陜西省西安市高新第三中學(710075)呂二動

構造模型法巧證不等式

陜西省西安市高新第三中學(710075)呂二動

我們知道,不等式證明的方法是多種多樣,為了深入研究不等式的證法,可根據(jù)所給不等式的特點,構造一些特殊模型來證明不等式,往往可以達到事半功倍的效果.

一、利用概率統(tǒng)計模型

其中A,B,C為三個相互獨立事件.則有

二、利用導數(shù)模型

例3.設x∈(0,+∞),求證:ln(1+x)＜x.

分析:所證不等式等價于ln(1+x)?x＜0,令f(x)=ln(1+x)?x,故只須證f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).

證明:令f(x)=ln(1+x)?x,因為x＞0時,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減,由于f(x)在(?1,+∞)上連續(xù),且f(0)=0,所以x＞0時,f(x)＜f(0)=0即ln(1+x)＜x.

例4.已知a、b為實數(shù),且e＜a＜b,證明:ab＞ba.

分析:先把指數(shù)問題轉化為對數(shù)問題

再分離變量得

當x∈(e,+∞)時,

三、構造函數(shù)模型

例5.若|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,a,b,c∈R求證: ab+bc+ca＞?1.

證明:因為ab+bc+ca+1=(b+c)a+bc+1,所以構造一次函數(shù)

則有

由一次函數(shù)性質知,當?1＜a＜1時,恒有f(a)＞0,那么ab+ac+bc＞?1.

例6.已知a1,a2,···,an都是正數(shù),證明對任意的n∈N+,不等式成立.

證明:對任意的x∈R,n∈N+,不等式

成立.即

成立.構造函數(shù)

四、構造圖形模型

例7.已知α,β,γ均為銳角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求cotαcotβcotγ的最大值.

解:構造一個長方體,使長方體的對角線與過同一頂點的三條棱a,b,c的夾角分別為α,β,γ,則cos2α+cos2β+ cos2γ=1且

圖1

圖2

五、利用復數(shù)模型

例9.設a,b,c∈R+,λ＞0,求證:

證明:

當且僅當a=b=c時,等號成立.

六、利用抽屜原理模型

故

七、利用行列式模型

例12.若α,β,γ∈R,求證:

證明:令

其幾何意義為構造點

則|u|=2S△ABC.由于A,B,C三點都在單位圓x2+y2=1上,因為圓內接三角形中,正三角形的面積最大,所以,當△ABC為正三角形時,S△ABC取得最大值故 |sin(α?β)+sin(β?γ)+sin(γ?α)|≤

通過構造不同的模型證明不等式,各種模型顯現(xiàn)各自解決不等式的優(yōu)點,只有認真去思考和研究,才會有意想不到的收獲!同時展現(xiàn)了數(shù)學奧妙及神奇,研究就要多思考,這樣才有提高!在平時教學中要多思、多想,多問為什么,這樣數(shù)學會因思考而更加精彩,只有在學習和思考中才可以提升數(shù)學品質和數(shù)學素養(yǎng),既需要大膽的猜想和細心的求證,還需要堅定的意志和靈通的變通,所以說,只有多思、多想、多變,才會有創(chuàng)新、提高!