廣東省潮州市金山中學(xué)(521041) 李惠音

2015年高考數(shù)學(xué)福建理科第20題的解法與探源

廣東省潮州市金山中學(xué)(521041) 李惠音

一、試題

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k∈R)

(I)證明:當(dāng)x＞0時,f(x)＜x;

(II)證明:當(dāng)k＜1時,存在x0＞0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);

(III)確定k的所有可能取值,使得存在t＞0,對任意的x∈(0,t)恒有|f(x)?g(x)|＜x2.

二、解法分析

方法一(I)證明:令

則有

當(dāng)x∈(0,+∞),F′(x)＜0,所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;故當(dāng)x＞0時,F(x)＜F(0)=0,即當(dāng)x＞0時,f(x)＜x.

(II)令

有

當(dāng)k≤0時,G′(x)＞0,G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以對任意正實(shí)數(shù)x0都滿足題意;

當(dāng)0＜k＜1時,令G′(x)=0,

(III)當(dāng)k＞1時,由(I)知,對于x∈(0,+∞),g(x)＞x＞f(x),故g(x)＞f(x),由于

即

所以滿足題意的t不存在.當(dāng)k＜1時,由(II)知存在x0＞0,使得對任意的x∈(0,x0)恒有

此時

令

則有

當(dāng)k=1,由(I)知,當(dāng)x∈(0,+∞),

當(dāng)x＞0時,H′(x)＜0,所以H(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故H(x)＜H(0)=0,故當(dāng)x＞0時,恒有|f(x)?g(x)|＜x2,即存在t＞0,對任意的x∈(0,t),恒有|f(x)?g(x)|＜x2.綜上,k=1.

點(diǎn)評一本題第(I)、(II)問的證法、第(III)問的第一種解法都是通過不等式兩邊作差來構(gòu)造輔助函數(shù),第(I)問構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)直接證明F(x)＜0即可;第(II)問先構(gòu)造輔助函數(shù)G(x),再對k分k≤0、0＜k＜1兩類討論進(jìn)而證明不等式;第(III)問先對k分k＜1、k＞1、k=1三類討論,再通過不等式等價(jià)變形,在各類中分別構(gòu)造函數(shù)M(x)、N(x)、H(x)來探求各類中符合題意要求的k的取值.此解法的經(jīng)典之處是構(gòu)造輔助函數(shù)來證明或求解不等式,而構(gòu)造的函數(shù)一般是由不等式兩邊作差、不等式等價(jià)變形成而形成,本題的三個問題逐層遞進(jìn),很好闡述了構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個常規(guī)方法,考生們要熟練掌握.

方法二證明:(II)由函數(shù)f(x)=ln(1+x),(x＞0),

知函數(shù)f(x)=ln(1+x)在x=x0處的切線的斜率f′(x0)∈(0,1),而g(x)=kx,(k∈R)恒過定點(diǎn)(0,0),函數(shù)f(x)=ln(1+x)在點(diǎn)(0,0)處的切線為y=x.當(dāng)0＜k＜1時,f(x)=ln(1+x)與g(x)=kx恒有交點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(x0,kx0),如圖1.

圖1

所以存在x0＞0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x),即ln(1+x)＞kx.又當(dāng)k≤0時,f(x)=ln(1+x)恒在g(x)=kx的上方如圖1,所以存在x0＞0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x),即ln(1+x)＞kx.綜上,當(dāng)k＜1時,存在x0＞0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x).綜上,當(dāng)k＜1時,存在x0＞0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x).

(III)解:①設(shè)函數(shù)

則

則當(dāng)x∈(0,+∞)時,F′′(x)＞0,知F′(x)在(0,+∞)遞增,從而F′(x)＞F′(0)=1,又F(x)在x=0處的切線為y=x,所以當(dāng)k＞1時,存在t∈(0,x1)(如圖2),對?x∈(0,t),恒有l(wèi)n(x+1)+x2＜kx,即ln(x+1)?kx＜?x2,即|ln(x+1)?kx|＞x2.所以當(dāng)k＞1時,滿足題意的t不存在.

圖2

②設(shè)函數(shù)G(x)=ln(x+1)?x2,則

顯然在(0,+∞)上遞減,故G′(x)＜G′(0)=1,又因?yàn)镚(x)在x=0處的切線為y=x,所以當(dāng)0＜k＜1時,存在t∈(0,x1)(如圖3),對?x∈(0,t)有l(wèi)n(x+1)?x2＞kx,即ln(x+1)?kx＞?x2,即|ln(x+1)?kx|＞x2.所以當(dāng)k＜1時,滿足題意的t不存在;當(dāng)k=1,同解法一.綜上,k=1.

圖3

點(diǎn)評二本題第(II)問的方法二、第(III)問的方法二都利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,并結(jié)合函數(shù)的圖像加以嚴(yán)謹(jǐn)論證,解答過程異常簡捷！

方法三(III)當(dāng)k＞1時,由(I)知,對于x∈(0,+∞),

滿足題意的t不存在;當(dāng)k=1,同方法一,從略.綜上,k=1.

點(diǎn)評三此解法分別應(yīng)用了第(I)問和第(II)問的結(jié)論進(jìn)行放縮,將超越函數(shù)不等式化為一元二次不等式進(jìn)行求解論證,構(gòu)思精巧,過程簡捷！

三、尋根探源

本題第(I)問來源于人教版數(shù)學(xué)選修2—2第32頁習(xí)題1.3B組第1(3)題:證明不等式ex＞x+1(x?≠0).

從該題出發(fā),經(jīng)過適當(dāng)變形易得ln(x+1)＜x(x＞0),其常規(guī)證法是構(gòu)造輔助函數(shù)來證明不等式,本題第(I)的解法、(II)問的第一種證法、第(III)問的第一種解法也是構(gòu)造輔助函數(shù)來證明不等式,所構(gòu)造的函數(shù)一般是由不等式兩邊作差、不等式等價(jià)變形后兩邊作差而構(gòu)成的.這是證明不等式的常規(guī)方法,考生們要熟練掌握.考生們還要熟練掌握數(shù)形結(jié)合法,例如本題第(II)問證法二,第(III)問的第二種解法,該解法都利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行幾何直觀,并結(jié)合函數(shù)的圖像加以嚴(yán)謹(jǐn)論證,解答過程比較簡捷！本題第(III)問的第三種解法,分別應(yīng)用了第(I)問和第(II)問的結(jié)論進(jìn)行放縮,將超越函數(shù)不等式化為一元二次不等式進(jìn)行求解論證,難度較大,技巧性較強(qiáng),少有考生會想到.

另外,從習(xí)題1.3 B組第1(3)題出發(fā),經(jīng)過適當(dāng)變形及換元,我們?nèi)菀淄卣沟梅趴s關(guān)系1:

放縮關(guān)系2:

2016廣州一模理數(shù)第21(2)便是以如上關(guān)系為背景命題.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),某類與自然對數(shù)為底數(shù)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式證明問題,往往與上面的幾個不等式放縮關(guān)系有關(guān),不等式證明常與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來,或構(gòu)造輔助函數(shù)法或放縮法來證明不等式,是近幾年高考的重點(diǎn)、難點(diǎn),也是高考的一個新熱點(diǎn).在強(qiáng)調(diào)命題改革的今天,通過改編、創(chuàng)新等手段來賦予課本例題、習(xí)題新的生命,這已成為高考命題的一種熱潮.所以,考生們在高三復(fù)習(xí)備考的過程中一定要注意對課本例題、習(xí)題的嚴(yán)格訓(xùn)練,把握其實(shí)質(zhì),掌握其規(guī)律,規(guī)范其步驟,做到“胸中有本”.