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三角形“四心”的向量形式再探索

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文[1]給出了三角形“四心”的向量形式,表達(dá)非常優(yōu)美.受其啟發(fā),筆者對(duì)三角形“四心”的向量形式進(jìn)行了再探索,利用平面向量基本定理,得到三角形“四心”的另一種向量表示形式.

圖1

設(shè)a,b,c是角A,B,C的對(duì)邊,因?yàn)镺是三邊垂直平分線的交點(diǎn),則

圖2

設(shè)a,b,c是角A,B,C的對(duì)邊,內(nèi)切圓半徑為r,因?yàn)镮是三內(nèi)角平分線的交點(diǎn),則

問題3.如圖3,已知點(diǎn)H是△ABC的垂心,存在實(shí)數(shù)s,t,使得

圖3

解:由平面向量基本定理,知存在實(shí)數(shù)s,t使得

同理得s=cotA·cotC.

問題4.如圖4,已知點(diǎn)G是△ABC的重心,存在實(shí)數(shù)s,t,使得

解:設(shè)M為BC的中點(diǎn),

圖4

一般地,若P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),由文[2]結(jié)論,則有:

圖5

【定理】一般地,若P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則

(其中S△PBC,S△PAC,S△PAB分別表示△PBC,△PAC,△PAB的面積)特別地

①若P是△ABC的外心,則

②若P是△ABC的內(nèi)心,則

[1]李金聰.三角形“五心”優(yōu)美的向量形式.福建中學(xué)數(shù)學(xué).2010.3.

[2]張乃貴.關(guān)于三角形內(nèi)一個(gè)向量命題的證明.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2004. 4