廣東省廣州市番禺中學(xué)(511400)楊華

一類無理不等式的幾何證明

廣東省廣州市番禺中學(xué)(511400)楊華

刊登在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年12期安振平老師的題為《一類無理不等式深入探究》([1])一文中,給出了下列一類無理不等式:

問題1設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),求證:

問題2設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),求證:

問題3設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),求證:

考慮到這三個(gè)不等式的統(tǒng)一的情景,把它深化為:

深化1設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),?2＜λ＜2,求證:

文[1]用代數(shù)法給出了證明,本文給出它的幾何證明.

證明因?yàn)閍,b,c是正實(shí)數(shù),構(gòu)造腰長分別為a,b,c,a頂角是θ的四個(gè)等腰三角形,并使得它們的底邊在同一條直線上,如圖1.在△ABM中,由余弦定理可知底邊

圖1

同理

所以

在△BMN中,由余弦定理可知

同理

又因?yàn)锳M//DQ且AM=DQ,則四邊形ADQM是平行四邊形,所以AD=MQ.根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短,因此MN+NP+PQ≥MQ.則

令λ=?2cosθ,因?yàn)棣取?0,π),則?2＜λ＜2,所以有

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立.

根據(jù)上面的證明可以看出:深化1中的參數(shù)λ的取值范圍為什么約定?2＜λ＜2.在不等式(5)中,取θ=90°、60°、120°分別得到不等式(1)、(2)、(3).

深化2設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),?2＜λ＜2,求證:

來完成的,這個(gè)不等式可以構(gòu)造幾何圖形證明.

證明因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù),構(gòu)造腰長分別為a,b頂角是θ的兩個(gè)等腰三角形,并使得它們的底邊在同一條直線上,如圖2.過點(diǎn)M,N分別作底邊AB,BC上的垂線,垂足為D,E,則DE分別是底邊AB,BC中點(diǎn).

文[1]中深化1、深化2的證明都是利用不等式

圖2

在△ABM中,由余弦定理可知底邊

同理

則

文[1]中的深化3和證明深化3所用到的恒等式都存在錯(cuò)誤,應(yīng)分別更改為:

深化3設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),?a＜λ＜2,求證:

這個(gè)恒等式也可以構(gòu)造幾何圖形證明.

證明因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù),構(gòu)造腰長分別為a,b頂角是θ的兩個(gè)等腰三角形,并使得它們的底邊在同一條直線上,如圖3.過點(diǎn)M,N分別作底邊AB,BC上的垂線,垂足為D,E,則D,E分別是底邊AB,BC中點(diǎn).過M點(diǎn)作MF//DE交NE于F.

圖3

在△ADM中,

所以,不等式(7)成立.文[1]中的問題6和推論1是錯(cuò)誤的,在深化3中分別取λ=?1,λ=1就會(huì)得到問題6和推論1.

問題6設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),求證:

推論1設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),求證:

[1]安振平.一類無理不等式的探入探究[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2011(12),55-56.