四川省資陽市外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校(641300)蔡勇全

品味“創(chuàng)新型”集合問題

四川省資陽市外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校(641300)蔡勇全

“創(chuàng)新型”集合問題是近幾年高考命題的熱點(diǎn),此類試題常常是以“新交匯”、“新定義”為背景,較好地考查了學(xué)生的創(chuàng)新能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識綜合解決問題的能力,因而倍受命題者的青睞.本文在總結(jié)近幾年全國各地高考試題或模擬試題的基礎(chǔ)上介紹幾種主要的“創(chuàng)新型”集合問題,旨在探索題型規(guī)律,揭示解題方法,供大家參考.

類型一、集合與合情推理

集合與合情推理“聯(lián)姻”能命制出精彩的考題,而且多以元素與集合的關(guān)系、合情推理為交匯點(diǎn),意在考查學(xué)生處理交匯性問題的能力、邏輯推理能力,此類題目的難度一般為中等或中等偏上.

例1(2014年高考福建卷理科第15題)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4}且下列四個(gè)關(guān)系:①a=1;②b≠1;③ c=2;④d≠4有且只有一個(gè)是正確的,則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是___.

解析因?yàn)棰僬_,②也正確,所以只有①正確是不可能的;若只有②正確,①③④都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正確, ①②④都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(3,1,2,4);若只有④正確,①②③都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).綜上,符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是6.

評注此類題的易錯(cuò)點(diǎn)為:一是分類不嚴(yán)謹(jǐn);二是審題不認(rèn)真.解答本題時(shí),若對“有且只有”這四個(gè)字不敏感,那么就不容易找到解題的突破口,因此,解題時(shí),一定要認(rèn)真審題,分類時(shí)要做到不重不漏,才不會陷入命題人設(shè)計(jì)的陷阱.

變式已知元素為實(shí)數(shù)的集合S滿足下列條件:① 1,0?S;②若a∈S,則

(1)若集合{2,?2}是S的真子集,求使元素個(gè)數(shù)最少的集合S;

(2)若非空集合S為有限集,則你對集合的元素個(gè)數(shù)有何猜想?并證明你的猜想正確.

(2)非空有限集S的元素個(gè)數(shù)是3的倍數(shù).證明如下:

評注破解此類問題的突破口是:正確理解集合的有關(guān)概念,注意集合中元素的互異性,會用完全歸納推理方法判斷集合中元素的所有可能取值,并注意分類與整合思想的運(yùn)用.

類型二、集合與新定義

集合與新定義“交融”的考題,具有濃厚的時(shí)代氣息,是一類難得一見的好題.此類試題常常以平面點(diǎn)集或數(shù)集、新定義(平面向量、函數(shù)、數(shù)列等)為交匯點(diǎn),意在考查學(xué)生處理交匯性問題的能力、數(shù)形結(jié)合能力及運(yùn)算求解能力,此類試題的難度一般為中等偏上,而且在客觀題或主觀題中均可能出現(xiàn).

例2(2013年高考福建卷理科第10題)設(shè)S,T是R的兩個(gè)非空子集,如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f(x)滿足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)對任意x1,x2∈S,當(dāng)x1＜x2時(shí),恒有f(x1)＜f(x2),那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”.以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是( )

A.A=N?,B=N

B.A={x|?1≤x≤3},B={x|x=?8或0＜x≤10}

C.A={x|0＜x＜1},B=R

D.A=Z,B=Q

評注求解此類新定義的存在性問題的關(guān)鍵是:首先理清新定義的內(nèi)涵;其次,針對選擇題的特點(diǎn),會利用特取法來實(shí)現(xiàn)快速智取,如本題,通過取特殊函數(shù)(注意此特殊函數(shù)應(yīng)滿足題設(shè)中的兩個(gè)條件),就可較為容易地輕松破解此類難題.

變式設(shè)集合S={A0,A1,A2,A3,A4},在S上定義運(yùn)算⊙:Ai⊙Aj=Ak,其中k=|i?j|,i=0,1,2,3,4,j=0,1,2,3,4,那么滿足條件(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S)的有序數(shù)對(i,j)共有( )

A.12個(gè) B.8個(gè) C.6個(gè) D.4個(gè)

解析因?yàn)?Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S),所以Ai⊙Aj=A1或Ai⊙Aj=A3,因此|i?j|=1或|i?j|=3,滿足i?j=1的有序數(shù)對(i,j)有4個(gè),分別是(1,0),(2,1),(3,2),(4,3);滿足j?i=1的有序數(shù)對(i,j)有4個(gè),分別是(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);滿足i?j=3的有序數(shù)對(i,j)有2個(gè),分別是(3,0),(4,1);滿足j?i=3的有序數(shù)對(i,j)有2個(gè),分別是(0,3),(1,4).綜上,可得滿足條件(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S)的有序數(shù)對(i,j)共有12個(gè),故應(yīng)選A.

評注定義新運(yùn)算在集合考查中是一種新的命題背景,引進(jìn)新的集合運(yùn)算,可以考查學(xué)生接受新知識的能力和對集合語言的閱讀理解能力.解決這類信息遷移題的基本方法是以舊帶新,即把新定義的運(yùn)算納入到已有的集合運(yùn)算體系之中,并用已有的解題方法來分析、解決問題.

類型三、集合與簡易邏輯

集合與簡易邏輯“牽手”的考題,是不落俗套的好題,多以集合的運(yùn)算、集合間的關(guān)系、簡易邏輯知識為交匯點(diǎn),意在考查學(xué)生處理交匯性問題的能力以及邏輯推理能力,此類題目的難度一般為中等或中等偏下.

例3非空集合A,B,C滿足A∪B=C,且B不是A的子集,則( )

A.“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件

B.“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件

C.“x∈C”是“x∈A”的充要條件

D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是必要條件

解析A∪B=C,且B不是A的子集,說明集合C≠A,又A?(A∪B),所以集合A?C,這說明集合A的元素都在集合C中,但集合C中的元素至少有一個(gè)不在集合A中,故應(yīng)選B.

評注本題的難點(diǎn)主要是對集合之間關(guān)系的分析,兩個(gè)集合的運(yùn)算產(chǎn)生的集合同這兩個(gè)集合之間存在著必然的包含關(guān)系,如A與B均為A∪B的子集,A∩B既是A的子集,也是B的子集等等,這些常識是分析判斷參與運(yùn)算的兩個(gè)集合中的元素與運(yùn)算所得的集合元素之間關(guān)系的依據(jù),也是解決這類問題的關(guān)鍵.

變式1(2013年高考四川卷理科第4題)設(shè)x∈Z,集合A是奇數(shù)集,集合B是偶數(shù)集,若命題p:?x∈A,2x∈B,則( )

A.?p:?x∈A,2x?B

B.?p:?x?A,2x?B

C.?p:?x?A,2x∈B

D.?p:?x∈A,2x?B

解析命題p的含義是對任意x∈A,一定有2x∈B,則其否定或否定形式?p的含義應(yīng)是并非對任意x∈A,都有2x∈B,即存在x∈A,使2x?B,故應(yīng)選D.

變式2(2011年高考天津卷文科第4題)設(shè)集合A={x∈R|x?2＞0},集合B={x∈R|x＜0},C={x∈R|x(x?2)＞0},則“x∈A∪B”是“x∈C”的( )

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析因?yàn)锳∪B={x∈R|x＜0或x＞2},C={x∈R|x＜0或x＞2},所以A∪B=C,x∈A∪B是x∈C的充分必要條件,故應(yīng)選C.

評注破解此類問題的突破口是:既能對集合之間的包含關(guān)系應(yīng)用明晰,又能用特殊值法來判斷特稱命題的真假,還能準(zhǔn)確理解充分條件、必要條件及充要條件的含義,才能對其關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷.

類型四、集合與其他知識

這里的其他知識是指向量、復(fù)數(shù)或三角函數(shù)等,集合與這些知識“相約”,往往能產(chǎn)生不可多得的佳題,此類試題常常以集合為背景,注重考查向量、復(fù)數(shù)或三角函數(shù)的應(yīng)用性功能,較好地體現(xiàn)了高考“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題、注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性”,這也是近年高考命題的新特點(diǎn)和大方向,此類題目的難度一般為中等.

例4已知集合M={→a|→a=(2λ+1,2+2λ),λ∈R},另有集合則M∩N中的元素的模為____.

解析由于兩個(gè)集合的交集中的元素是指這兩個(gè)集合中相同的元素,基于此,M∩N中的元素是指集合M與N中相等的向量,根據(jù)相等向量的定義,只需(2λ+1,2+2λ)=(3λ?2,3λ?1),即解得λ=3,所以M∩N={(7,8)},故M∩N中的元素的模為

評注解答本題的關(guān)鍵是對兩個(gè)集合的交集中的元素的理解.

變式1已知i為虛數(shù)單位,則集合M={a∈R|(1?ai)2為純虛數(shù)}中元素的個(gè)數(shù)是___.

解析集合M中的元素是指字母a的取值,而字母a的取值又受制于“(1?ai)2為純虛數(shù)”.因?yàn)?1?ai)2=(1?a2)?2ai,欲使(1?ai)2為純虛數(shù),則須1?a2=0且?2a≠0,解得a=±1,故M={?1,1},所以集合M中的元素個(gè)數(shù)為2.

評注解答本題的關(guān)鍵是對集合M中的元素是“誰”及純虛數(shù)這一概念的理解.

變式2集合A=(x,y)|x2+8xsin(xy)+16=0,x∈中元素的個(gè)數(shù)是____.

解析顯然x≠0,所以有

其中k∈Z.又y∈[0,2π],所以k分別只能取到4個(gè)值,方程組的解共8組,故集合A中的元素個(gè)數(shù)為8.

評注以集合的形式包裝本題,關(guān)鍵是解方程,觀察sin(xy),自然聯(lián)想到它的有界性,而且本題用到了一種極其重要的思想方法,也就是夾逼思想,即m≤x≤m?x=m.

[1]蔡勇全.突破抽象函數(shù)的十一招[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012,2.

[2]蔡勇全.辨析“形似質(zhì)異”的含參成立性問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志, 2013,11.

[3]蔡勇全.一題七解激活思維[J].數(shù)理化解題研究,2014,9.

[4]蔡勇全.簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算的若干策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2015,1.

[5]蔡勇全.例說含參函數(shù)問題的幾種求解策略[J].數(shù)理化解題研究, 2015,2.

[6]蔡勇全.問渠那得清如許為有源頭活水來[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2015, 3.

[7]蔡勇全.多角度解析一道高考填空題[J].中學(xué)生理科應(yīng)試,2015,4.

[8]蔡勇全.一類?？甲钪祮栴}的七種解法賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志, 2015,5.