牛曉潔,李邦杰,舒健生,潘樂飛,楊奇松

(火箭軍工程大學(xué) 初級(jí)指揮學(xué)院,西安 710025)

?

基于導(dǎo)航點(diǎn)改進(jìn)Gauss偽譜法規(guī)劃滑翔導(dǎo)彈航跡

牛曉潔,李邦杰,舒健生,潘樂飛,楊奇松

(火箭軍工程大學(xué) 初級(jí)指揮學(xué)院,西安 710025)

為了研究滑翔導(dǎo)彈的航跡規(guī)劃問題,利用優(yōu)化理論,規(guī)劃了多約束條件下導(dǎo)航點(diǎn)之間的航跡。基于導(dǎo)航點(diǎn)位置改進(jìn)Gauss偽譜法(Gauss pseudospectral method,GPM),利用改進(jìn)GPM離散控制變量和狀態(tài)變量,將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題,利用改進(jìn)序列二次規(guī)劃算法求解。GPM求解分段航跡規(guī)劃問題,需要迭代獲取下段航跡的飛行時(shí)間,降低了算法效率。改進(jìn)GPM能夠有效彌補(bǔ)單純以時(shí)間為自變量帶來(lái)的諸多規(guī)劃中的不足,具有更為寬泛的優(yōu)化目標(biāo)適應(yīng)能力。算例結(jié)果表明,改進(jìn)后的算法能夠準(zhǔn)確、高效地規(guī)劃一條合理的航跡,滿足飛行約束條件。

滑翔導(dǎo)彈;航跡規(guī)劃;改進(jìn)高斯偽譜法

助推-滑翔導(dǎo)彈是高科技戰(zhàn)爭(zhēng)中常實(shí)施的殺手锏之一,其航跡規(guī)劃問題作為關(guān)鍵技術(shù)之一值得研究[1]。早期的研究采用解析法求解軌跡優(yōu)化問題,但由于在處理復(fù)雜的非線性系統(tǒng)時(shí)力不從心,學(xué)者們開始把研究焦點(diǎn)轉(zhuǎn)向數(shù)值方法,一般分為間接法和直接法[2]。近些年,直接法中的偽譜法由于其高精度、高效率,在軌跡優(yōu)化方面得到了廣泛的應(yīng)用[3]。高斯偽譜法[4]是2005年由麻省理工的Benson給出的一種新的求解最優(yōu)控制問題的直接方法,并從理論上證明了高斯偽譜法與最優(yōu)控制理論中的一階必要條件是一致的。GPM是將狀態(tài)變量和控制變量在一系列Gauss點(diǎn)上進(jìn)行離散,最終可將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為受一系列代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問題,即非線性規(guī)劃問題[5]。

許多文章都對(duì)GPM進(jìn)行了研究,主要分為3大類:一是給定相應(yīng)的指標(biāo)泛函設(shè)計(jì)航跡,如文獻(xiàn)[6]以最大橫程為優(yōu)化指標(biāo),利用高斯偽譜法求解了升力式飛行器的再入軌跡,文獻(xiàn)[7]基于高斯偽譜法以飛行時(shí)間為優(yōu)化指標(biāo)對(duì)滑翔彈道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì);二是建立模型解決軌跡優(yōu)化問題,如文獻(xiàn)[8]基于高斯偽譜法研究了助推-滑翔飛行器多階段軌跡優(yōu)化問題,文獻(xiàn)[9]針對(duì)瞄準(zhǔn)對(duì)抗問題建立了多階最優(yōu)控制模型,基于GPM對(duì)飛機(jī)瞄準(zhǔn)目標(biāo)問題進(jìn)行了研究;三是利用GPM對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì),如文獻(xiàn)[10]利用Gauss偽譜法對(duì)滑翔段到巡航段的過渡段控制率進(jìn)行了設(shè)計(jì)。

GPM對(duì)時(shí)間變量進(jìn)行歸一化處理,求解分段航跡規(guī)劃問題時(shí),需要迭代獲取下段航跡的飛行時(shí)間,增加了計(jì)算量,降低了算法效率。提出了一種利用導(dǎo)航點(diǎn)位置改進(jìn)GPM的新思路,以經(jīng)度或者緯度為自變量進(jìn)行歸一化處理。由于導(dǎo)航點(diǎn)位置可以提前確定,在求解分段航跡規(guī)劃問題時(shí),避免了因?yàn)榈鷷r(shí)間導(dǎo)致的算法效率降低的問題。本文中以經(jīng)度或者緯度為自變量的GPM方法,可以有效地彌補(bǔ)單純的以時(shí)間為自變量帶來(lái)的諸多規(guī)劃中的不便,具有更為寬泛的優(yōu)化目標(biāo)適應(yīng)能力,以滿足諸如速度控制、能量管理等優(yōu)化目標(biāo)。文中以經(jīng)度為例進(jìn)行算法設(shè)計(jì),并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 滑翔段軌跡優(yōu)化問題

1.1 無(wú)動(dòng)力滑翔運(yùn)動(dòng)模型

考慮地球?yàn)樾D(zhuǎn)圓球時(shí),高超聲速飛行器無(wú)動(dòng)力再入運(yùn)動(dòng)方程為[11]

(1)

式中:ω,r,v,γ,ψ,λ,B,γc,Fx,Fy分別為地球自轉(zhuǎn)角速度、地心距、速度、飛行路徑角、航向角、經(jīng)度、緯度、傾側(cè)角、氣動(dòng)升力和阻力。航跡角是速度向量與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角,向上為正。航向角是速度向量在當(dāng)?shù)厮矫嫱队芭c正北方向的夾角,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。

文中研究導(dǎo)航點(diǎn)之間的航跡規(guī)劃問題均在滑翔段完成,在北天東坐標(biāo)系下確定導(dǎo)航點(diǎn)位置后,滑翔導(dǎo)彈飛行的縱向二維平面也就確定了。為了便于研究,該段航跡規(guī)劃時(shí),假設(shè)忽略射面外的運(yùn)動(dòng),僅以二維即只關(guān)注射面內(nèi)的飛行參數(shù),則規(guī)劃式的動(dòng)力學(xué)模型與動(dòng)力學(xué)模型都如下式所示:

(2)

式中:u,vr,Θ,h分別為切向速度、法向速度、速度傾角和高程。

1.2 約束條件

為保證飛行器在滑翔段飛行的穩(wěn)定性,本文考慮了滑翔過程中的相關(guān)約束條件,包括控制量約束和彈道約束:熱流密度、動(dòng)壓和過載等[12]。

1.2.1 控制約束

考慮導(dǎo)彈滑翔過程的實(shí)際情況,控制量應(yīng)滿足一定約束,即

αmin≤α≤αmax

(3)

設(shè)定攻角的變化范圍為10°～20°,變化率不超過5(°)/s,基于三自由度模型,假定控制系統(tǒng)能夠保證導(dǎo)彈在豎直平面內(nèi)滑翔飛行,文中取導(dǎo)航點(diǎn)之間導(dǎo)彈飛行的縱向二維平面與東天面的夾角為定值。

1.2.2 熱流約束

(4)

1.2.3 動(dòng)壓約束

q=ρv2/2≤qmax

(5)

式中:ρ為大氣密度,文中取飛行器可承受的最大動(dòng)壓qmax=60kPa。

1.2.4 過載約束

(6)

式中:CD,CL,S分別為氣動(dòng)阻力系數(shù)、升力系數(shù)和氣動(dòng)參考面積。左邊表達(dá)式為法向氣動(dòng)過載,右邊為飛行器可以承受的最大過載,文中取nmax=4。

2 改進(jìn)思路及模型

2.1 改進(jìn)思路

GPM改進(jìn)背景及思路:在滑翔導(dǎo)彈滑翔過程中,處于某一位置時(shí)相對(duì)于開始時(shí)刻的時(shí)間不能很好、快速地獲取,但所處位置的經(jīng)緯度能夠通過計(jì)算得出,若是能對(duì)經(jīng)緯度進(jìn)行歸一化處理,將原有GPM中速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)的約束條件轉(zhuǎn)化為速度對(duì)經(jīng)緯度求導(dǎo)的約束條件,將會(huì)簡(jiǎn)化問題的復(fù)雜程度,提高計(jì)算效率。

2.2 經(jīng)緯度歸一化模型

已知兩導(dǎo)航點(diǎn)經(jīng)、緯度坐標(biāo),可以求得相對(duì)于北天東坐標(biāo)系下兩導(dǎo)航點(diǎn)間的弧線段與Oxz平面之間的夾角σ,以及弧線段在經(jīng)、緯度方向的跨度大小。根據(jù)跨度大小決定以緯度B或經(jīng)度λ為基準(zhǔn)進(jìn)行歸算處理,即若經(jīng)度λ方向跨度大就將經(jīng)度λ歸算到τ。

(7)

2.2.1 經(jīng)度歸一化

改進(jìn)GPM將2個(gè)導(dǎo)航點(diǎn)之間對(duì)應(yīng)的經(jīng)度λ標(biāo)準(zhǔn)化為區(qū)間τ∈[-1,1]之間的量,因此對(duì)經(jīng)度作如下變換:

(8)

可以看出經(jīng)度λ與τ呈現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,并且單調(diào)遞增。

對(duì)應(yīng)的高程變量有:

(9)

其他狀態(tài)變量同理可得。

2.2.2 高斯偽譜法配點(diǎn)選擇

綜合考慮航跡規(guī)劃問題,程序中采用K階Legendre多項(xiàng)式的根以及τ0=-1作為離散節(jié)點(diǎn),Legendre多項(xiàng)式為

(10)

2.2.3 狀態(tài)變量和控制變量選擇

在航跡規(guī)劃時(shí),選擇攻角作為控制量。由于K階Legendre多項(xiàng)式共有K+1個(gè)根,則作為控制量的攻角可表示為

α=(α1α2…αK+1)

(11)

狀態(tài)量在對(duì)應(yīng)時(shí)域下的值為

(12)

2.2.4 拉格朗日插值函數(shù)

狀態(tài)變量為

(13)

2.2.5 構(gòu)造等式約束

將式(7)與經(jīng)狀態(tài)變量表達(dá)式求導(dǎo)后的函數(shù)式聯(lián)立,可得等式約束式為

(14)

2.2.6 目標(biāo)函數(shù)

為了提高航跡規(guī)劃的效率,文中選擇最短滑翔時(shí)間作為性能指標(biāo)泛函:

(15)

3 求解優(yōu)化問題的算法流程

3.1 航跡規(guī)劃問題流程分析

首先利用改進(jìn)GPM離散最優(yōu)控制問題,利用二次規(guī)劃算法,求解近似原問題的二次規(guī)劃子問題來(lái)近似求解原問題。將典型二次規(guī)劃問題進(jìn)行簡(jiǎn)化分析,轉(zhuǎn)化為只含等式約束的最優(yōu)控制問題,利用起作用約束集法調(diào)用拉格朗日算法,迭代更新起作用集和可行解,最終求得航跡規(guī)劃問題的最優(yōu)解。具體流程圖如圖1所示。

3.2 C++環(huán)境下程序構(gòu)架

在C++環(huán)境下編寫程序?qū)崿F(xiàn)改進(jìn)GPM離散最優(yōu)控制問題,使用起作用集法求解二次規(guī)劃子問題。

①構(gòu)造等式約束。

程序中以K階Legendre多項(xiàng)式的根為配點(diǎn)以及τ0=-1作為插值節(jié)點(diǎn),利用拉格朗日插值函數(shù)求微分來(lái)近似式(7)運(yùn)動(dòng)模型中的左函數(shù),之后與函數(shù)聯(lián)立,構(gòu)造等式約束式。相對(duì)于狀態(tài)變量而言,每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)3個(gè)等式約束,K+1個(gè)節(jié)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)3(K+1)個(gè)等式約束式。相對(duì)于控制變量而言,每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)等式約束,所以二次規(guī)劃問題總共對(duì)應(yīng)3(K+1)+K+1個(gè)等式約束。

利用高斯積分簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù),求解等式約束式以及目標(biāo)函數(shù)的梯度。

②求取函數(shù)初值。

以往SQP法解二次規(guī)劃子問題時(shí),首先需要求解線性規(guī)劃式,判斷給定的初始解是否可行,之后進(jìn)行下一步的計(jì)算。這種方法對(duì)初值較為敏感,計(jì)算較為復(fù)雜。

文中在C環(huán)境下編寫程序時(shí),只是給出了正定矩陣,利用拉格朗日函數(shù)求解下降方向向量,同時(shí)以此作為二次規(guī)劃子問題的初始可行解。與經(jīng)典序列二次規(guī)劃算法相比,簡(jiǎn)化了算法流程,通過仿真驗(yàn)證了算法的高效性和合理性。

③二次規(guī)劃尋優(yōu)。

首先根據(jù)等式約束,確定初始起作用集和非起作用集。使用拉格朗日法求解只含有起作用集約束的線性規(guī)劃問題,根據(jù)相關(guān)判定條件迭代更新起作用集和問題可行解,最終求出二次規(guī)劃子問題的最優(yōu)解,也即是原先二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

4 算例分析

以遠(yuǎn)程高超聲速滑翔式再入飛行器為仿真對(duì)象,氣動(dòng)參數(shù)采用美國(guó)波音公司98年設(shè)計(jì)的CAV-H相關(guān)參數(shù)擬合得到[15],其最大升阻比為3.5;氣動(dòng)參考面積為0.484m2;質(zhì)量為907.2kg;最大飛行攻角和最大升阻比攻角分別為20°和10°;起始導(dǎo)航點(diǎn)經(jīng)度、緯度、高程分別為29°,72°和60.37km;目標(biāo)導(dǎo)航點(diǎn)經(jīng)緯度坐標(biāo)、高程分別為87°,74°和48.8km;滑翔開始時(shí)刻的速度為6 606m/s,最大飛行高度為70km,約束條件如1.2節(jié)所示。

取5階LG點(diǎn)以及τ0=-1作為插值節(jié)點(diǎn),優(yōu)化計(jì)算在CPU為3.4GHz/Corei3,操作系統(tǒng)為WindowsXP系統(tǒng)的微機(jī)上實(shí)現(xiàn),VisualStudio2010環(huán)境下編寫程序,以時(shí)域變換為基礎(chǔ)的Gauss偽譜法求解上述算例需要0.078s,使用文中改進(jìn)后的算法規(guī)劃航跡的時(shí)間為0.016s。兩者對(duì)比可知,后者在滿足飛行約束條件的基礎(chǔ)上大大縮短了航跡規(guī)劃所需的時(shí)間。

優(yōu)化計(jì)算結(jié)果見圖2。圖2(a)中攻角變化曲線表明,滑翔導(dǎo)彈長(zhǎng)時(shí)間保持最大升阻比攻角飛行,在起始導(dǎo)航點(diǎn)和目標(biāo)導(dǎo)航點(diǎn)位置確定的情況下保證了最短飛行時(shí)間這一優(yōu)化指標(biāo);圖2(b)中速度傾角始終為負(fù)值,說(shuō)明滑翔導(dǎo)彈始終朝向目標(biāo)點(diǎn)飛行,保證了最短飛行時(shí)間的優(yōu)化指標(biāo);圖2(c)、圖2(d)中速度、飛行高度都能夠滿足終端約束條件限制;圖2(e)、圖2(f)、圖2(g)中過載、動(dòng)壓和熱流密度的變化均在給定的變化范圍內(nèi),滿足飛行過程中的約束條件。仿真結(jié)果表明,在滿足相同約束條件的前提下,與以往相比,利用改進(jìn)后的GPM能夠準(zhǔn)確、高效地規(guī)劃出一條合理的航跡。

圖2 航跡規(guī)劃結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

文中基于導(dǎo)航點(diǎn)位置改進(jìn)GPM,利用改進(jìn)后的算法對(duì)滑翔導(dǎo)彈導(dǎo)航點(diǎn)之間的航跡進(jìn)行了優(yōu)化求解,并選取最短飛行時(shí)間作為優(yōu)化指標(biāo),在滿足各種飛行約束的條件下,將攻角作為控制變量進(jìn)行優(yōu)化,得到了滑翔段導(dǎo)航點(diǎn)之間的最優(yōu)航跡。從本文的研究中可以看出,文中改進(jìn)后的算法與以往GPM相比,跳出了飛行時(shí)間的限制,在已知導(dǎo)航點(diǎn)位置后,滑翔導(dǎo)彈的縱向飛行平面也就隨之確定,簡(jiǎn)化了運(yùn)動(dòng)模型,減少了計(jì)算量,縮短了求解航跡規(guī)劃問題所用的時(shí)間。文中的研究成果可為滑翔導(dǎo)彈在線航跡規(guī)劃提供一定的技術(shù)支撐,但文中改進(jìn)算法是在地球?yàn)樾D(zhuǎn)圓球的基礎(chǔ)上提出的,與實(shí)際不太相符,下一步將以地球橢球?yàn)楸尘霸O(shè)計(jì)研究相應(yīng)的改進(jìn)算法。

[1] 孟中杰,黃攀峰,閆杰.基于改進(jìn)稀疏A*算法的高超聲速飛行器航跡規(guī)劃技術(shù)[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2010,28(2):182-186. MENG Zhong-jie,HUANG Pan-feng,YAN Jie.Exploring trajectory planning for hypersonic vehicle using improved sparse A* algorithm[J].Journal of Northwestern Polytechnical University,2010,28(2):182-186.(in Chinese)

[2]BETTS J T.Survey numerical methods for trajectory optimiza-tion[J].AIAA Journal of Guidance Control and Dynamics,1998,21(2):193-207.

[3]胡松啟,陳雨.偽譜法在飛行器軌跡優(yōu)化中應(yīng)用分析[J].火箭推進(jìn),2014,40(5):61-68. HU Song-qi,CHEN Yu.Analysis of pseudo-spectral methods applied to aircraft trajectory optimization[J].Journal of Rocket Propulsion,2014,40(5):61-68.(in Chinese)

[4]BENSON D A.A Gauss pseudospectral transcription for optimal control[D].Massachusetts:Massachusetts Institute of Technology,2005.

[5]唐國(guó)金,羅亞中,雍恩米.航天器軌跡優(yōu)化理論、方法及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2011. TANG Guo-jin,LUO Ya-zhong,YONG En-mi.Theory,method and application of spacecraft trajectory optimization[M].Beijing:Science Press,2011.(in Chinese)

[6]周文雅,楊滌,李順利.利用高斯偽譜法求解具有最大橫程的再入軌跡[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010,32(5):1 038-1 042. ZHOU Wen-ya,YANG Di,LI Shun-li.Solution of reentry trajectory with maximum cross range by using Gauss pseudospectral method[J].Systems Engineering and Electronics,2010,32(5):1 038-1 042.(in Chinese)

[7]李鐵鵬,王中原,陳琦,等.基于高斯偽譜法的滑翔彈道優(yōu)化算法研究[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào),2014,34(2):113-116. LI Tie-peng,WANG Zhong-yuan,CHEN Qi,et al.Study of gliding trajectory optimization algorithm based on Gauss pseudospectral method[J].Journal of Projectiles,Rockets,Missiles and Guidance,2014,34(2):113-116.(in Chinese)

[8]GUAN Cheng-qi,CHEN Cong.Multiphase path-constrained trajectory optimization for the boost-glide vehicle via the Gauss pseudospectral method[J].Journal of Astronautics,2010,31(11):2 512-2 518.

[9]程建鋒,董新民,薛建平,等.基于Gauss偽譜法的飛機(jī)最優(yōu)目標(biāo)瞄準(zhǔn)控制[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2013,33(11):3 291-3 295. CHENG Jian-feng,DONG Xin-min,XUE Jian-Ping,et al.Aircraft optimal target aiming control based on Gauss pseudospectral method[J].Journal of Computer Applications,2013,33(11):3 291-3 295.(in Chinese)

[10]汪立新,冷杉,王建華.基于Gauss偽譜法的導(dǎo)彈過渡段控制律設(shè)計(jì)[J].控制工程,2013,20(5):906-909. WANG Li-xin,LENG Shan,WANG Jian-hua.Design of control law of transition zone of missile based on Gauss pseudospectral method[J].Control Engineering of China,2013,20(5):906-909.(in Chinese)

[11]BOLLINO K P,ROSS I M.A pseudospectral feedback method for real-time optimal guidance of reentry vehicles[C]//Proceedings of the American Control Conference.New York:American Control Conference,2007:3 861-3 867.

[12]馮林爽,劉磊,王永驥.基于PSO和SQP混合優(yōu)化算法的高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化[C]//2015 IEEE Chinese Control and Decision Conference.Qingdao:IEEE,2015:4 518-4 522. FENG Lin-shuang,LIU Lei,WANG Yong-ji.Trajectories optimization of hypersonic vehicle based on a hybrid optimization algorithm of PSO and SQP[C]//2015 IEEE Chinese Control and Decision Conference.Qingdao:IEEE,2015:4 518-4 522.(in Chinese)

[13]張科南,周浩,陳萬(wàn)春.高超聲速飛行器多約束多種機(jī)動(dòng)突防模式彈道規(guī)劃[J].彈道學(xué)報(bào),2012,24(3):85-90. ZHANG Ke-nan,ZHOU Hao,CHEN Wan-chun.Trajectory planning for hypersonic vehicle with multiple constraints and multiple maneuvering penetration strategies[J].Journal of Ballistics,2012,24(3):85-90.(in Chinese)

[14]劉建業(yè),曾慶化,趙偉,等.導(dǎo)航系統(tǒng)理論與應(yīng)用[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2010. LIU Jian-ye,ZENG Qing-hua,ZHAO Wei,et al.Navigation system theory and application[M].Xi’an:Northwestern Polytechnic University Press,2010.(in Chinese)

[14]DARBY C L,HAGER W W,RAO A V.An hp-adaptive pseudospectral method for solving optimal control problems[J].Optimal Control Applications and Methods,2011,32(4):476-502.

Trajectory Planning for Gliding Missile Via Improved Gauss Pseudospectral Method Based on Navigation Points

NIU Xiao-jie,LI Bang-jie,SHU Jian-sheng,PAN Le-fei,YANG Qi-song

(Primary Command College,Rocket Force University,Xi’an 710025,China)

In order to study the trajectory planning problem of glide missile,the trajectory of the navigation points under the multi-constraint conditions was planned by using optimization theory.The improved Gauss pseudospectral method(GPM)was based on navigation points.The control variables and state variables were discretized by improved GPM,and the optimal control problem was converted into a nonlinear programming problem,and the problem was solved by using the improved sequential quadratic programming(SQP)method.When the segment path is planned by GPM,the flight time of the next trajectory is obtained via iterative method,and the efficiency of the algorithm is reduced.The improved GPM can effectively compensate the lack of time being taken as the independent variable in many trajectory planning,and it has a wider adaptability to optimize the target.The results show that the improved algorithm can accurately and efficiently plan a reasonable trajectory to meet the flight constraints.

glide missile;trajectory planning;improved Gauss pseudospectral method(GPM)

2016-06-30

牛曉潔(1992- ),男,碩士研究生,研究方向?yàn)轱w行器總體、結(jié)構(gòu)分析與飛行力學(xué)。E-mail:18706766973@163.com。

V412.4

A

1004-499X(2016)04-0036-06