王 娜,陳潔卿,明 超,孫瑞勝

(南京理工大學 能源與動力工程學院,南京 210094)

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基于hp自適應偽譜法的變后掠翼導彈彈道優(yōu)化設計

王 娜,陳潔卿,明 超,孫瑞勝

(南京理工大學 能源與動力工程學院,南京 210094)

為了提高變后掠翼導彈的終端速度,對其末端彈道優(yōu)化問題進行了研究?；诮K端速度最大,采用后掠角和攻角雙變量優(yōu)化方案,建立了在動壓、過載及邊界條件等多約束條件下的彈道優(yōu)化模型。鑒于全局偽譜法在解決復雜多約束條件下最優(yōu)控制問題存在的局限性,采用將全局偽譜法與hp型有限元法融合的hp自適應偽譜法,將彈道優(yōu)化問題轉化為非線性規(guī)劃問題,并將仿真結果與已有的粒子群算法的最優(yōu)彈道對比,驗證了模型和方法的正確性。結果表明,采用hp自適應偽譜法得到的最優(yōu)彈道在保證了較高的命中精度的前提下,能夠以更高的終端速度和更佳的彈體姿態(tài)攻擊目標。

變后掠翼導彈;終端速度;hp自適應偽譜法;彈道優(yōu)化

變后掠導彈在飛行過程中通過主動改變后掠角,實時改變彈翼翼面形狀或剖面形狀,使得導彈在不同彈道階段、各個速度包絡內都具有良好的飛行力學性能,較固定翼導彈有許多優(yōu)點[1-2],其射程遠、突防能力強、毀傷效果好,提高了打擊機動目標的能力[3～4]。但是,后掠角的變化過程使得導彈的飛行力學設計和彈道特性變得更為復雜,這使得變后掠翼導彈的彈道優(yōu)化設計較固定翼更為復雜,其核心是尋找適合變后掠翼導彈的彈道優(yōu)化設計方法。

目前在彈道優(yōu)化方面常用的優(yōu)化方法有直接法和間接法兩大類[5]。但是間接法對初值很敏感,收斂半徑小,求解很困難[5]。因此,借助優(yōu)化理論,直接通過迭代尋優(yōu)求解最優(yōu)軌跡的直接法獲得了研究者的重視。

直接法主要包括打靶法、配點法、粒子群算法(PSO)等[5]。其中,打靶法只離散控制變量,且能夠用較少的優(yōu)化參數(shù)獲得高精度的解。文獻[6]利用打靶法將控制變量攻角α在空域上參數(shù)化,將彈道優(yōu)化問題轉化為參數(shù)優(yōu)化問題。但當離散點數(shù)目增加時,非線性規(guī)劃(NLP)規(guī)模急劇增大,運算量過大,需要很長時間才能求得滿足要求的解[7-8]。同時,目前難以證明所得的解收斂于系統(tǒng)最優(yōu)控制。粒子群算法是一種基于群智能方法的進化算法,容易實現(xiàn),具有全局收斂性。文獻[9～11]采用將最優(yōu)控制與粒子群算法相結合的原理,研究了變后掠翼導彈的增程能力與投放條件之間的關系。但是粒子群算法也和其他全局優(yōu)化算法一樣,容易陷入局部最優(yōu),收斂精度不高,后期收斂速度慢[7]。配點法同時離散控制變量和狀態(tài)變量,包括偽譜法(PM)、Hermit-Simpson法、Runge-Kutta法以及歐拉法,其中PM是配點法中最為活躍的分支。根據(jù)離散點選取方法的不同,常見的PM又分為Gauss偽譜法(GPM)、Legendre偽譜法(LPM)和Radau偽譜法(RPM)[12-13]。其中RPM以其指數(shù)性的收斂速度、簡單的結構以及很高的收斂精度受到了廣泛的重視,為變后掠翼導彈彈道優(yōu)化提出了新思路。文獻[14～15]利用RPM求解滿足路徑約束和終端約束條件下的射程最遠彈道軌跡,選取后掠角和攻角作為優(yōu)化控制變量,并通過采取一系列實時性保證策略提高算法的計算效率,實現(xiàn)變后掠導彈彈道的在線重構。雖然對于簡單、約束較少的彈道優(yōu)化問題,RPM能夠快速求得理想解,但是對于復雜、多約束的最優(yōu)控制問題,RPM需要用較高維的插值多項式才能得到近似解,而hp自適應偽譜法(hp-RPM)能夠對不滿足精度要求的區(qū)間寬度h和全局插值多項式的階次p進行自適應調整,用較少的計算代價得到較高精度的解。

另外,現(xiàn)代武器的發(fā)展要求變后掠翼導彈除了能夠以較高的精度命中目標外,還要盡可能提高變后掠導彈終端速度,加強導彈的攻擊能力。為此本文以終端速度最大為性能指標,在動壓、過載及邊界條件等多約束條件下,采用hp自適應偽譜法對變后掠導彈的末端彈道進行優(yōu)化設計,并與已有的粒子群算法的最優(yōu)彈道進行對比,驗證模型及方法的正確性,為變后掠導彈總體設計提供理論指導和技術參考。

1 問題描述

用數(shù)學語言描述變后掠翼導彈彈道優(yōu)化問題實際上是一組包含微分-代數(shù)約束和不等式約束的非線性最優(yōu)控制問題,即在滿足各種約束的條件下,尋找符合條件的控制方程,使得導彈的終端速度最大。

1.1 動力學模型

基于“瞬時平衡”假設,把變后掠翼導彈看成一個可操控的質點,只研究導彈質心在縱向平面內的運動。

(1)

式中:m為導彈質量;g為重力加速度;x,y分別為射程和射高;v為導彈速度;θ為彈道傾角;阻力Fx=qSCx,升力Fy=qSCy,S為參考面積,動壓q=ρv2/2,Cx,Cy分別為阻力和升力的氣動力系數(shù),是馬赫數(shù)Ma、攻角α、后掠角χ的函數(shù),一般由風洞試驗獲得;ε(α,χ)=0為控制方程。

1.2 約束條件

①初始約束條件為導彈投放初始時刻狀態(tài)變量的初值,是給定的,即:

(2)

②終端約束是為了提高變后掠導彈對目標的攻擊能力,對導彈的終端狀態(tài)施加的約束,包括射程、射高和落角,即:

(3)

式中:ξx為允許的最大的射程誤差,ξθ為允許的最大的落角誤差。

③過程約束。

在實際的飛行過程中,過大的飛行載荷會破壞導彈彈體結構;同時,過大的動壓會對導彈的熱防護材料產生威脅,并影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,故要對導彈飛行過程中的法向過載和動壓加以約束,即:

(4)

④控制約束。

適當限制控制變量的變化范圍可以保證變后掠導彈彈道的平滑和良好的飛行性能,即:

(5)

1.3 性能指標

變后掠導彈優(yōu)化設計的一個重要的目標是在脫靶量允許的范圍內保證終端速度最大,故取落速最大為目標函數(shù),即:

J=maxv(tf)

(6)

2 優(yōu)化方法

hp自適應偽譜法結合了偽譜法和hp型有限元法的優(yōu)點,在精度不滿足要求的區(qū)間利用雙層策略決定片段寬度h和插值多項式階次p,而在精度滿足要求的區(qū)域不做變動,最大限度地保證近似精度的同時降低計算量。

2.1 最優(yōu)控制問題的離散

每個單元內,插值多項式的選擇方式和全局偽譜法一樣,這也使得hp自適應偽譜法的最優(yōu)控制問題離散和全局偽譜法相同,都將狀態(tài)變量和控制變量在配置點上離散,并以各離散點為節(jié)點,利用拉格朗日插值基函數(shù)全局近似狀態(tài)變量和控制變量,通過對全局插值多項式求導,近似狀態(tài)變量對時間的導數(shù),使之在一系列配點上滿足動力學約束。性能指標中的積分項可以由高精度的高斯積分公式來近似,終端狀態(tài)由初始狀態(tài)加右函數(shù)在整個過程中積分獲得[15]。

2.2 hp自適應更新方式判斷準則

定義中點殘差矩陣為

(7)

(8)

(9)

取Q中每一行殘差最大值組成列向量q為

(10)

其算數(shù)平均值為

(11)

則規(guī)范化的中點殘差向量為

(12)

當式(7)中的Q向量中的最大值Qm大于ε(ε為用戶自定義誤差),則需要細分單元或者增加多項式階次。定義β中元素數(shù)量級的闕值為ρ,當β中存在大于ρ的元素時,稱為不一致型誤差,需要減小片段寬度h。一般情況下,式(12)中的β向量中大于ρ的元素總是相鄰成對出現(xiàn)的,在這2個元素之間放置片段斷點即可減小片段寬度h。圖1形象地展示了是否需要放置片段斷點及片段斷點位置。

圖1 片段斷點位置

2.3 迭代流程

圖2給出了hp自適應偽譜法區(qū)間劃分和配點選擇的迭代流程。

圖2 迭代流程

3 仿真結果分析

3.1 仿真條件設置

導彈的質量為121.57kg,參考面積為0.018 1m2;初始條件為x0=0,y0=4km,v0=10m/s,θ0=-12.5°;末端約束為xf=10km,yf=0,θf=-65°,ξx=1m,ξθ=2°;飛行攻角|α|<10°,后掠角35°<χ<85°,動壓q<70kPa,過載|ny|<4。

3.2 仿真方案

采用hp自適應偽譜法對變后掠翼導彈的后掠角和攻角進行雙變量優(yōu)化,并通過與已有的PSO的仿真結果對比,驗證hp自適應偽譜法仿真結果的正確性。

3.3 仿真結果

圖3～圖8為2種優(yōu)化方法的仿真結果對比,表1列出了2種優(yōu)化方法的落點彈道參數(shù)。表中Δx為脫靶量。

圖3 彈道曲線

圖4 彈道傾角曲線

圖5 攻角曲線

圖6 后掠角曲線

圖7 速度曲線

圖8 升阻比曲線

tf/sΔx/mvf/(m·s-1)θf/(°)hp-RPM99．350．5230．5-67．03PSO99．198．2229．6-67．13

從表1和圖3～圖8可以看出,hp自適應偽譜法和粒子群算法的仿真結果相近,驗證了hp自適應偽譜法在解決基于終端速度最大的變后掠導彈優(yōu)化問題上的正確性。由圖3、圖4、圖7可以看出,在脫靶量滿足精度要求的同時,終端速度達到230.5m/s,落角為-67.03°,保證了變后掠導彈以最佳的姿態(tài)攻擊目標。由圖6可以看出,hp自適應偽譜法和粒子群算法后掠角都是先一直是35°,而后在較短的時間內上升到85°,繼而保持85°不變,即先伸展翼面增加小速度飛行的升力,后縮攏翼面減小高速飛行時的阻力,使得導彈在不同的速域內都能獲得良好的飛行性能。由圖6～圖8可以看出,速度較小,對應展開后掠翼,增加升力;速度變大,則要收攏后掠翼,減小阻力,從而實現(xiàn)落速最大。

4 結束語

針對變后掠導彈的終端速度最大問題,本文利用hp自適應偽譜法對多種約束條件下的變后掠導彈進行彈道優(yōu)化,采用后掠角和攻角雙變量優(yōu)化方案,并將得到的最優(yōu)彈道與粒子群算法得到的彈道進行了對比分析,驗證了hp自適應偽譜法在解決基于終端速度最大的變后掠導彈優(yōu)化問題上的正確性。仿真結果表明,hp自適應偽譜法的最優(yōu)彈道導彈能夠在較高的命中精度的前提下,以更高的終端速度且更佳的彈體姿態(tài)攻擊目標。研究成果可為變后掠導彈彈道的設計與分析提供參考。

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Optimization Design for Trajectory of Morphing-wing Missile Based on Hp-adaptive Pseudo-spectral Method

WANG Na,CHEN Jie-qing,MING Chao,SUN Rui-sheng

(School of Energy and Power Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

In order to improve the final velocity of morphing-wing missile,a terminal trajectory optimization for morphing-wing missile was investigated.The sweep angle and attack angle were chosen as optimal control variables,and the trajectory optimization model was established with the multi-constraints of the dynamic pressure,the overload,and the bound conditions and so on.In view of the limitations of the global pseudo-spectral method to solve the optimal control problem with complex and multi-constraints,the hp-adaptive pseudo-spectral method combining the global pseudo-spectral method with hp finite element method was adopted to transform the trajectory optimization problem into a nonlinear programming problem,and the results were compared with those of the particle swarm optimization to confirm the correctness of the model and the method.The results show that the optimal trajectory of hp-adaptive pseudo-spectral method can ensure higher terminal speed and better attitude to attack targets with higher interception precision.

morphing-wing missile;final velocity;hp-adaptive pseudo-spectral method;trajectory optimization

2016-06-25

航空科學基金項目(20110159001)

王娜(1993- ),女,碩士研究生,研究方向為彈箭飛行制導與控制。E-mail:1395739030@qq.com。

TJ761.3

A

1004-499X(2016)04-0024-06