廣東省廣州市花都區(qū)赤坭鎮(zhèn)赤坭圩小學(510830)李思根

廣東省廣州市花都區(qū)新華培新中學(510800)洪鵬花

數(shù)學問題393的幾何解答

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注:《數(shù)學通報》數(shù)學問題2104(2013年第二期)證明了:橢圓的內接平行四邊形的中心與橢圓的中心重合,并且求得了橢圓的內接平行四邊形面積的最大值.

文[1]利用代數(shù)計算和柯西不等式得到:橢圓的內接平行四邊形的最大周長為但是并沒有指出如何找出滿足條件的內接平行四邊形.本文從幾何角度求出橢圓的內接平行四邊形周長的最大值,并指出如何做出這種內接平行四邊形.

1.命題:如果直線?1,?2與橢圓C:=1(a＞ b＞0)有交點,?1⊥?2,?1∩?2=P,橢圓C的中心為O,則當且僅當直線?1,?2為橢圓的切線時,等號成立.

證明:(1)當直線?1,?2為橢圓的切線時,如圖1所示,直線?1,?2與橢圓C相切于點A,B,連接F1A,F2A,F1B,F2B,分別作F2關于?1,?2的對稱點連接交直線?1,?2于點N,M,所以四邊形F2MPN為矩形.根據(jù)橢圓的光學性質可知分別過點A,B,且

圖1

(2)當直線?1,?2與橢圓相交時,作直線且與橢圓C相切于點與?2相交于點N,?1與相交于點與相交于點Q,所以四邊形QMPN為矩形.在?OPN中,∠OPN＞90°,所以OP＜ ON;在?ONQ中,∠OPQ＞90°,所以ON＜ OQ;所以OP＜OQ.由(1)可知命題得證.

圖2

原問題的解答如圖3示,四邊形ABCD為橢圓內接平行四邊形.反向延長BC,作∠ABE的角平分線,過點A作BF的垂線,交BF于點P,交BE于點A′,所以PB⊥PA,點P為AA′的中點, BA′=BA,2OP=CA′=CB+BA′=CB+BA,所以當且僅當PB,PA為橢圓的切線時,等號成立.即當橢圓內接平行四邊形相鄰兩點處的切線垂直時,周長最大為

圖3

2.尺規(guī)作法

在已知橢圓(中心O、對稱軸x軸、y軸、焦點F1,F2)的前提下,用尺規(guī)法作出周長最大的橢圓內接平面四邊形.設橢圓與x軸交于X,X′,與y軸交于Y,Y′.

圖4

1.以O為圓心,XY的長度為半徑,作圓O;

2.在橢圓上任取一點A,連接OA,延長交橢圓于點C;

3.連接F1A,F2A,并延長F1A與圓O交于點E;

4.作∠F2AE的角平分線,與圓O交于點M,N;(根據(jù)文[2],MN為橢圓的切線)

5.過點C作MN的平行線,與圓O交于點P,Q;

6.連接PM,QN,交橢圓于點B,D,所以四邊形ABCD為周長最大的橢圓內接平行四邊形.

證明:連接ON,OQ,根據(jù)橢圓和圓的對稱性可知,點N,Q關于點O對稱,所以N,Q,O三點共線,即NQ是圓O的直徑,所以∠QMN=90°,即QM⊥MN,MN為橢圓的切線,根據(jù)上面的命題可得,QM為橢圓的切線,切點為D.同理可得,PN為橢圓的切線,切點為B.所以平行四邊形ABCD為周長最大的橢圓內接平行四邊形.

[1]楊志明.數(shù)學問題393的解答[J].中學數(shù)學研究(上半月),2015,2.

[2]陳鋒.尺規(guī)法作過橢圓上一點的切線的幾種方法[J].中學數(shù)學教學, 2007,3.