谷 飛，方見樹,2

（1. 湖南工業(yè)大學 理學院，湖南 株洲 412007；2. 湖南工業(yè)大學 物理研究所，湖南 株洲 412007）

含變?nèi)荻O管電路系統(tǒng)的Melnikov混沌及其控制

谷 飛1，方見樹1,2

（1. 湖南工業(yè)大學 理學院，湖南 株洲 412007；2. 湖南工業(yè)大學 物理研究所，湖南 株洲 412007）

以一個含變?nèi)荻O管的電路系統(tǒng)為研究對象，分析并推導出該電路系統(tǒng)所滿足的非線性方程。并運用直接微擾法求得該方程的微擾解，且由Melnikov混沌判據(jù)得知該微擾解是一混沌解，表明該非線性電路系統(tǒng)具有混沌特征。理論解析結果表明，通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)或初始邊界條件可以對系統(tǒng)的混沌加以控制。相應的數(shù)值仿真結果表明，所提方法確實有效可行，驗證了理論解析結論。

變?nèi)荻O管電路；混沌現(xiàn)象；Melnikov判據(jù)；控制

0 引言

混沌是指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無規(guī)則、類似隨機的現(xiàn)象，是非線性系統(tǒng)在滿足一定條件時必然出現(xiàn)的一種復雜運動形式?；煦邕\動廣泛存在于湍流、各種物理振動、多體動力學系統(tǒng)、化學反應及生命體運動等自然現(xiàn)象中?；煦邕\動具有許多特殊的性質(zhì)，如對初始條件和系統(tǒng)參數(shù)的微小變化極端敏感、運動的相空間軌道有界但卻有著正的李雅普諾夫指數(shù)等[1-2]。自20世紀60年代產(chǎn)生以來，混沌理論發(fā)展非常迅速，它對現(xiàn)代科學產(chǎn)生了廣泛而深遠的影響，并在數(shù)學、物理學、經(jīng)濟學、生物醫(yī)學、生態(tài)學、保密通訊及自動控制等領域得到了廣泛的應用。

含有變?nèi)荻O管的電路是一種典型的非線性電路[3]，電路中用到的重要原件是變?nèi)荻O管，而變?nèi)荻O管作為一種可調(diào)諧電抗元件，被廣泛應用于自動頻率控制、振蕩電路、調(diào)頻以及各種通信系統(tǒng)中。由于非線性電路系統(tǒng)中存在混沌現(xiàn)象，因而難以調(diào)控。本文擬運用直接微擾法對含變?nèi)荻O管電路的系統(tǒng)進行理論解析，并且采用Melnikov混沌控制方法[4]對該非線性電路的混沌行為進行相應的調(diào)控。最后，通過數(shù)值模擬驗證所得的理論結果，以期為相關電路系統(tǒng)或其它物理系統(tǒng)中的混沌控制提供一定的理論參考。

1 含變?nèi)荻O管電路的動力學方程

圖1所示為一個含有變?nèi)荻O管的非線性電路，其中C1為變?nèi)荻O管串聯(lián)電容，變?nèi)荻O管的結電容C與反向電壓VC的關系如式（1）所示：

圖1 變?nèi)荻O管電路Fig.1 Variable capacitance diode circuit

適當調(diào)節(jié)C1/C0，以保證VC/<<1，于是可得下列近似關系[5]：

2 動力學方程的解析解

方程式（8）是含有變?nèi)荻O管電路系統(tǒng)無量綱化后的動力學方程，它是一典型的非線性方程?，F(xiàn)利用定量的解析方法即周期微擾法，討論該非線性電路系統(tǒng)的混沌行為[7-9]。為了簡便，將式（7）寫成如下形式：

3 數(shù)值模擬結果

上文利用解析的方法得到了含有變?nèi)荻O管電路系統(tǒng)的混沌解，這從理論上表明該非線性電路系統(tǒng)具有混沌行為。為了印證這一理論結果，下面采用數(shù)值仿真手段模擬該系統(tǒng)的混沌行為。在方程（9）中，選定參數(shù)，運用計算軟件Mathematica得到的數(shù)值仿真結果見圖2。

圖2 系統(tǒng)在=0.2,=0.51,=1.7,=0參數(shù)條件下的混沌圖像Fig.2 Chaotic image under conditions of=0.2,=0.51,=1.7,=0

圖2 a為系統(tǒng)的相軌道，可看出其變化非常復雜，而且含有混沌吸引子，此結果表明該含變?nèi)荻O管電路系統(tǒng)確實存在混沌行為，從而印證了前文的理論解析結果。

圖2 b所示為非線性方程（9）的解x隨時間變化的圖像。從該圖可看出，系統(tǒng)隨時間的演化曲線是極其復雜的非周期曲線，沒有規(guī)律可循，這也體現(xiàn)了該非線性系統(tǒng)的混沌特征，與前面的理論解析結果一致。但該非線性電路系統(tǒng)的混沌可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)或改變系統(tǒng)的初、邊界條件加以控制。例如，通過在方程（9）和（10）中對參數(shù)和進行調(diào)節(jié)，即可對系統(tǒng)的混沌進行控制，讓混沌軌道變成周期軌道。如果將系統(tǒng)參數(shù)設定為0.488，將參數(shù)設定為2.2，其他參數(shù)與圖2中的相同，則可得到如圖3所示的數(shù)值模擬結果。

圖3 系統(tǒng)在=0.2,=0.488,=2.2參數(shù)條件下的4周期相圖Fig.3 Four periodic phase diagram of the system underconditions of=0.2,=0.488,=2.2

從圖3a中可看到，系統(tǒng)的相軌道是由4個單周的軌道復合而成的4周期軌道，這表明系統(tǒng)從混沌態(tài)進入了準周期態(tài)，系統(tǒng)混沌得到了部分控制。從圖3b所示4周期解與時間的變化關系曲線可看出，其系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)的變化是有規(guī)律可循的，呈周期態(tài)變化。

圖4 系統(tǒng)在=0.2,=0.4,=2.2參數(shù)條件下的雙周期相圖Fig.4 Double periodic phase diagram of the system underconditions of=0.2,=0.4,=2.2

圖5 系統(tǒng)在=0.2,=0.38,=2.2參數(shù)條件下的單周期相圖Fig. 5 Single periodic phase diagram of the system under conditions of=0.2,=0.38,=2.2

由圖4a可以看到，在此條件下，系統(tǒng)的相軌道由2個周期軌道復合而成，即為雙周期相軌道圖像。而圖5 a則是一個純周期的相軌道，表明此時系統(tǒng)已由混沌態(tài)完全進入了純周期狀態(tài)，即該系統(tǒng)的混沌被完全控制。而相應的系統(tǒng)解x隨時間t的演化曲線也從圖2b所示的混沌曲線逐漸演化成圖3b、4b和5b所示的準周期曲線和純周期曲線。因此，結合上面的分析可以得出如下結論：通過對非線性電路系統(tǒng)的參數(shù)進行調(diào)節(jié)，可以對其內(nèi)部的混沌行為進行有效控制。由此可見，系統(tǒng)參數(shù)在控制非線性電路系統(tǒng)的混沌中有著非常重要的作用。

圖6 =0.1, 0<<2.5時系統(tǒng)的混沌區(qū)域圖像Fig.6 Chaotic region diagram under conditions of=0.1, 0<<2.5

從圖6中可看到，混沌區(qū)域在軌線的上方，下方是周期運動的區(qū)域，而且混沌區(qū)域隨頻率值的變化而變化。若要讓系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)，則應盡可能減小的數(shù)值而增大的數(shù)值。反之，系統(tǒng)則可能進入混沌狀態(tài)。這一結論再次證明了系統(tǒng)參數(shù)在混沌抑制方面所起到的重要作用。

4 結語

本文采用解析和數(shù)值計算的方法，研究了含變?nèi)荻O管非線性電路系統(tǒng)的混沌行為。首先，采用直接微擾方法得到了該非線性電路系統(tǒng)的微擾解，理論分析表明此微擾解是無界的；其次，由Melnikov混沌判據(jù)證明該微擾解是一個混沌解，也就是說這個含變?nèi)荻O管非線性電路系統(tǒng)具有混沌的特征；最后，由相應的數(shù)值模擬結果印證了理論解析結果。由于混沌對系統(tǒng)參數(shù)、初始條件和邊界條件的敏感性，可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)或改變初、邊界條件來控制含變?nèi)荻O管非線性電路系統(tǒng)的混沌行為，即使系統(tǒng)從混沌態(tài)進入周期態(tài)。數(shù)值模擬的結果表明，該方法確實有效可行，并且這種控制混沌的方法在其他物理系統(tǒng)中也可以得到很好的應用。

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（責任編輯：廖友媛）

Melnikov Chaos and Its Control in a Varactor Diode Circuit System

GU Fei1，F(xiàn)ANG Jianshu1,2
（1. School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2. Institute of Physics，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

The nonlinear equation of the electric power system can be deduced from an analysis of the experimental results of a research conducted on a certain varactor diode circuit system. The perturbation solution of the equations can be worked out by using the direct perturbation method. According to Melnikov chaos criteria, the perturbation solution thus obtained proves to be a chaotic solution, which shows the chaotic characteristics of the nonlinear circuit system. Theoretical analysis results show that an effective control over the chaotic behaviors in the system can be realized by adjusting the system parameters or initial boundary conditions. The corresponding numerical simulation results show that the proposed method is effective and feasible, thus verifying the results of the theoretical analysis.

varactor diode circuit；chaos phenomena；Melnikov criteria；control

O415.5

A

1673-9833(2016)05-0081-06

10.3969/j.issn.1673-9833.2016.05.016

2016-08-24

谷 飛（1993-），男，安徽馬鞍山人，湖南工業(yè)大學碩士生，主要研究方向為復雜電路網(wǎng)絡系統(tǒng)及其控制，E-mail：964031019@qq.com

方見樹（1956-），男，湖南益陽人，湖南工業(yè)大學教授，主要從事凝聚態(tài)物理中的非線性問題，非線性動力學與混沌等方面的研究，E-mail：fjs289@163.com