一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：讓學(xué)生掌握軸對(duì)稱性質(zhì)，能夠利用軸對(duì)稱性質(zhì)解決線段和最小值問題。

2.方法與技能：在解決問題的過程中，體會(huì)化曲為直的思想，理解“兩點(diǎn)之間，線段最短”公理。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象數(shù)學(xué)模型的能力，提高解決問題的能力。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過對(duì)稱做出線段和最小時(shí)的動(dòng)點(diǎn)位置

難點(diǎn)：理解線段和最小的原因

三、教學(xué)過程

1.故事導(dǎo)入

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

2.抽象為數(shù)學(xué)問題

我們首先將這個(gè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線.則問題就是在一條直線同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)，需要在直線L上找一個(gè)點(diǎn)C，使得AC 與CB 的和最小。

3.問題解決

要解決這個(gè)問題，先來看直線L異側(cè)的情況，如圖，在直線 l 兩側(cè)，有A，B 兩點(diǎn)，在直線 l 上找一點(diǎn)C，使得AC+CB最短，請(qǐng)確定點(diǎn)C的位置，并說明理由. 這個(gè)問題比較容易想到，連接AB，與直線L的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，原因是兩點(diǎn)之間，線段最短.

受到剛才問題的啟發(fā)，我們思考能不能把異側(cè)問題轉(zhuǎn)化為同側(cè)問題來解決呢？想到利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，選擇A，B兩點(diǎn)中的任意一個(gè)點(diǎn)，做出它關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，這里，我選擇點(diǎn)B，作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)B′；連接AB′，與直線l 相交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C 即為所求.（圖3）

如何證明此時(shí)的AC+CB最短呢？由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，線段CB =CB′，所以AC +CB就轉(zhuǎn)化為AC+CB′，也就等于線段A B′的長. 接下來證明線段A B′最短，如果在直線l 上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C 不重合），連接C′A，C′B，C′B′，同樣由軸對(duì)稱的性質(zhì)知C′B=C′B′，此時(shí)，線段AC′ + C′B = AC′ + C′B′，而在△AB′C′中，AB′

清楚了原因后，再遇到此類問題，我們就可以直接用剛才的方法找出線段和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，并求出最小值. 我們?cè)賮砘仡櫼幌聦④婏嬹R這個(gè)問題，在直線L上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線L的同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)，確定到兩定點(diǎn)距離和最小的動(dòng)點(diǎn)位置. 我們的方法是做其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另外一個(gè)定點(diǎn)的線段的長即為和的最小值，與直線的交點(diǎn)為此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置。

4.問題應(yīng)用

利用這個(gè)結(jié)論可以解決一系列的最值問題，如，在在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，也就是6，那么正方形周長為8，P是AC上一 動(dòng)點(diǎn)，求PB+PE的最小值是。

這個(gè)問題中動(dòng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，要求的是P到AC同側(cè)兩定點(diǎn)B，E的距離和的最小值，正是將軍飲馬問題，那么我們選擇B，E中其中一點(diǎn)作關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，由正方形的對(duì)稱性，選擇作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，也就是點(diǎn)D，然后連接DE，則DE即為和的最小值，此時(shí)DE與AC是交點(diǎn)即為和最小時(shí)點(diǎn)P的位置，在直角三角形AED中，由勾股定理求出DE=10.

作者簡介

白璇，（1989-），女，漢族，畢業(yè)于陜西師范大學(xué)，現(xiàn)為西安市曲江第一中學(xué)數(shù)學(xué)教師。

（作者單位：西安市曲江第一中學(xué)）