劉東南，唐 亮，李雪勇，李 玲

（1. 湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007；2. 湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子電氣系，湖南 株洲 412006）

耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)包含控制

劉東南1，唐 亮1，李雪勇1，李 玲2

（1. 湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007；2. 湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子電氣系，湖南 株洲 412006）

對具有多個領(lǐng)導(dǎo)者的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)包含控制問題進(jìn)行了研究，提出了基于自適應(yīng)策略的包含控制協(xié)議，運(yùn)用圖論及穩(wěn)定性理論給出了耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)達(dá)到包含的充分條件。最后，通過數(shù)值仿真模擬，驗(yàn)證了所提控制方案的有效性。

包含控制；耦合諧振子；自適應(yīng)控制；多領(lǐng)導(dǎo)者

1 研究背景

由于多智能體系統(tǒng)在生活中的廣泛應(yīng)用[1]，其分布式協(xié)調(diào)控制得到了許多不同學(xué)科的學(xué)者們的高度關(guān)注[2]。這一研究的一個關(guān)鍵問題是多智能體系統(tǒng)的一致性。所謂一致性是指所有智能體的狀態(tài)最終收斂到一個期望的值。

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中領(lǐng)導(dǎo)者的個數(shù)，一致性又可分為無領(lǐng)導(dǎo)者一致性，領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨一致性（一致性跟蹤），集合跟蹤一致性（包含）。近年來，由于包含控制具有廣泛的應(yīng)用背景，多智能體系統(tǒng)的包含控制成為多智能體系統(tǒng)的一個熱點(diǎn)問題[3-5]。文獻(xiàn)[3]利用滑?？刂评碚摚芯苛司哂杏薪绺蓴_的非線性多智能體系統(tǒng)的有限時間一致性與包含控制。文獻(xiàn)[4]討論了無速度測量的二階積分器型多智能體系統(tǒng)的包含控制問題，分別利用速度估計(jì)器和采樣控制的方法，設(shè)計(jì)了不依賴于速度測量的包含控制協(xié)議，并分別給出了包含達(dá)到的充要條件。文獻(xiàn)[5]運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論、代數(shù)圖論和矩陣?yán)碚?，研究具有有界外部干擾的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性問題。

耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)是一類重要的物理系統(tǒng)，許多實(shí)際系統(tǒng)都可由耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)描述，關(guān)于耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的同步（一致性）問題受到越來越多的學(xué)者關(guān)注。文獻(xiàn)[6]利用矩陣論的相關(guān)知識，研究了無向固定拓?fù)湎埋詈现C振子網(wǎng)絡(luò)的同步問題。文獻(xiàn)[7]考慮了無向動態(tài)拓?fù)湎埋詈现C振子網(wǎng)絡(luò)的同步問題，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論給出了收斂性分析。以上文獻(xiàn)主要針對網(wǎng)絡(luò)中存在單個領(lǐng)導(dǎo)者的情形展開研究，實(shí)際中，確實(shí)存在多領(lǐng)導(dǎo)者情形的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)?；诖?，文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了自適應(yīng)的連邊權(quán)重，研究了耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的聚類一致性問題。但關(guān)于耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的包含控制的文獻(xiàn)卻并不多見。筆者通過大量檢索發(fā)現(xiàn)，僅有文獻(xiàn)[9]研究了有向拓?fù)湎埋詈现C振子網(wǎng)絡(luò)的包含控制問題，并給出了包含達(dá)到的充要條件。但文獻(xiàn)[6-7, 9]中，同步或包含達(dá)到的條件依賴于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，從而不是完全分布式的。因此，本文主要研究在網(wǎng)絡(luò)中存在多個領(lǐng)導(dǎo)者的情形下，耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)包含控制問題，并引入自適應(yīng)控制策略，使得包含達(dá)到的條件不依賴于網(wǎng)絡(luò)Laplacian矩陣中跟隨者所對應(yīng)子塊的特征值，從而保證包含協(xié)議是完全分布式的。

2 模型介紹和預(yù)備知識

在耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)中的第i個節(jié)點(diǎn)的動態(tài)可以表示為

N, M是正整數(shù)，分別表示網(wǎng)絡(luò)中跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)目，且第1, 2, …, N個節(jié)點(diǎn)為網(wǎng)絡(luò)中的跟隨者，第N+1,…, N+M個節(jié)點(diǎn)為網(wǎng)絡(luò)中的領(lǐng)導(dǎo)者，其中跟隨者集合用F表示，領(lǐng)導(dǎo)者集合用L表示。

網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)淇梢杂脠D定義，其中有向圖G=(V, E)由非空的頂點(diǎn)集和邊集組成。圖G的鄰接矩陣A= (aij)定義為：aij=1當(dāng)且僅當(dāng)。關(guān)于圖的相關(guān)知識可參見文獻(xiàn)[10-11]。網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣L=(lij)被定義為：。

定義1 如果網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點(diǎn)的鄰域?yàn)榭占?，則稱這個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的智能體為領(lǐng)導(dǎo)者；否則，稱為跟隨者。

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者及Laplacian矩陣的定義可知，L可以寫成分塊矩陣形式

式中：L1表示跟隨者所對應(yīng)的Laplacian子塊；

L2表示跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間鄰接關(guān)系所對應(yīng)的Laplacian子塊。

本文主要研究具有多個領(lǐng)導(dǎo)者的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的包含控制問題，即設(shè)計(jì)有效的控制算法，使得網(wǎng)絡(luò)中的跟隨者漸近進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包絡(luò)中。

假設(shè)1 假定網(wǎng)絡(luò)中跟隨者之間的通信是無向的，即網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣多對應(yīng)的跟隨者子塊是對稱的。

假設(shè)2 假定對每一個跟隨者，至少存在一個領(lǐng)導(dǎo)者有一條有向的路徑通往這個跟隨者。

引理1[4]若假設(shè)1和假設(shè)2成立，則L1正定，且-L1-1L2的每個元素都非負(fù)，-L1-1L2的每一行的行和為1。

3 主要結(jié)果

對網(wǎng)絡(luò)中第i個智能體，可提出如下控制算法：

式中ci為包含協(xié)議的自適應(yīng)增益，且滿足

由aij的定義可知，當(dāng)i L時，aij=0，從而ui(t)=0。令

由于領(lǐng)導(dǎo)者的控制器為0，不難得到領(lǐng)導(dǎo)者的軌跡方程為

式中rl(0), vl(0)分別表示領(lǐng)導(dǎo)者作成的向量的位置和速度的初始值。

將控制協(xié)議式（2）及自適應(yīng)策略式（3）代入系統(tǒng)式（1），可得

定理1 若假設(shè)1和假設(shè)2成立，則耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)式（1）在包含控制協(xié)議式（2）及自適應(yīng)策略式（3）的作用下達(dá)到包含，且網(wǎng)絡(luò)中的跟隨者滿足

式中rl(t)與vl(t)由式（4）給出。

證 由引理1可知，若假設(shè)1和假設(shè)2成立，則L1正定，從而可逆。令誤差變量

由定理1可知，在包含控制協(xié)議式（2）及自適應(yīng)策略式（3）下，耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)式（1）能否達(dá)到包含，并不依賴于網(wǎng)絡(luò)Laplacian矩陣中跟隨者所對應(yīng)的子塊的特征根，而僅需網(wǎng)絡(luò)的初始拓?fù)錇檫B通的，這就保證了本文中所提出的協(xié)議是完全分布式的。

4 數(shù)值仿真

考慮具有3個領(lǐng)導(dǎo)者和6個跟隨者的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)，其拓?fù)鋱D如圖1所示。易知，假設(shè)1和假設(shè)2成立。

圖1 耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋱DFig. 1 Coupled harmonic oscillators network topology

網(wǎng)絡(luò)的第i個節(jié)點(diǎn)具有如下動態(tài)：

耦合諧振子的位置軌跡及速度軌跡分別如圖2和圖3所示。由圖可知，網(wǎng)絡(luò)中的跟隨者位置，最終進(jìn)入到領(lǐng)導(dǎo)者所形成的三角形（圖三邊形）中。

圖2 耦合諧振子的位置軌跡Fig. 2 Position trajectory of coupled harmonic oscillators

圖3 耦合諧振子的速度軌跡Fig. 3 Speed trajectory of coupled harmonic oscillators

5 結(jié)語

本文對具有多個領(lǐng)導(dǎo)者的耦合諧振子的分布式自適應(yīng)包含控制問題進(jìn)行了研究。在固定的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎?，利用自適應(yīng)控制策略設(shè)計(jì)有效的包含控制協(xié)議，使得網(wǎng)絡(luò)達(dá)到包含的條件不依賴于網(wǎng)絡(luò)Laplacian矩陣跟隨者所對應(yīng)的子塊的特征根，從而保證了所提出的包含算法是完全分布式，并利用數(shù)值仿真例子驗(yàn)證了所提出的控制方案的有效性。

[1]STROGATZ S H. Exploring Complex Networks[J]. Nature，2001， 410：268-276.

[2]汪小帆，李 翔，陳關(guān)榮. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006：16. WANG Xiaofan，LI Xiang，CHEN Guanrong. Complex Networks Theory and Its Application[M]. Beijing：Tsinghua University Press，2006：16.

[3]ZHANG Y J，YANG Y，ZHAO Y，et al. Distributed Finite-Time Tracking Control for Nonlinear Multi-AgentSystems Subject to External Disturbances[J]. International Journal of Control，2013，86(1)：29-40.

[4]XU C J，ZHENG Y，SU H S，et al. Necessary and Sufficient Conditions for Distributed Containment Control of Multi-Agent Systems Without Velocity Measurement [J]. IET Control Theory Applicat，2014 ，8(16)：1752-1759.

[5]范龍?jiān)疲焐迫A，徐承杰，等. 具有有界干擾的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性[J]. 湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2015，29(5)：102-106. FAN Longyun，ZHU Shanhua，XU Chengjie，et al. The Consistency of Coupled Harmonic Oscillator Network with Bounded Disturbance[J]. Journal of Hunan University of Technology，2015，29(5)：102-106.

[6]REN W. Synchronization of Coupled Harmonic Oscillators with Local Interaction[J]. Automatica，2008，44(12)：3195-3200.

[7]SU H S，WANG X F，LIN Z L. Synchronization of Coupled Harmonic Oscillators in a Dynamic Proximity Network[J]. Automatica，2009，45(10)：2286-2291 .

[8]SU H S，CHEN M Z， WANG X F， et al. Adaptive Cluster Synchronisation of Coupled Harmonic Oscillators with Multiple Leaders[J]. IET Control Theory and Applications，2013，7(5)：765-772.

[9]XU C J， ZHENG Y，SU H S，et al. Containment Control for Coupled Harmonic Oscillators with Multiple Leaders Under Directed Topology[J]. International Journal of Control，2015，88(2)： 248-255.

[10]GODSIL C，ROYLE G. Algebraic Graph Theory[M]. New York：Springer，2001：76-90.

[11]徐承杰，易 忠，鄭 英. 形式三角矩陣環(huán)的零因子圖[J]. 數(shù)學(xué)雜志，2013，33(5)：891-901. XU Chengjie，YI Zhong，ZHENG Ying. On the Zero-Divisor Graphs of Formal Triangular Matrix Rings[J]. Journal of Mathematics，2013，33(5)：891-901.

（責(zé)任編輯：鄧光輝）

《湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報》被評為“2016年度中國高校優(yōu)秀科技期刊”

據(jù)中國高校科技期刊研究會網(wǎng)站（http://www.cujs.com/index.asp）發(fā)布的“杰出·百佳·優(yōu)秀科技期刊入選名單公示”，《湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報》被評為“2016年度中國高校優(yōu)秀科技期刊”。

此次評選在利用全文數(shù)據(jù)庫、檢索數(shù)據(jù)庫和評價機(jī)構(gòu)等的有關(guān)評價成果的同時，采用分類、分層次遴選方法，對參評期刊所獲榮譽(yù)、傳播與利用效應(yīng)、學(xué)術(shù)影響力與行業(yè)影響力、政治與編輯出版質(zhì)量等進(jìn)行全面評價，擇優(yōu)遴選。

Distributed Adaptive Containment of Coupled Harmonic Oscillators Networks

LIU Dongnan1，TANG Liang1，LI Xueyong1，LI Ling2
（1. School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2. Department of Electronic and Electrical Engineering，Hunan Vocational College of Railway Technology，Zhuzhou Hunan 412006，China）

A research has been conducted on the distributed adaptive containment of the networks of coupled harmonic oscillators under fixed topologies, a containment protocol based on adaptive strategies has been proposed, and a sufficient condition for distributed containment of coupled harmonic oscillators has thus been obtained, based on stability and matrix theory. As a result, a numerical simulation verifies the validity of the proposed containment protocol.

containment；coupled harmonic oscillators；adaptive control；multiple leaders

TP13

A

1673-9833(2016)05-0032-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2016.05.007

2016-05-29

湖南工業(yè)大學(xué)自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2014HZX23），湖南省教育廳科研基金資助項(xiàng)目（15C0405，13C020，12C0088），湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015JJ2045）

劉東南（1983-），男，湖南邵陽人，湖南工業(yè)大學(xué)講師，碩士，主要研究方向?yàn)榛旌舷到y(tǒng)的穩(wěn)定性與控制，E-mail：ladn55555@163.com

唐 亮（1978-），男，湖南祁陽人，湖南工業(yè)大學(xué)講師，碩士，主要研究方向?yàn)殡p調(diào)和分析，E-mail：123643897@qq.com