廣東省順德第一中學(xué)(528300) 陳燕子

高考數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新型試題賞析—以2014年全國(guó)高考試題為引例

廣東省順德第一中學(xué)(528300) 陳燕子

縱觀近幾年全國(guó)各省市高考題,一些構(gòu)思精巧、新穎別致,極富思考性和挑戰(zhàn)性的創(chuàng)新型試題相繼出現(xiàn),給常規(guī)的數(shù)學(xué)試題增添了幾分靈氣和生機(jī),成為高考試卷中的一道亮麗的風(fēng)景.這些創(chuàng)新試題具有很好的區(qū)分度和選拔功能,是考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的極好素材,值得研討.

本文采擷2014年高考數(shù)學(xué)試題中的創(chuàng)新型試題并結(jié)合典型例題予以分類賞析,旨在探索題型規(guī)律,總結(jié)解題方法,以作拋磚引玉.

一、客觀題中的創(chuàng)新題

無論是高考還是各地模擬考試,選擇題或填空題最后一道有頻繁設(shè)計(jì)成新情境閱讀型試題,這類問題大多沒有在以往的復(fù)習(xí)資料上出現(xiàn)過,背景新穎,充當(dāng)著“小題把關(guān)”的角色,正是高考所追求的理想題型.這類新穎題主要有:信息遷移型,類比歸納型,綜合探究型等.

1信息遷移型

例1(2014福建理-10)用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球,且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析從5個(gè)無區(qū)別的紅球中取出若干個(gè)球,可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球,共6種情況,則其所有取法為1+a+a2+a3+a4+a5;從5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個(gè)球,由所有的藍(lán)球都取出或都不取出,得其所有取法為1+b5;從5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球,可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球,共6種情況,則其所有取法為根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得,適合要求的所有取法是(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5.

評(píng)注遇到這類問題要沉著冷靜地仔細(xì)研讀試題提供的材料的詳盡含義,和自己已有的知識(shí)建立起實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系,綜合地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法解決新問題.

相關(guān)鏈接:(2014四川理-15)以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ(x)組成的集合:對(duì)于函數(shù)φ(x),存在一個(gè)正數(shù)M,使得函數(shù)φ(x)的值域包含于區(qū)間[?M,M].例如,當(dāng)φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx時(shí),φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.現(xiàn)有如下命題:

①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,則“f(x)∈A”的充要條件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”;

②函數(shù)f(x)∈B的充要條件是f(x)有最大值和最小值;

③若函數(shù)f(x),g(x)的定義域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,則f(x)+g(x)?∈B;

其中的真命題有____(寫出所有命題的序號(hào))

解析若f(x)∈A,則f(x)的值域?yàn)镽,于是,對(duì)任意的b∈R,一定存在a∈D,使得f(a)=b,故①正確.

取函數(shù)f(x)=x(?1＜x＜1),其值域?yàn)??1,1),于是,存在M=1,使得f(x)的值域包含于[?M,M]=[?1,1],但此時(shí)f(x)沒有最大值和最小值,故②錯(cuò)誤.

當(dāng)f(x)∈A時(shí),由①可知,對(duì)任意的b∈R,存在a∈D,使得f(a)=b,所以,當(dāng)g(x)∈B時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)+g(x),如果存在一個(gè)正數(shù)M,使得f(x)+g(x)的值域包含于[?M,M],那么對(duì)于該區(qū)間外的某一個(gè)b0∈R,一定存在一個(gè)a0∈D,使得f(a0)=b?g(a0),即f(a0)+g(a0)=b0?∈[?M,M],故③正確.f(x)∈[?M,M]故④正確.故答案為①③④.

評(píng)注本題考查充要條件的判斷與轉(zhuǎn)化的思想、極限的思想,難度較大.解決本題的關(guān)鍵兩點(diǎn):(1)明確新定義概念的內(nèi)涵與新定義運(yùn)算的法則;(2)進(jìn)行命題的判斷主要考慮利用條件直接推斷或通過反例進(jìn)行排除判斷.

相關(guān)鏈接:(2014山東-15)已知函數(shù)y=f(x).對(duì)函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對(duì)任意x∈I,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱.若h(x)是關(guān)于f(x)=3x+b的“對(duì)稱函數(shù)”,且 h(x)＞g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是____.

評(píng)注本題考查了數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)與不等式的知識(shí),同時(shí)也考查了學(xué)生閱讀理解能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化能力以及探究創(chuàng)新能力,是一道立意新,構(gòu)思巧的好題.

2歸納類比型

兩邊同時(shí)積分得

評(píng)注科學(xué)發(fā)明需要較強(qiáng)的類比能力,而較強(qiáng)的類比能力正基于觀察、猜想與證明的有機(jī)結(jié)合,要抓住兩系統(tǒng)間的相似之處,利用類比這座雄偉的橋梁,將信息過渡,方法遷移,使其結(jié)論巧妙得到.本題考查定積分、二項(xiàng)式定理、類比推理等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力,首先要找出兩類對(duì)象之間的相似結(jié)構(gòu)特征;其次用同樣的方法由已知特征去推理另一類對(duì)象的特征,最后檢驗(yàn)推測(cè)的正確性.

3綜合探索型

例3(2014湖北理-14)設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)＞0,對(duì)任意a＞0,b＞0,若經(jīng)過點(diǎn)(a,f(a)),(b,?f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b),例如,當(dāng)f(x)=1(x＞0)時(shí),可得Mf(a,b)=c=即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù).

(1)當(dāng)f(x)=___(x＞0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);

故可以選擇f(x)=x(x＞0).

評(píng)注本題考查學(xué)生接受新知識(shí)并應(yīng)用新知識(shí)解題的能力以及推理能力,難度較大.縱觀湖北近四年高考,這類新定義型試題每年必考,要求將新問題轉(zhuǎn)化成所熟悉的數(shù)學(xué)問題,體現(xiàn)了“重基礎(chǔ)、靠能力”的命題思路.

二、解答題中的創(chuàng)新試題

解答題中的創(chuàng)新型試題常以壓軸題出現(xiàn),具有“觀點(diǎn)高,思維活”的特點(diǎn),常以高等數(shù)學(xué)問題為背景,以初等數(shù)學(xué)的面貌呈現(xiàn),通過閱讀理解、知識(shí)遷移、類比猜想等多種數(shù)學(xué)能力,來實(shí)現(xiàn)問題的解決,突出檢測(cè)學(xué)生的理性思維的廣度與深度,考查學(xué)生的自學(xué)能力與推理能力.

例4(2014江蘇理-20)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱{an}是“H數(shù)列”

(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n(n∈N?),證明: {an}是“H數(shù)列”;

(2)設(shè){an}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公差d＜0,若{an}是“H數(shù)列”,求d的值;

(3)證明:對(duì)任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N?)成立.

解析(1)證明:由題意知,an+1=Sn+1?Sn= 2n+1?2n=2n.

于是,對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=n+1,使得Sn=am,故{an}是“H數(shù)列”.

(2)由S2=2a1+d=2+d,因?yàn)閧an}是“H數(shù)列”,所以存在m,使得S2=am即

于是(m?2)d=1,由于d＜0,所以m?2＜0,故m=1,d=?1.當(dāng)d=?1時(shí),

是小于2的整數(shù).于是對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)

使得

若{an}是“H數(shù)列”,則d=?1.

(3)證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則

令

有an=bn+cn.下證{bn}是“H數(shù)列”.

設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則

于是對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)

使得

同理可證{cn}也“H數(shù)列”.所以對(duì)任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N?)成立.

評(píng)注本題是以數(shù)列為載體的新定義問題,是2014年江蘇卷的壓軸題,命題背景與方式創(chuàng)新,既有證明題,也有推理計(jì)算,還有探索存在問題,同一題目中多種方式結(jié)合考查,且層層遞進(jìn),構(gòu)思精巧,值得細(xì)細(xì)品味.第一問通過具體數(shù)列驗(yàn)證“H數(shù)列”的條件,為下兩問的解決提供思維基礎(chǔ);第二問推算,只要順藤摸瓜,運(yùn)用方程的思想方法,便能找到解答;第三問是典型的探究型問題,在(1)(2)問的鋪墊下,拾級(jí)而上,構(gòu)造兩個(gè)“H數(shù)列”對(duì)于思維活的學(xué)生并沒有“高處不勝寒”.

相關(guān)鏈接:(2012上海文-23)對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集{an},記bk=max{a1,a2,···,ak}(k= 1,2,···,m),即bk為a1,a2,···,ak中的最大值,并稱數(shù)列{bn}是{an}的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5.

(1)若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的控制數(shù)列為2,3,4,5,5,寫出所有的{an};

(2)設(shè){bn}是{an}的控制數(shù)列,滿足ak+bm?k+1= C(C為常數(shù),k=1,2,···,m).求證:bk=ak(k= 1,2,···,m);

解析(1)數(shù)列{an}為:2,3,4,5,1;2,3,4,5,2; 2,3,4,5,3;2,3,4,5,4;2,3,4,5,5.

(2)因?yàn)閎k=max{a1,a2,···,ak},bk+1= max{a1,a2,···,ak,ak+1},故bk+1≥bk.又因?yàn)閍k+ bm?k+1=C,ak+1+bm?k=C,所以ak+1?ak= bm?k+1?bm?k≥0,即ak+1≥ak.因此,bk=ak.

(3)對(duì)k=1,2,···,25,

比較大小,可得

評(píng)注本題一改常見數(shù)列證明或求通項(xiàng)公式的題型和模式,需要學(xué)生能夠?qū)哟畏置鞯亻喿x并理解新定義探究數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律;其次能用簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言清晰且自然表述問題的完整解答.此題雖背景新穎,卻處處緊扣數(shù)列的基本概念和本質(zhì)—數(shù)列是反映自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,研究數(shù)列很大程度上是探索其所反映的“規(guī)律”.所以在高考復(fù)習(xí)中,形成必要的解題模式和套路固然重要,也需要對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和核心數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法有清楚的理解和認(rèn)識(shí).

2012上海文科卷壓軸題的姊妹題也是一道背景新穎、涉及了集合、向量、不等式等綜合問題,解題的關(guān)鍵需從新情境中提取信息,化解抽象信息,進(jìn)而通過分析、推理、論證求數(shù)列的通項(xiàng)公式,立意不落窠臼但凸顯了研究數(shù)列的一般方法:觀察、歸納、猜想、論證,命題特色與2012年北京壓軸題有異曲同工之妙.

例5(2006廣東-20)A是定義在[2,4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:

①對(duì)任意的x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);

②存在常數(shù)L(0＜L＜1),使得對(duì)任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x1)?φ(2x2)|≤L|x1?x2|.

(II)設(shè)φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0= φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;

(III)設(shè)φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn?1=φ(2xn),n=1,2,···,證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式

解析(I)對(duì)任意x∈[1,2],

所以φ(2x)∈(1,2)對(duì)任意的x1,x2∈[1,2],

(III)|x3?x2|=|φ(2x2)?φ(2x1)|≤L|x2?x1|,所以

[評(píng)注]不等式是研究函數(shù)、方程的重要工具,是高等數(shù)學(xué)最深的一塊基石.本題作為2006年廣東理科卷的壓軸題,將李普希茨條件與函數(shù)、不等式融為一體,有較強(qiáng)的綜合性和新穎性,充分體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在思想方法和形式上的和諧銜接,可謂匠心獨(dú)具,此類試題在2003北京高考和2004年江蘇高考中也有所體現(xiàn).2010年廣東理科卷中的壓軸題也是通過定義了一種“折線距離”的創(chuàng)新題.

附注:對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)正的常數(shù)a,使得定義域內(nèi)D的任意兩個(gè)不等的值x1,x2,都有|f(x1)?f(x2)|≤a|x1?x2|成立,則稱函數(shù)y=f(x)為D上的李普希茨函數(shù).

總結(jié)從以上分類的創(chuàng)新型試題中看,解決創(chuàng)新型試題的關(guān)鍵在于“飲水思源”,即通過定性分析,列舉嘗試,歸納猜想,類比轉(zhuǎn)化,檢驗(yàn)探索等策略,探尋新問題的原始模型,從而“化新為舊”.它告訴我們平時(shí)要注意學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng),弱化概念的記憶與背誦,強(qiáng)化對(duì)概念的理解與運(yùn)用;弱化公式的直接代入與套用,強(qiáng)化公式的變形與活用;弱化對(duì)定理的機(jī)械搬用,強(qiáng)化對(duì)定理?xiàng)l件的把握;弱化在現(xiàn)性思維,強(qiáng)化求異思維與創(chuàng)新思維.可以預(yù)見,今后的高考數(shù)學(xué)試題中肯定會(huì)出現(xiàn)更多、更新、更巧的創(chuàng)新題.