也在一定程度上適用于價差預(yù)測.分別用這三個模型對實際價差進(jìn)行預(yù)測，通過檢驗預(yù)測結(jié)果得出以自回歸模型為基礎(chǔ)的最優(yōu)價差預(yù)測模型.

國債期貨；跨期價差；跨期套利；自回歸模型

早在1978年，William Poole等人就開始研究期貨價格的決定因素[1-2].當(dāng)今投資市場及學(xué)術(shù)界廣為采用的持有成本理論，主要來源于Cornell和French在1983年研究得出的持有成本模型[3].該模型在股指期貨相關(guān)套利方面適用性較高，但由于國債期貨特殊性加上模型本身設(shè)定存在一定問題，其在國債期貨套利應(yīng)用中遇到了較大困難.Chow等研究1982年美國期貨市場、Hegde和Branch研究國芝加哥商品交易所國債期貨價格均發(fā)現(xiàn)存在模型所包含的交易成本之外的市場成本[4-5].Capozza等根據(jù)無套利原理進(jìn)行模擬測算得出國債期現(xiàn)市場最終均衡狀態(tài)；但該研究基于國債期現(xiàn)價格隨機(jī)變動的假設(shè)[6].持有成本理論可得出股指期貨理論價格，再利用無套利原則考慮交易成本得到股指期貨無套利區(qū)間[7-9].根據(jù)這種方法Yadav和Pope對跨期價差進(jìn)行了直接研究，發(fā)現(xiàn)價差序列存在顯著的均值回復(fù)現(xiàn)象[10].經(jīng)證明，該現(xiàn)象廣泛存在于金融數(shù)列中，基于此本文將對國債期貨跨期價差序列進(jìn)行長記憶檢驗和方差比檢驗，判斷序列是否存在均值回復(fù)現(xiàn)象.

近年來較多學(xué)者將注意力集中到了統(tǒng)計套利方面.康瑞強(qiáng)研究了上海期貨交易所2009年滬銅Cu11和滬銅Cu12期貨合約數(shù)據(jù)兩者之間跨期價差，建立了協(xié)整模型，并以此建立了統(tǒng)計套利模型[11].Carol在研究指數(shù)統(tǒng)計套利時就用到了協(xié)整方法[12].除了協(xié)整模型，近年來較多地用于統(tǒng)計套利的方法還有均值回歸法，也就是基于均值回復(fù)現(xiàn)象的均值方差模型.在我國金融期貨跨期套利研究中，有一種常用于預(yù)測的自回歸模型卻鮮有人用于期貨套利.近年來，陳彥暉研究結(jié)果顯示基于自回歸移動平均模型(ARMA)模型的套利實現(xiàn)了較好的收益；另外他還在模型中引入GARCH模型，最終分析認(rèn)為GARCH模型的引入改善了預(yù)測結(jié)果[13].一般認(rèn)為像國債期貨跨期價差這種金融數(shù)據(jù)，特別是分時金融數(shù)據(jù)自相關(guān)程度較高，因此有理由認(rèn)為國債期貨跨期價差的預(yù)測可運(yùn)用自回歸模型.

1 國債期貨跨期價差研究模型

可以說對跨期價差的研究與把握是進(jìn)行跨期投資的充分條件.國債價格或是國債期貨價格影響因素眾多，如果不進(jìn)行全面分析，最終結(jié)果不可靠[14-15].如果將投資依據(jù)轉(zhuǎn)換成跨期價差，則投資策略的確定將變得簡單.因為價差的影響因素更少，跨期價差更加穩(wěn)定，研究價差的模型眾多，理論相對成熟.

將國債期貨跨期價差與股指期貨作簡單比較，可更加清晰地得出前者的一般特征.股指期貨跨期價差受到三個因素影響：股指價格、融資利率、股指收益率.而且股指期貨跨期價差公式的推出不需要多余的假設(shè)，較為符合實際情況，再加上股指期貨交易標(biāo)的確定，不存在轉(zhuǎn)換期權(quán)、月末期權(quán)等因素，其跨期價差更加明確.于是可發(fā)現(xiàn)國債期貨跨期價差存在以下幾個特征：定價公式不夠準(zhǔn)確、很難根據(jù)定價公式建立無套利區(qū)間、套利機(jī)會更多.可見國債期貨跨期價差在理論上存在更大的不確定性，且不存在一個標(biāo)準(zhǔn)的定價公式，故選用統(tǒng)計套利類方法對跨期價差進(jìn)行分析.

1.1 均值方差模型

一般情況下，影響國債期貨價格變化的因素對兩只國債期貨存在相同方向的影響，因此跨期價差往往比國債期貨價格本身更加穩(wěn)定.也就是說其趨勢或是狀態(tài)發(fā)生巨大變化所需時間更長，因此其存在均值回復(fù)現(xiàn)象的可能性很大.于是可用一定期限內(nèi)跨期價差平均值作為當(dāng)期價差的估計值，價差序列歷史波動率的移動平均作為實際價差波動率的估計建立均值-方差模型.

1)長記憶性(R/S)檢驗及其結(jié)果

長記憶指的是某個擾動是否對序列存在長遠(yuǎn)的作用，如果序列存在長記憶性，則當(dāng)偏離均值的趨勢產(chǎn)生之后很難消除，均值回復(fù)理論也就不再適用.在金融序列的應(yīng)用當(dāng)中普通的長記憶檢驗無法排除異方差、短記憶現(xiàn)象的干擾，為了解決該問題，隨之產(chǎn)生了修正長記憶模型.該模型的主要公式如下.

其中:mean(x)、var(x)分別表示x序列均值和方差.修正模型最終得到統(tǒng)計量V(q)，當(dāng)該統(tǒng)計量落在[0.809,1.862]之間時拒絕序列x存在長記憶性的假設(shè)，表明x存在均值回復(fù)現(xiàn)象.變量q的選擇是模型的重點之一，考慮到q=0時修正長記憶模型退化為普通的長記憶模型，而當(dāng)q過大時模型會忽略長記憶的影響，本文的研究中取q從1～12時(保守估計)對應(yīng)V(q)統(tǒng)計量的平均值作為最終統(tǒng)計量.價差序列是取每隔15min的數(shù)據(jù).用MATLAB2013b進(jìn)行計算，結(jié)果為V=1.8609，表明價差序列存在均值回復(fù)現(xiàn)象.

2)方差比檢驗及結(jié)果

方差比檢驗的主要公式如下：

最終得到比值VR(k)，k表示在收益序列rt,k中計算收益時的時期跨度，一般選取k≥3，顯然當(dāng)VR值大于1時表明跨期較長時收益波動大于跨期短時的收益波動，原序列x可能存在趨勢性波動，不存在均值回復(fù)現(xiàn)象；當(dāng)VR值小于1時表明較長跨期的收益波動小于短跨期波動，序列x存在均值回復(fù)過程.在MATLAB2013b環(huán)境下對國債期貨跨期價差進(jìn)行方差比檢驗，當(dāng)k選取3時，VR值為0.415，隨著k的增大VR值減小，表明價差序列存在均值回復(fù)過程.由此可判斷國債期貨跨期價差序列存在均值回復(fù)現(xiàn)象，可以利用均值-方差模型對跨期價差進(jìn)行預(yù)測.

1.2 協(xié)整GARCH模型

協(xié)整理論通過擬合兩只國債期貨價格，可以得出動態(tài)均衡價差.國債期貨價格擬合方程中往往存在自相關(guān)現(xiàn)象，如果其殘差存在ARCH效應(yīng)，則可引入GARCH模型分離立方差，得到動態(tài)價差波動.協(xié)整理論挽救了非平穩(wěn)序列之間的回歸擬合.該理論認(rèn)為如果非平穩(wěn)序列進(jìn)行回歸，所得回歸結(jié)果中的殘差序列是平穩(wěn)的，則這些非平穩(wěn)序列協(xié)整，可以認(rèn)為他們之間存在著長期關(guān)系.

1)首先對傳統(tǒng)方法得到的協(xié)整方程進(jìn)行異方差檢驗，檢驗方法為White檢驗.確定方程存在異方差性之后即可建立GARCH模型.

2)接著需要確定GARCH(p，q)模型具體形式，即確定p和q的值.由于本文選取的是間隔15 min的交易數(shù)據(jù)，較長滯后期的回歸殘差均會對當(dāng)期殘差方差產(chǎn)生較大影響，所有優(yōu)先考慮GARCH(1,1)模型.擬合之后，再對結(jié)果進(jìn)行殘差分析，判斷是否還存在ARCH效應(yīng)，如果不存在，且回歸結(jié)果符合模型假設(shè)，即得到最終模型和結(jié)果.否則就修改模型，繼續(xù)上述步驟.

3)根據(jù)最終模型和結(jié)果，就可對均衡價差和時變方差進(jìn)行預(yù)測.以GARCH(1,1)模型為例的方差預(yù)測公式如組合公式(1)所示：

(1)

由式(1)便可預(yù)測任意k期之后的條件方差.其中:α0、α1、β1分別為GARCH模型中的常數(shù)項、ARCH項、GARCH項系數(shù).將預(yù)測所得的均衡價差和方差與實際價差和價差波動進(jìn)行對比檢驗，即可通過比較預(yù)測效果判斷各模型對于跨期價差的預(yù)測精度.

1.3 自回歸模型

自回歸(AR)模型是一種線性預(yù)測，即已知N個數(shù)據(jù)，可由模型推出第N點前面或后面的數(shù)據(jù)，所以其本質(zhì)類似于插值，但AR模型要比插值方法效果更好.

1.3.1 自回歸模型的建立

自回歸模型的基本公式：yt=α1yt-1+α2yt-2+αiyt-i+…+ut

根據(jù)期貨定價公式得出的價差公式可知影響國債期貨價差的因素主要有國債現(xiàn)券全價和融資利率.這兩個因素在短周期內(nèi)的變動主要由市場因素造成，因此對于短周期數(shù)據(jù)來說，其更加容易受到前幾期價格影響，自回歸模型能有效預(yù)測均衡價差與價差波動率.為此對價差序列構(gòu)建自回歸模型，并檢驗其異方差性，如果存在異方差則再建立自回歸-GARCH模型.

1.3.2 自回歸-GARCH模型

自回歸模型是擬合國債期貨跨期價差較好的模型之一，但仍存在這樣一種可能：存在某些因素，對長期限或者短期限期貨的價格影響比較大，而對另外期限的期貨價格影響相對較弱，則該因素波動的增加將引起價差波動增加.GARCH模型自回歸條件異方差(ARCH)模型的一個推廣，它的引入可以解決以上問題.ARCH模型將回歸估計分為均值方程和方差方程兩個部分，并且認(rèn)為殘差序列方差受到前幾期殘差平方的影響，其具體方程式如下：

yt=γ0+γ1x1t+…+γkxkt+ut

當(dāng)方差方程中滯后階數(shù)p較大時，回歸模型待估值過多使得模型無法估計，Bollerslev于1986年通過用方差的滯后項代替多個殘差平方的滯后項，從而減小了模型的待估參數(shù)，ARCH模型由此擴(kuò)展成為GARCH模型.最簡單的GARCH(1,1)模型方程式如下：

yt=xtγ+ut

其中:xt是外生變量向量，ut-1是所謂的ARCH項，及GARCH(1,1)中的第二個1，表示模型中殘差平方項滯后到一階.由此我們便可以利用最大似然估計法對模型參數(shù)進(jìn)行估計，并據(jù)此對方差進(jìn)行預(yù)測.

1.4 跨期價差預(yù)測模型初步分析

基于均值回復(fù)現(xiàn)象的均值方差模型和協(xié)整模型是較為常用的統(tǒng)計套利模型，本文在研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上認(rèn)為自回歸模型也能夠很好的預(yù)測跨期價差，特別是對于采用分時數(shù)據(jù)的國債期貨跨期價差.跨期價差預(yù)測精度決定了跨期套利效率，有必要對三大模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較研究.為此本文將選取了國債TF1409和TF1412組合產(chǎn)生跨期價差，生成190個計算樣本點和30個驗證樣本數(shù)據(jù).分別用三大模型得到跨期價差以及跨期價差波動水平的預(yù)測值.

2 國債期貨跨期套利模型研究

2.1 各價差預(yù)測模型數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果

2.1.1 均值-方差模型

根據(jù)均值回復(fù)理論，國債期貨跨期價差有較大概率從偏離值回復(fù)到平均值，于是將價差序列歷史平均值作為其估計值，歷史方差作為其波動的估計值，歷史方差的計算方法為取相鄰兩期真實價差的對數(shù)差.得到結(jié)果如表1所示.

表1 均值-方差模型計算結(jié)果

12345678910M0.4370.4310.4260.4210.4180.4140.4100.4070.4050.405V2.2133.0042.9763.0242.6882.6652.6972.5912.7312.76911121314151617181920M0.4030.4050.4080.4100.4150.4180.4210.4250.4270.429V2.7421.6181.7651.7241.0491.0371.3761.2611.3171.31021222324252627282930M0.4320.4340.4340.4360.4340.4350.4340.4310.4310.429V1.3481.3441.4471.6252.0351.8191.4071.7821.6041.523

其中:M、V分別表示計算得出的移動平均值和方差值，方差顯示的是乘以10 000后的結(jié)果.

2.1.2 協(xié)整GARCH模型

單位根檢驗顯示，兩個期貨價格變量均為一階單整，于是進(jìn)行回歸，得到結(jié)果如表2.

表2 協(xié)整模型回歸結(jié)果

TF1412(應(yīng)變量)系數(shù)T統(tǒng)計值P值TF14090.976226.5790.000常數(shù)項2.5776.4060.000ADJ-R20.996DW值0.723

1)協(xié)整檢驗

檢驗方法為E-G兩步法.表2已經(jīng)完成了E-G兩步法中的第一步，只需對該回歸的殘差序列進(jìn)行單位根檢驗即可判斷兩變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系.對殘差進(jìn)行單位根檢驗，得到相應(yīng)t統(tǒng)計值為-3.799.此時對應(yīng)的臨界值表發(fā)生了變化，相比于原來的臨界值，E-G兩步法中的臨界值更加苛刻，具體的數(shù)值可參考恩格爾和格蘭杰提出的臨界值表.在兩變量模型中，1%和5%水平對應(yīng)的臨界值分別是-3.956和-3.369，顯然殘差序列在5%的水平下拒絕存在單位根的原假設(shè)，認(rèn)為原方程存在協(xié)整關(guān)系.

2)協(xié)整GARCH模型

經(jīng)檢驗原協(xié)整模型存在異方差現(xiàn)象，故對模型建立GARCH(1,1)模型，得到結(jié)果如表3所示.

表3 模型GARCH(1,1)模型結(jié)果

變量系數(shù)Z值P值TF14090.977248.9600.000常數(shù)項2.4956.8120.000方差方程常數(shù)項2.55E-052.0580.039ARCH項0.1401.9460.051GARCH項0.77717.0520.000R20.997DW0.721

由表3可知，最大似然估計結(jié)果與此前協(xié)整回歸結(jié)果較為一致，各變量保留了較高的顯著性，可決系數(shù)和DW值也較為接近，且方程整體擬合優(yōu)度很高，R2十分接近1.模型方差方程中所有系數(shù)均為正數(shù)，符合假設(shè)；ARCH項和GARCH項的和為0.917，接近于1，符合常理.經(jīng)過ARCH檢驗可知此時模型不再存在異方差，因此表3即為協(xié)整-GARCH模型最終結(jié)果.

由此得出模型均衡價差計算公式如式(2)所示，

DTF=-0.023*TF1409+3.714

(2)

時變方差如式(3)所示，

(3)

表4 協(xié)整GARCH模型均衡價差與時變方差估計值

12345678910M0.4190.4220.4230.4220.4220.4220.4220.4230.4220.422V2.0942.1762.2522.3212.3852.4442.4972.5472.5922.63311121314151617181920M0.4220.4220.4230.4230.4230.4260.4250.4250.4260.425V2.6712.7062.7382.7682.7952.8192.8422.8632.8822.90021222324252627282930M0.4250.4240.4250.4250.4240.4250.4240.4240.4230.423V2.9162.9312.9442.9572.9682.9792.9882.9973.0053.013

2.1.3 自回歸模型

首先需確定自回歸模型中的滯后階數(shù)，確定方法有兩個方向：1)從少至多.先從滯后一階開始對模型進(jìn)行估計，然后對殘差進(jìn)行LM相關(guān)性檢驗，如果模型存在自相關(guān)，則添加滯后項.過程中考慮可決系數(shù)等模型統(tǒng)計量的變化.2)從高至低.首先建立包含多個滯后期的估計模型，剔除變量不顯著的滯后項.綜合運(yùn)用上述兩種視角，發(fā)現(xiàn)模型中包含DTF變量的1-3階滯后項時模型擬合優(yōu)度最高，不存在自相關(guān)，且所有變量都通過5%水平下的顯著性檢驗.

異方差性是得到時變方差的前提，為此需要對上述模型進(jìn)行異方差檢驗.檢驗方法為ARCH檢驗和White檢驗，該檢驗方法通過構(gòu)造輔助回歸方程，方程的R2和樣本量的乘積近似于特定分布，通過判定該乘積的實際值即可判定原假設(shè)的可信度.檢驗結(jié)果如表5所示.

表5 模型異方差檢驗結(jié)果

ARCH檢驗White檢驗T*R2P值T*R2P值1.9630.3101.0570.280

White檢驗中選擇存在交叉項，ARCH檢驗的滯后階數(shù)由檢驗方程系數(shù)的顯著性判斷，滯后2階.ARCH檢驗和White檢驗的原假設(shè)均為模型不存在異方差，由表5可知ARCH檢驗、White檢驗均在10%水平下接受原假設(shè)，故認(rèn)為其不存在異方差性，無需建立自回歸GARCH模型.最終模型估計結(jié)果如表6所示.

表6 模型最終回歸結(jié)果

DTF系數(shù)T值P值DTF(-1)0.3695.0650.000DTF(-2)0.2693.5980.000DTF(-3)0.1652.3040.022常數(shù)項0.0813.4035240.001R2=0.514DW=1.941

由于對模型殘差的異方差分析未發(fā)現(xiàn)異方差性，不存在建立GARCH模型的基礎(chǔ).因此不對自回歸模型中的價差波動進(jìn)行估計，只得到均衡價差的估計值如表7所示.

表7 自回歸模型預(yù)測結(jié)果

12345678910M0.4250.4140.4070.4050.3980.3970.4020.4040.4070.41211121314151617181920M0.4150.4160.4210.4230.4270.4240.4290.4330.4310.43121222324252627282930M0.4330.4370.4320.4330.4260.4240.4250.4220.4200.417

2.2 預(yù)測結(jié)果檢驗與最優(yōu)預(yù)測模型

2.2.1 各模型預(yù)測結(jié)果檢驗

三個模型的均衡價差和價差波動估計值已經(jīng)全部得出，現(xiàn)在對這些估計值與實際值進(jìn)行比較，以判定模型的優(yōu)劣.

1) 無偏性.在實際檢驗中，可以將估計值序列與實際值序列進(jìn)行回歸，通過觀察回歸系數(shù)和模型擬合優(yōu)度來判定原估計無偏性.

2) 有效性.我們可以用均方差(MSE)來對估計的有效性進(jìn)行類似的評判.MSE的概念如下：

3)相合性.相合性要求當(dāng)估計次數(shù)無窮大時，估計值依概率收斂于真實值.本文中用均差(ME)和絕對均差(MAE)來進(jìn)行類似的反映，ME和MAE的概念如下：

顯然ME和MAE越小，估計越精確.

三個模型均得到了均衡價差，分別對他們按照式y(tǒng)t=c0+c1*xt+ut進(jìn)行無偏性檢驗，結(jié)果如表8所示.

表8 各均衡價差估計值無偏性檢驗結(jié)果

模型c0c1R2均值-方差模型0.352*0.1610.068GARCH協(xié)整模型-3.067*8.227**0.561自回歸模型-0.1071.018***0.489

由表8可知，自回歸模型估計值無偏性檢驗結(jié)果最好，均值-方差模型的估計結(jié)果無偏性質(zhì)最差.

下面得到各模型的ME、MAE、MSE，結(jié)果如表9所示.

表9 各模型均衡價差估計值檢驗結(jié)果

指標(biāo)均值方差模型GARCH-協(xié)整模型自回歸模型ME/10-3-2.286-8.0150.267MAE/10-21.5741.3050.928MSE/10-43.4572.8521.266

為了便于比較，ME、MAE、MSE按不同比例進(jìn)行了放大.比較各模型，發(fā)現(xiàn)自回歸模型的各項指標(biāo)均優(yōu)于其他模型.

2.2.2 最優(yōu)國債期貨跨期價差預(yù)測模型

根據(jù)以上預(yù)測選擇自回歸模型作為跨期價差均衡值的預(yù)測模型.具體公式如式(4)

Yt=α1yt-1+α2yt-2+…+αiyt-i+c

(4)

Yt即為均衡價差估計值，公式右側(cè)滯后項的選擇應(yīng)在具體套利模型中選定.

在價差波動預(yù)測值檢驗中，GARCH模型的引入并沒有提高預(yù)測值精度，均值方差模型預(yù)測出的方差在有效性(MSE)和相合性(ME、MAE)上全面優(yōu)于GARCH協(xié)整模型.因此將均值方差模型中的預(yù)測方法作為最終方法，主要計算公式如式(5)所示，

σt=ln(DTFt/DTFt-1)

(5)

σ的平方即為價差波動方差，在最優(yōu)模型中采用σ值的絕對值，取該絕對值10個樣本點的移動平均值即得到最終的預(yù)測價差波動預(yù)測值.

經(jīng)過對國債期貨定價的研究發(fā)現(xiàn)國債期貨跨期套利適合采用統(tǒng)計套利形式.從投資者角度來看，因盡早選用統(tǒng)計套利模型進(jìn)行實際操作.本文所采用的價差預(yù)測模型充分合理.因此投資者可按照本文所選出的最優(yōu)價差預(yù)測模型進(jìn)行價差分析，并以此為基礎(chǔ)建立套利策略進(jìn)行套利.

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Establishing national debt futures calendar spread model based on spread analysis

XU Qian-qian, XU Ji-xiao, YANG Jun-feng

(School of Business, Hohai University, Nanjing 211100, China)

Arbitrage and calendar spread arbitrage are the main investment method in the early month of bond futures trading. Predict inter-temporal spreads is the base of calendar spread arbitrage, which was ignored by many research about stock index futures and bond futures inter-temporal arbitrage before. This paper summarized the mean variance model, co-integration GARCH model two inter-temporal price forecast model, besides, this paper put forword that spreads autoregressive model also can do a very good prediction.This paper compared the predicting outcomes of each model, obtained of the optimal prediction model based on the regression model.

treasury bond futures; inter-temporal spreads; calendar spread arbitrage; autoregressive model; empirical analysis

2015-11-03.

國家自然科學(xué)基金基金(71271107)

徐倩倩(1990-)，女，碩士，研究方向：人力資源.

F724

A

1672-0946(2016)06-0745-07