荀敬川,賀拴海,高俊亮

(1.長安大學 橋梁與隧道陜西省重點實驗室, 陜西 西安 710064；2.北京新智交科科技開發(fā)有限公司, 北京 100010)

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基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的隨機子空間優(yōu)化算法及應用

荀敬川1,賀拴海1,高俊亮2

(1.長安大學 橋梁與隧道陜西省重點實驗室, 陜西 西安 710064；2.北京新智交科科技開發(fā)有限公司, 北京 100010)

為了提高隨機子空間法的識別速度，采用MAC準則優(yōu)選數(shù)據(jù)精簡Hankel矩陣的“過去”輸出數(shù)據(jù)和通過簡化模態(tài)參數(shù)識別步驟的方法，推導了隨機子空間優(yōu)化算法，并借助Matlab平臺編寫程序以達到快速化識別的目的。其一精簡Hankel矩陣“過去”輸出數(shù)據(jù)的同時有效地避免了模態(tài)遺漏； 其二詳盡分析了Hankel矩陣QR分解得到的子矩陣R21，將可觀測矩陣與矩陣R21的奇異值分解建立直接關系，避免求解投影矩陣。研究結果表明：使用部分數(shù)據(jù)作為“過去”輸出數(shù)據(jù)，減少了計算量；避開求解投影矩陣，簡化了計算步驟； 避免高維矩陣的存儲和分解，很大程度上改善了計算機的使用內(nèi)存；識別速度增幅明顯，精度與其他文獻相吻合。最后以西寧北川河橋為工程算例，驗證了該優(yōu)化算法的實用性和有效性，得到比較理想的結果。

橋梁工程；優(yōu)化算法；數(shù)值分解；隨機子空間；矩陣；模態(tài)參數(shù)

0 引言

模態(tài)分析技術可分為3大類[1]：其一是基于計算機仿真的有限元分析法(Finite Element Analysis, FEA)；其二為基于輸入(激勵)/輸出(響應)模態(tài)試驗模態(tài)分析法(Experimental Modal Analysis, EMA)；其三是基于僅有輸出(響應)模態(tài)試驗的運行模態(tài)分析法(Operational Modal Analysis, OMA)。第一類屬于結構動力學正問題，第二類與第三類屬于結構動力學反問題?；趦H有輸出(響應)的模態(tài)參數(shù)識別技術(OMA)，因其無需增加特殊的激勵設備，基本不影響結構的正常運行，對結構損傷小，測試費用低等優(yōu)點，被廣泛應用于土木工程領域[2]。

模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比、振型)識別是結構動力學特性分析、結構健康監(jiān)測、損傷識別等方面的關鍵內(nèi)容，特別是對于服役期橋梁健康監(jiān)測，能否利用在線監(jiān)測數(shù)據(jù)實時識別模態(tài)參數(shù)，對識別方法及算法提出來更高的挑戰(zhàn)。隨機子空間識別法(Stochastic Subspace Identification，SSI)以其輸入?yún)?shù)少，可程序化程度高等優(yōu)點受到國內(nèi)外學者的熱捧。SSI假定輸入信號為隨機白噪聲，利用自然環(huán)境激勵條件下進行結構模態(tài)參數(shù)識別，基于離散時間狀態(tài)空間方程，直接處理時間序列的時域方法。比利時魯汶大學的Bart Peeter等人提出基于數(shù)據(jù)的子空間識別的概念及思想，并把系統(tǒng)控制理論與矩陣理論聯(lián)系起來，利用穩(wěn)定圖確定系統(tǒng)的階次[3-4]；福州大學任偉新教授團隊提出基于穩(wěn)定圖的平均正則化穩(wěn)定圖算法，使得模態(tài)參數(shù)識別效率和識別精度得到提高，提煉出經(jīng)驗模式分解(EMD)的SSI，并應用于橋梁和建筑物等工程實例[5-6]；同濟大學的孫利民、張啟偉、常軍等人提出兩階段穩(wěn)定圖方法剔除虛假模態(tài)，消除模態(tài)遺漏現(xiàn)象，對Hankel矩陣中的“過去”輸出數(shù)據(jù)縮減，以提高計算效率[7-8]；重慶大學的章國穩(wěn)、湯寶平課題組利用譜系聚類法實現(xiàn)模態(tài)參數(shù)的自動識別，依據(jù)模態(tài)能量水平剔除虛假模態(tài)，提出基于數(shù)據(jù)縮減的分頻段小波變換模態(tài)參數(shù)快速自動識別[9]；劉興漢、王躍宇等人提出基于Cholesky分解的改進隨機子空間識別法，通過對維數(shù)大大減少的Cholesky分解來得到投影矩陣，提高計算效率[10]；此外，香港理工大學、東南大學、清華大學、西北工業(yè)大學等多所科研院校對SSI進行了深入的研究和探討。

經(jīng)過40余年的發(fā)展，國內(nèi)外研究學者在SSI方法上取得很大成就，但是仍面臨許多問題，特別是SSI方法的計算效率有待提高。基于數(shù)據(jù)驅(qū)動SSI方法，需要構造單無限大的Hankel矩陣，需要處理的數(shù)據(jù)非常龐大，并且涉及到高維QR分解和SVD分解，需要的時間和內(nèi)存開銷很大程度上影響了其在實際工程中的應用。針對以上問題，本文對基于數(shù)據(jù)驅(qū)動SSI方法進行優(yōu)化，首先，以部分測點信息作為“過去”輸出信號代替全部測點信號，精簡Hankel矩陣中的“過去”輸出數(shù)據(jù)Yp，減少計算量，針對文獻[7]可能出現(xiàn)模態(tài)遺漏的問題，本研究通過基于模態(tài)置信度(Modal Assurance Criterion，MAC)的數(shù)據(jù)優(yōu)化，有效避免模態(tài)遺漏。其次，通過公式推導，避開求解投影矩陣簡化計算步驟，避免高維矩陣的分解和存儲，改善計算機使用內(nèi)存，提高計算效率。最后，以西寧北川河橋為工程實例，驗證該優(yōu)化算法的實用性和有效性。

1 結構振動的狀態(tài)空間模型的計算法

結構振動微分方程為:

(1)

式中，M∈Rn×n，C∈Rn×n，K∈Rn×n分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣;u(t)∈Rn為位移向量;F(t)∈Rn×l外部激勵向量。

令

(2)

則式(1)可轉(zhuǎn)化為：

(3)

引入觀測方程：

(4)

式中，y(t)∈Rl×1為觀測向量(l表示測點數(shù))；Ac∈R2n×2n為連續(xù)狀態(tài)矩陣；Bc∈R2n×2n為連續(xù)時間輸入矩陣；Cc∈Rl×2n為連續(xù)時間輸出矩陣；Dc∈Rl×m為直饋矩陣。

自然環(huán)境激勵通常為風、車輛或行人等，假定是理想的白噪聲激勵，并與輸入噪聲和輸出噪聲合并，將式(3)與式(4)離散化可得離散時間狀態(tài)空間模型：

(5)

(6)

式中，yk∈Rl×1為第k(k∈N)個采樣間隔(Δt)的輸出向量；xk∈R2n×1為狀態(tài)向量；A∈R2n×2n為離散狀態(tài)矩陣；C∈Rl×2n為離散輸出矩陣；E為數(shù)學期望算子，δpq為Kronecker Delta函數(shù)；wk∈Rl×1，vk∈R2n×1為測量噪聲、過程噪聲；Q∈R2n×2n，S∈R2n×l和R∈Rl×l為噪聲序列wk，vk的協(xié)方差矩陣。

2 隨機子空間優(yōu)化算法

SSI可分為：基于協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間識別法(Cov-SSI)與基于數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間識別法(Data-SSI)，其基本原理都是以線性系統(tǒng)的最小實現(xiàn)理論為基礎，利用Hankel矩陣與系統(tǒng)可觀測性、可控制性矩陣的特殊關系求得系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C，在狀態(tài)空間辨識系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。SSI利用矩陣分析QR分解使得數(shù)據(jù)縮減，采用奇異值分解(SVD)剔除噪聲干擾，運用最小二乘法來識別系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣，最后通過特征值分解直接確定結構模態(tài)參數(shù)：自振頻率、阻尼比和振型。

2.1 構造Hankel矩陣

構造Hankel矩陣時，數(shù)據(jù)量很大(單無限)，雖然現(xiàn)在計算機硬件得到很好的改善，但Hankel矩陣的QR分解會消耗計算機很大內(nèi)存，計算耗時長。

2.1.1 基于MAC準則的數(shù)據(jù)優(yōu)化

根據(jù)結構響應的特點，各個測點的輸出信號都包含相同的頻率信號—固有頻率，由投影原理可知，所有的輸出信號都可以單獨或者部分組合作為被投影信號，即精簡“過去”輸出數(shù)據(jù)Yp，但是犧牲參與信息以減少計算量伴隨有模態(tài)遺漏等問題。為避免各向量之間的交角偏小讓系統(tǒng)遺漏關鍵模態(tài)的情況發(fā)生，MAC算法可以在選擇測點數(shù)據(jù)時，使量測的模態(tài)向量保持較大的空間交角，增大模態(tài)向量的識別效果，盡可能地保留原模型的特性，模態(tài)置信度MAC矩陣(簡稱M陣)表達式如下：

(7)

式中,Φi和Φj分別為第i階和第j階模態(tài)向量。通過檢查各模態(tài)在量測自由度上形成的向量M陣的非對角元，即可判斷出相應兩模態(tài)向量的交角情況。當M陣的某一元素Mij(i≠j)等于1時表明第i向量與第j向量交角為零，兩向量不可分辨；而當Mij(i≠j)等于零時，則表明第i向量與第j向量相互正交，兩向量可以輕易識別。故選擇數(shù)據(jù)的測點布置應力求使M陣非對角元向最小化發(fā)展，一般建議非對角元最大取值為0.25[11]。

當從全部測點數(shù)據(jù)中刪除k行，式(17)變?yōu)椋?/p>

(8)

從已有測點數(shù)據(jù)里刪除某點數(shù)據(jù)是一個反復迭代，不斷尋優(yōu)的過程，其根本目的是刪除使M陣非對角元最大的測點數(shù)據(jù)。

2.1.2 構造數(shù)據(jù)精簡的Hankel矩陣

從l個測量數(shù)據(jù)中選擇r個作為“過去”輸出數(shù)據(jù)，即：

(9)

(10)

構造Hankel矩陣：

(11)

式中，“過去”輸出數(shù)據(jù)Yp∈Rri×j；“將來”輸出數(shù)據(jù)Yf∈Rli×j。

2.2 Hankel矩陣QR分解

SSI通過QR分解對Hankel矩陣進行數(shù)據(jù)縮減：

(12)

式中，Q為正交矩陣：QTQ=QQT=I；R為下三角矩陣。

Yf向Yp的投影矩陣[7]：

(13)

定義可觀測矩陣：

(14)

則投影矩陣Oi可表示為：

(15)

2.3 求解觀測矩陣Γi

Data-SSI傳統(tǒng)的計算方法，投影矩陣Oi貫穿整個計算過程，但是投影矩陣的列數(shù)與Hankel矩陣列數(shù)相同，依然是單無限，并且求解過程很復雜，如果能避開求解投影矩陣，不僅減少計算步驟，還能改善計算機內(nèi)存，從而提高計算效率。

可觀測矩陣Γi與投影矩陣Oi相關聯(lián)，投影矩陣Oi又可用矩陣R21表示，如果能找到可觀測矩陣Γi與矩陣R21的關系式，就可以避免求解投影矩陣，推導如下：

對矩陣R21進行奇異值(SVD)分解：

(16)

式中，U，V屬于酉矩陣；S=diag(σ1,σ2,…,σn)，σi為從大到小的全部非零奇異值。

則式(13)可表示為：

(17)

則可觀測矩陣可表示為[7]：

(18)

至此，可觀測矩陣Γi與矩陣R21的SVD分解建立關系，優(yōu)化算法避免了求解投影矩陣Oi，Hankel矩陣QR分解時只存儲下三角矩陣R，利用子矩陣R21的SVD分解求得可觀測矩陣Γi。計算過程中避開了大矩陣的存儲和分解(R21要比Oi小很多)，并且不用存儲正交矩陣Q，改善了計算機的使用內(nèi)存，提高了計算效率。

2.4 求解系統(tǒng)矩陣A和C

定義觀測矩陣Γi的兩個子陣Γ1和Γ2：

(19)

系統(tǒng)矩陣A：

(20)

式中，(?)+表示矩陣的偽逆。

通過觀測矩陣Γi求得系統(tǒng)矩陣A與C，實際工程應用中，在確定系統(tǒng)階次時結合穩(wěn)定圖的方法計算不同的A，C從而識別系統(tǒng)參數(shù)。

圖1 SSI優(yōu)化算法流程圖Fig.1 Flowchart of optimization algorithm by SSI

3 工程算例

本文采用與文獻[7,13-14]相同的工程實例，中承式鋼管混凝土系桿拱橋—西寧北川河橋為工程實例，便于比較計算方法的有效性。

3.1 工程概況

西寧北川河橋，凈跨90 m，矢跨比1/5，拱軸線為懸鏈線，拱軸系數(shù)m=1.167；橋面凈寬21.6 m，共16對吊桿；主拱圈采用4根φ650 mm×10 mm 鋼管，內(nèi)灌注C50混凝土，橫梁采用C40鋼筋混凝土，吊桿采用127×φ5高強碳素鋼絲，水平系桿選用φ5高強鋼絲束。

環(huán)境激勵是利用自然風載、隨機交通荷載或其他環(huán)境激勵及其組合等，測量橋梁的動力特性，具有簡單易行、不中斷交通、對橋梁結構的損傷小、測試費用低等優(yōu)點，應用越來越廣泛。全橋上下游每側布置豎向測點16個，共32個，位于每根吊桿下側，一個固定參考點，位于橋面起始處，傳感器橫向布置如圖2所示。全橋共分4組進行測試，每組8個測點，信號采樣頻率80 Hz。以20 Hz重采樣、組成36行18 176列的原始數(shù)據(jù)。

圖2 加速度傳感器布置圖Fig.2 Arrangement of acceleration transducers

3.2 數(shù)據(jù)優(yōu)選

首先確定豎向彎曲振動特征作為有效振型，提取對橋梁的豎向振動有貢獻的前4階振型數(shù)據(jù)來考慮作為數(shù)據(jù)優(yōu)選的原始數(shù)據(jù)，并將這4階振型組成模態(tài)向量矩陣(模態(tài)向量選用文獻[14]方法識別結果)。然后以全部測點為初始狀態(tài)進行篩選，利用MAC法，依次刪除使得MAC陣非對角元減少最小的測點數(shù)據(jù)，剩余測點數(shù)據(jù)為候選，反復迭代，逐步刪除更多測點數(shù)據(jù)，直到滿足預設值要求(即MAC陣非對角元小于0.05)，并依次記錄刪除測點信息。最后，按照測點刪除順序反向排列測點數(shù)據(jù)，即最先刪除測點排列到最后，保留測點排列前幾行。最終優(yōu)化測點布置方案如圖3所示。

圖3 優(yōu)選測點方案Fig.3 Scheme of measuring point optimization

3.3 檢驗與對比分析

基于Matlab平臺，使用C語言編寫程序，識別橋梁結構的頻率，以相同的標準：最小階次取10，最大階次取50；穩(wěn)定點個數(shù)取15；判定標準：頻率0.01、阻尼0.4、振型0.05。圖4中連續(xù)曲線為平均正則化功率譜，峰值法提取的頻率與SSI識別頻率形成直觀對比。

當r=4，i=50，無數(shù)據(jù)優(yōu)選，即取前4個測點數(shù)據(jù)作為“過去”輸出數(shù)據(jù)：Yp∈R200×18 176,Yf∈R800×18 176，形成的穩(wěn)定圖見圖4(a)。

當r=8，i=50時：Yp∈R400×18 176,Yf∈R800×18 176，本文優(yōu)化算法形成的穩(wěn)定圖見圖4(b)。

文獻[14]選用橋梁一側全部的16個測點數(shù)據(jù)，無數(shù)據(jù)優(yōu)選，i=50時：Yp∈R800×18 176,Yf∈R800×18 176，形成的穩(wěn)定圖見圖4(c)。

圖4 不同算法的穩(wěn)定圖對比Fig.4 Comparison of stability diagrams obtained by different algorithms

觀察圖4(a)第4階頻率(4.589)完全穩(wěn)定次數(shù)只有9次，無法提取，形成遺漏。對比圖4(a)與(b)，前4階頻率完全穩(wěn)定次數(shù)都有所增加，特別是第4階頻率全部完全穩(wěn)定，將成為優(yōu)勢頻率。觀察圖4(c)可知，文獻[14]算法的第4階頻率(4.589)完全穩(wěn)定次數(shù)12次，第一階頻率(2.014)完全穩(wěn)定次數(shù)14次，如果要提取前4階頻率，穩(wěn)定點個數(shù)標準應降低到12次。觀察圖4(b)，本文優(yōu)化算法前4階頻率完全穩(wěn)定次數(shù)依次是：17，22，22，22，3個穩(wěn)定圖中都是最多。通過以上分析，r取值受到振型穩(wěn)定的影響，不宜太低并且與選擇的位置相關，本文優(yōu)化算法通過數(shù)據(jù)優(yōu)選有效地解決了此問題，避免了模態(tài)遺漏；在識別高階次模態(tài)時，為避免形成更多的虛假模態(tài)，完全穩(wěn)定次數(shù)的提高為判定標準提供更廣的選擇空間。

各文獻及本文優(yōu)化算法識別的頻率如表1所示，對比各組數(shù)據(jù)，本文優(yōu)化算法結構與其他方法差別不大，誤差范圍在5%以內(nèi)。優(yōu)化算法識別結果比較理想。優(yōu)化算法的前4階豎向振型如圖5所示。

表1 頻率對比表

注：1.誤差=(有限元值-實測值)/ 實測值；2.有限元法和峰值法數(shù)據(jù)來自文獻[13]。

圖5 前4階豎向振型圖Fig.5 First 4 orders vertical model shapes

耗時方面，以下所有耗時均采用同一計算機：windous XP系統(tǒng)、3G內(nèi)存。

如果Hankel矩陣j取5 000列，i取50塊行，文獻[14]算法需要14.641 s，本文優(yōu)化算法僅需3.045 s，識別時間僅為前者的20.8%。如果Hankel矩陣的列取5 000固定不變，二者耗時對比如圖6所示，隨著塊行數(shù)的增加，本文優(yōu)化算法優(yōu)勢越來越明顯，當塊行數(shù)i大于120時，文獻[14]的算法由于內(nèi)存超界(out of memory)而無法計算。如果Hankel矩陣i取50不變，文獻[14]算法的識別時間約是本文算法的5倍，如圖7所示，并且當列數(shù)j大于12 500時，前者算法因內(nèi)存超界而無法計算。觀察圖6、圖7，塊行i增加對識別時間的影響遠遠大于列j，識別時間隨i呈指數(shù)增長，隨j呈線性趨勢增長；Hankel矩陣的行數(shù)為2li或者(r+l)i行，Hankel矩陣的大小對i的變化更敏感所致。

圖7 i=50不變，時間隨j的變化Fig.7 i=50, time varying with j

4 結論

本文推導了SSI優(yōu)化算法，并通過工程算例分析及對比驗證了其實用性和有效性。在穩(wěn)定圖中包含了平均正則化功率譜，相互校核，確保識別結果的可靠性，本文優(yōu)化算法具有如下優(yōu)點：

(1)通過MAC準則優(yōu)化選取數(shù)據(jù)，縮減了Hankel矩陣的“過去”輸出數(shù)據(jù)Yp，有效避免了由于數(shù)據(jù)減少帶來模態(tài)遺漏；

(2)避開求解投影矩陣Oi，利用Hankel矩陣R21求得可觀測矩陣Γi；

(3)計算過程中避開了高維矩陣的存儲、QR分解和SVD分解，減少了計算量，并且不用存儲正交矩陣Q，很大程度上改善了計算機的使用內(nèi)存。

通過圖6和圖7可以明顯看出，本文優(yōu)化算法耗時更短，在相同計算機配置下，該算法處理的數(shù)據(jù)能力更強大，特別是對于梁拱組合橋、斜拉橋、懸索橋等需要處理海量數(shù)據(jù)的柔性結構，該算法更具優(yōu)勢。同時，由于識別速度快、方法穩(wěn)定、精度高等優(yōu)點，成為橋梁的健康監(jiān)測、橋梁在線損傷識別和評估等領域更有力的工具。

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An Algorithm for Stochastic Subspace Optimization Based on Data-driven and Application

XUN Jing-chuan1, HE Shuan-hai1，GAO Jun-liang2

(1. Key Laboratory for Bridge and Tunnel of Shaanxi Province, Chang’an University , Xi’an Shaanxi 710064, China；2. Beijing New Intelligent Transport Science and Technology Development Co., Ltd., Beijing 101100, China)

In order to improve the identification speed of stochastic subspace method, through reducing the “past” output data of the Hankel matrix with the MAC criterion optimized data and the method of simplifying the modal parameter identification step, the optimization algorithm in stochastic subspace is derived. It achieves the purpose of rapid identification by programming based on the Matlab platform. First, the “past” output data of the Hankel matrix is reduced and the mode omission is avoided effectively. Second,R21which is a sub matrix of Hankel matrix QR decomposition is analyzed in detail. The direct relationship between the observable matrix and the singular value decomposition of matrixR21is established, avoiding to solve the projection matrix. The result shows that (1) using partial data as a “past” output reduced the amount of calculation; (2) avoid solving the projection matrix simplified calculation procedure; (3) avoid storage and decomposition of the high dimension matrix greatly improved the memory of computer; (4) The recognition speed increased obviously, and the precision is consistent with other documents. In the end, the practicability and effectiveness of the optimization algorithm is verified by an engineering example of Beichuan bridge in Xining.

bridge engineering；optimization algorithm；numerical decomposition；stochastic subspace；matrix；modal parameter

2016-05-16

國家自然科學基金項目(50908017);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金項目(201493212002);廣東省交通運輸廳科技項目(科技-2014-02-022)

荀敬川(1979-),男,河北曲陽人,博士,高級工程師.(762001366@qq.com)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.12.015

U441.3

A

1002-0268(2016)12-0093-08