王 娜,陳潔卿,明 超,孫瑞勝

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,南京 210094)

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基于hp自適應(yīng)偽譜法的變后掠翼導(dǎo)彈彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)

王 娜,陳潔卿,明 超,孫瑞勝

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,南京 210094)

為了提高變后掠翼導(dǎo)彈的終端速度,對(duì)其末端彈道優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究?；诮K端速度最大,采用后掠角和攻角雙變量?jī)?yōu)化方案,建立了在動(dòng)壓、過(guò)載及邊界條件等多約束條件下的彈道優(yōu)化模型。鑒于全局偽譜法在解決復(fù)雜多約束條件下最優(yōu)控制問(wèn)題存在的局限性,采用將全局偽譜法與hp型有限元法融合的hp自適應(yīng)偽譜法,將彈道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題,并將仿真結(jié)果與已有的粒子群算法的最優(yōu)彈道對(duì)比,驗(yàn)證了模型和方法的正確性。結(jié)果表明,采用hp自適應(yīng)偽譜法得到的最優(yōu)彈道在保證了較高的命中精度的前提下,能夠以更高的終端速度和更佳的彈體姿態(tài)攻擊目標(biāo)。

變后掠翼導(dǎo)彈;終端速度;hp自適應(yīng)偽譜法;彈道優(yōu)化

變后掠導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中通過(guò)主動(dòng)改變后掠角,實(shí)時(shí)改變彈翼翼面形狀或剖面形狀,使得導(dǎo)彈在不同彈道階段、各個(gè)速度包絡(luò)內(nèi)都具有良好的飛行力學(xué)性能,較固定翼導(dǎo)彈有許多優(yōu)點(diǎn)[1-2],其射程遠(yuǎn)、突防能力強(qiáng)、毀傷效果好,提高了打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的能力[3～4]。但是,后掠角的變化過(guò)程使得導(dǎo)彈的飛行力學(xué)設(shè)計(jì)和彈道特性變得更為復(fù)雜,這使得變后掠翼導(dǎo)彈的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)較固定翼更為復(fù)雜,其核心是尋找適合變后掠翼導(dǎo)彈的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

目前在彈道優(yōu)化方面常用的優(yōu)化方法有直接法和間接法兩大類(lèi)[5]。但是間接法對(duì)初值很敏感,收斂半徑小,求解很困難[5]。因此,借助優(yōu)化理論,直接通過(guò)迭代尋優(yōu)求解最優(yōu)軌跡的直接法獲得了研究者的重視。

直接法主要包括打靶法、配點(diǎn)法、粒子群算法(PSO)等[5]。其中,打靶法只離散控制變量,且能夠用較少的優(yōu)化參數(shù)獲得高精度的解。文獻(xiàn)[6]利用打靶法將控制變量攻角α在空域上參數(shù)化,將彈道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。但當(dāng)離散點(diǎn)數(shù)目增加時(shí),非線性規(guī)劃(NLP)規(guī)模急劇增大,運(yùn)算量過(guò)大,需要很長(zhǎng)時(shí)間才能求得滿足要求的解[7-8]。同時(shí),目前難以證明所得的解收斂于系統(tǒng)最優(yōu)控制。粒子群算法是一種基于群智能方法的進(jìn)化算法,容易實(shí)現(xiàn),具有全局收斂性。文獻(xiàn)[9～11]采用將最優(yōu)控制與粒子群算法相結(jié)合的原理,研究了變后掠翼導(dǎo)彈的增程能力與投放條件之間的關(guān)系。但是粒子群算法也和其他全局優(yōu)化算法一樣,容易陷入局部最優(yōu),收斂精度不高,后期收斂速度慢[7]。配點(diǎn)法同時(shí)離散控制變量和狀態(tài)變量,包括偽譜法(PM)、Hermit-Simpson法、Runge-Kutta法以及歐拉法,其中PM是配點(diǎn)法中最為活躍的分支。根據(jù)離散點(diǎn)選取方法的不同,常見(jiàn)的PM又分為Gauss偽譜法(GPM)、Legendre偽譜法(LPM)和Radau偽譜法(RPM)[12-13]。其中RPM以其指數(shù)性的收斂速度、簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)以及很高的收斂精度受到了廣泛的重視,為變后掠翼導(dǎo)彈彈道優(yōu)化提出了新思路。文獻(xiàn)[14～15]利用RPM求解滿足路徑約束和終端約束條件下的射程最遠(yuǎn)彈道軌跡,選取后掠角和攻角作為優(yōu)化控制變量,并通過(guò)采取一系列實(shí)時(shí)性保證策略提高算法的計(jì)算效率,實(shí)現(xiàn)變后掠導(dǎo)彈彈道的在線重構(gòu)。雖然對(duì)于簡(jiǎn)單、約束較少的彈道優(yōu)化問(wèn)題,RPM能夠快速求得理想解,但是對(duì)于復(fù)雜、多約束的最優(yōu)控制問(wèn)題,RPM需要用較高維的插值多項(xiàng)式才能得到近似解,而hp自適應(yīng)偽譜法(hp-RPM)能夠?qū)Σ粷M足精度要求的區(qū)間寬度h和全局插值多項(xiàng)式的階次p進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,用較少的計(jì)算代價(jià)得到較高精度的解。

另外,現(xiàn)代武器的發(fā)展要求變后掠翼導(dǎo)彈除了能夠以較高的精度命中目標(biāo)外,還要盡可能提高變后掠導(dǎo)彈終端速度,加強(qiáng)導(dǎo)彈的攻擊能力。為此本文以終端速度最大為性能指標(biāo),在動(dòng)壓、過(guò)載及邊界條件等多約束條件下,采用hp自適應(yīng)偽譜法對(duì)變后掠導(dǎo)彈的末端彈道進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),并與已有的粒子群算法的最優(yōu)彈道進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證模型及方法的正確性,為變后掠導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)和技術(shù)參考。

1 問(wèn)題描述

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述變后掠翼導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問(wèn)題實(shí)際上是一組包含微分-代數(shù)約束和不等式約束的非線性最優(yōu)控制問(wèn)題,即在滿足各種約束的條件下,尋找符合條件的控制方程,使得導(dǎo)彈的終端速度最大。

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

基于“瞬時(shí)平衡”假設(shè),把變后掠翼導(dǎo)彈看成一個(gè)可操控的質(zhì)點(diǎn),只研究導(dǎo)彈質(zhì)心在縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。

(1)

式中:m為導(dǎo)彈質(zhì)量;g為重力加速度;x,y分別為射程和射高;v為導(dǎo)彈速度;θ為彈道傾角;阻力Fx=qSCx,升力Fy=qSCy,S為參考面積,動(dòng)壓q=ρv2/2,Cx,Cy分別為阻力和升力的氣動(dòng)力系數(shù),是馬赫數(shù)Ma、攻角α、后掠角χ的函數(shù),一般由風(fēng)洞試驗(yàn)獲得;ε(α,χ)=0為控制方程。

1.2 約束條件

①初始約束條件為導(dǎo)彈投放初始時(shí)刻狀態(tài)變量的初值,是給定的,即:

(2)

②終端約束是為了提高變后掠導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的攻擊能力,對(duì)導(dǎo)彈的終端狀態(tài)施加的約束,包括射程、射高和落角,即:

(3)

式中:ξx為允許的最大的射程誤差,ξθ為允許的最大的落角誤差。

③過(guò)程約束。

在實(shí)際的飛行過(guò)程中,過(guò)大的飛行載荷會(huì)破壞導(dǎo)彈彈體結(jié)構(gòu);同時(shí),過(guò)大的動(dòng)壓會(huì)對(duì)導(dǎo)彈的熱防護(hù)材料產(chǎn)生威脅,并影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,故要對(duì)導(dǎo)彈飛行過(guò)程中的法向過(guò)載和動(dòng)壓加以約束,即:

(4)

④控制約束。

適當(dāng)限制控制變量的變化范圍可以保證變后掠導(dǎo)彈彈道的平滑和良好的飛行性能,即:

(5)

1.3 性能指標(biāo)

變后掠導(dǎo)彈優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)重要的目標(biāo)是在脫靶量允許的范圍內(nèi)保證終端速度最大,故取落速最大為目標(biāo)函數(shù),即:

J=maxv(tf)

(6)

2 優(yōu)化方法

hp自適應(yīng)偽譜法結(jié)合了偽譜法和hp型有限元法的優(yōu)點(diǎn),在精度不滿足要求的區(qū)間利用雙層策略決定片段寬度h和插值多項(xiàng)式階次p,而在精度滿足要求的區(qū)域不做變動(dòng),最大限度地保證近似精度的同時(shí)降低計(jì)算量。

2.1 最優(yōu)控制問(wèn)題的離散

每個(gè)單元內(nèi),插值多項(xiàng)式的選擇方式和全局偽譜法一樣,這也使得hp自適應(yīng)偽譜法的最優(yōu)控制問(wèn)題離散和全局偽譜法相同,都將狀態(tài)變量和控制變量在配置點(diǎn)上離散,并以各離散點(diǎn)為節(jié)點(diǎn),利用拉格朗日插值基函數(shù)全局近似狀態(tài)變量和控制變量,通過(guò)對(duì)全局插值多項(xiàng)式求導(dǎo),近似狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),使之在一系列配點(diǎn)上滿足動(dòng)力學(xué)約束。性能指標(biāo)中的積分項(xiàng)可以由高精度的高斯積分公式來(lái)近似,終端狀態(tài)由初始狀態(tài)加右函數(shù)在整個(gè)過(guò)程中積分獲得[15]。

2.2 hp自適應(yīng)更新方式判斷準(zhǔn)則

定義中點(diǎn)殘差矩陣為

(7)

(8)

(9)

取Q中每一行殘差最大值組成列向量q為

(10)

其算數(shù)平均值為

(11)

則規(guī)范化的中點(diǎn)殘差向量為

(12)

當(dāng)式(7)中的Q向量中的最大值Qm大于ε(ε為用戶(hù)自定義誤差),則需要細(xì)分單元或者增加多項(xiàng)式階次。定義β中元素?cái)?shù)量級(jí)的闕值為ρ,當(dāng)β中存在大于ρ的元素時(shí),稱(chēng)為不一致型誤差,需要減小片段寬度h。一般情況下,式(12)中的β向量中大于ρ的元素總是相鄰成對(duì)出現(xiàn)的,在這2個(gè)元素之間放置片段斷點(diǎn)即可減小片段寬度h。圖1形象地展示了是否需要放置片段斷點(diǎn)及片段斷點(diǎn)位置。

圖1 片段斷點(diǎn)位置

2.3 迭代流程

圖2給出了hp自適應(yīng)偽譜法區(qū)間劃分和配點(diǎn)選擇的迭代流程。

圖2 迭代流程

3 仿真結(jié)果分析

3.1 仿真條件設(shè)置

導(dǎo)彈的質(zhì)量為121.57kg,參考面積為0.018 1m2;初始條件為x0=0,y0=4km,v0=10m/s,θ0=-12.5°;末端約束為xf=10km,yf=0,θf(wàn)=-65°,ξx=1m,ξθ=2°;飛行攻角|α|<10°,后掠角35°<χ<85°,動(dòng)壓q<70kPa,過(guò)載|ny|<4。

3.2 仿真方案

采用hp自適應(yīng)偽譜法對(duì)變后掠翼導(dǎo)彈的后掠角和攻角進(jìn)行雙變量?jī)?yōu)化,并通過(guò)與已有的PSO的仿真結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證hp自適應(yīng)偽譜法仿真結(jié)果的正確性。

3.3 仿真結(jié)果

圖3～圖8為2種優(yōu)化方法的仿真結(jié)果對(duì)比,表1列出了2種優(yōu)化方法的落點(diǎn)彈道參數(shù)。表中Δx為脫靶量。

圖3 彈道曲線

圖4 彈道傾角曲線

圖5 攻角曲線

圖6 后掠角曲線

圖7 速度曲線

圖8 升阻比曲線

tf/sΔx/mvf/(m·s-1)θf(wàn)/(°)hp-RPM99．350．5230．5-67．03PSO99．198．2229．6-67．13

從表1和圖3～圖8可以看出,hp自適應(yīng)偽譜法和粒子群算法的仿真結(jié)果相近,驗(yàn)證了hp自適應(yīng)偽譜法在解決基于終端速度最大的變后掠導(dǎo)彈優(yōu)化問(wèn)題上的正確性。由圖3、圖4、圖7可以看出,在脫靶量滿足精度要求的同時(shí),終端速度達(dá)到230.5m/s,落角為-67.03°,保證了變后掠導(dǎo)彈以最佳的姿態(tài)攻擊目標(biāo)。由圖6可以看出,hp自適應(yīng)偽譜法和粒子群算法后掠角都是先一直是35°,而后在較短的時(shí)間內(nèi)上升到85°,繼而保持85°不變,即先伸展翼面增加小速度飛行的升力,后縮攏翼面減小高速飛行時(shí)的阻力,使得導(dǎo)彈在不同的速域內(nèi)都能獲得良好的飛行性能。由圖6～圖8可以看出,速度較小,對(duì)應(yīng)展開(kāi)后掠翼,增加升力;速度變大,則要收攏后掠翼,減小阻力,從而實(shí)現(xiàn)落速最大。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)變后掠導(dǎo)彈的終端速度最大問(wèn)題,本文利用hp自適應(yīng)偽譜法對(duì)多種約束條件下的變后掠導(dǎo)彈進(jìn)行彈道優(yōu)化,采用后掠角和攻角雙變量?jī)?yōu)化方案,并將得到的最優(yōu)彈道與粒子群算法得到的彈道進(jìn)行了對(duì)比分析,驗(yàn)證了hp自適應(yīng)偽譜法在解決基于終端速度最大的變后掠導(dǎo)彈優(yōu)化問(wèn)題上的正確性。仿真結(jié)果表明,hp自適應(yīng)偽譜法的最優(yōu)彈道導(dǎo)彈能夠在較高的命中精度的前提下,以更高的終端速度且更佳的彈體姿態(tài)攻擊目標(biāo)。研究成果可為變后掠導(dǎo)彈彈道的設(shè)計(jì)與分析提供參考。

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Optimization Design for Trajectory of Morphing-wing Missile Based on Hp-adaptive Pseudo-spectral Method

WANG Na,CHEN Jie-qing,MING Chao,SUN Rui-sheng

(School of Energy and Power Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

In order to improve the final velocity of morphing-wing missile,a terminal trajectory optimization for morphing-wing missile was investigated.The sweep angle and attack angle were chosen as optimal control variables,and the trajectory optimization model was established with the multi-constraints of the dynamic pressure,the overload,and the bound conditions and so on.In view of the limitations of the global pseudo-spectral method to solve the optimal control problem with complex and multi-constraints,the hp-adaptive pseudo-spectral method combining the global pseudo-spectral method with hp finite element method was adopted to transform the trajectory optimization problem into a nonlinear programming problem,and the results were compared with those of the particle swarm optimization to confirm the correctness of the model and the method.The results show that the optimal trajectory of hp-adaptive pseudo-spectral method can ensure higher terminal speed and better attitude to attack targets with higher interception precision.

morphing-wing missile;final velocity;hp-adaptive pseudo-spectral method;trajectory optimization

2016-06-25

航空科學(xué)基金項(xiàng)目(20110159001)

王娜(1993- ),女,碩士研究生,研究方向?yàn)閺椉w行制導(dǎo)與控制。E-mail:1395739030@qq.com。

TJ761.3

A

1004-499X(2016)04-0024-06