張 茹 孔企平

小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要部分，也是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要載體。在小學(xué)數(shù)學(xué)的幾何部分，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。那么，在小學(xué)幾何教學(xué)中學(xué)生應(yīng)該感悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法呢？本文將小學(xué)幾何中蘊(yùn)含的四種重要數(shù)學(xué)思想方法梳理如下。

一、幾何直觀的思想

幾何直觀就是通過直觀圖形，對(duì)數(shù)學(xué)概念、問題和關(guān)系進(jìn)行分析和把握。或者說，就是利用幾何對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察，以把握數(shù)學(xué)問題的全貌?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。

幾何直觀有利于數(shù)學(xué)概念的理解。例如,有教師在執(zhí)教“乘法的初步認(rèn)識(shí)”時(shí),對(duì)于算式3×4,不僅引導(dǎo)學(xué)生用不同的式子表示,像 4+4+4,3+3+3+3,4×4-4,3×5-3,3×3+3等,還引導(dǎo)學(xué)生用幾何圖形來表示算式3×4的意義。如圖1所示,通過幾何直觀為學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)乘法意義的表象提供了豐富的素材,加深了學(xué)生對(duì)乘法意義的理解。

圖1

幾何直觀有助于運(yùn)算教學(xué)中抽象法則的學(xué)習(xí)。例如，有教師在執(zhí)教“乘法分配律”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何圖形來解釋該運(yùn)算律的含義。如圖2所示，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a、寬為b，底邊長(zhǎng)a增加了c，此時(shí)大長(zhǎng)方形的面積是多少？如何求得？學(xué)生經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)存在兩種方法求得大長(zhǎng)方形的面積。第一種方法，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)變?yōu)椋╝+c），寬仍為 b,所以長(zhǎng)方形的面積為“（a+c）×b”；第二種方法，大長(zhǎng)方形面積可以看成兩部分面積和，即原長(zhǎng)方形的面積a×b加上增加部分的長(zhǎng)方形面積c×b，所以大長(zhǎng)方形的面積為“a×b+c×b”，所以（a+c）×b=a×b+c×b。此處，幾何圖形的直觀教學(xué)幫助學(xué)生很好地理解了乘法分配律。

圖2

幾何直觀也有利于問題解決。對(duì)于一些稍微復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題，學(xué)生無法直接理解，此時(shí)可以借助幾何直觀幫助學(xué)生解決問題。

二、轉(zhuǎn)化推理的思想

轉(zhuǎn)化思想是幾何學(xué)習(xí)中的重要思想方法，它貫穿幾何學(xué)習(xí)的始終，在幾何學(xué)習(xí)中占有很重要的地位。

兒童的幾何推理實(shí)際就是將未知“轉(zhuǎn)化”為已知的過程。如圖3所示，從矩形面積公式出發(fā)，通過割補(bǔ)等活動(dòng)將平行四邊形轉(zhuǎn)化成矩形，從而得出平行四邊形的公式。同樣，從矩形面積公式出發(fā)，通過分割把一個(gè)長(zhǎng)方形分為兩個(gè)直角三角形，推導(dǎo)出直角三角形的面積是相應(yīng)矩形面積的一半，而任意三角形都可以轉(zhuǎn)化為直角三角形，從而知道三角形的面積就是“底邊長(zhǎng)乘以高的一半”。另外，還可以把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形的一半。

圖3

幾何學(xué)習(xí)中還有維度之間的轉(zhuǎn)化。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓柱和圓錐的側(cè)面積時(shí)，由于這兩個(gè)立體圖形的側(cè)面是曲面，學(xué)生很難得出曲面面積。因此，可以分別用剪刀剪出圓柱和圓錐曲面的展開圖，此時(shí)將得到一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)扇形，這樣就將立體圖形轉(zhuǎn)化成了平面圖形。通過這些大量的活動(dòng)，學(xué)生將體會(huì)感悟到把一個(gè)其他圖形轉(zhuǎn)化為已知圖形，從而推導(dǎo)出相應(yīng)公式的轉(zhuǎn)化思想方法。

三、運(yùn)動(dòng)變化的思想

小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何變換的內(nèi)容主要涉及平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱三部分。該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中滲透了運(yùn)動(dòng)變化的思想，需要讓學(xué)生在實(shí)際操作中感受運(yùn)動(dòng)和變化，能夠從運(yùn)動(dòng)變化的角度理解概念并思考問題。

“點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)形成“線”的思想可以幫助學(xué)生很好地理解一些幾何概念的本質(zhì)。例如，讓學(xué)生尋找距某條直線距離相等的所有點(diǎn)，所有的點(diǎn)形成了平行于該直線的另一條直線。再如，讓學(xué)生尋找距某定點(diǎn)固定距離的所有點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)所有的點(diǎn)形成了一個(gè)圓。

“線”運(yùn)動(dòng)形成“面”的思想有助于學(xué)生更好地把握不同圖形間的邏輯聯(lián)系。例如，學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形以后，學(xué)生可以利用自制的由四根小木條釘成的長(zhǎng)方形框架進(jìn)行演示，把寬邊慢慢往里移，成了正方形，再往里移又成了長(zhǎng)方形，從而使學(xué)生感悟出正方形是長(zhǎng)方形的特例。

“面”運(yùn)動(dòng)形成“體”的思想有利于學(xué)生掌握立體圖形的特征，提高學(xué)生的空間想象力。例如，將長(zhǎng)方形繞某一邊旋轉(zhuǎn)360度后將形成圓柱；將三角形繞某一邊旋轉(zhuǎn)360度后將形成圓錐。

在教學(xué)過程中，我們不僅要用運(yùn)動(dòng)的眼光來看待變換幾何的問題，還要能找出運(yùn)動(dòng)中的“不變”。例如，平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對(duì)稱變換中，變換前后的兩個(gè)圖形的大小和形狀都是不變的。而在平移變換中，平移前后兩個(gè)圖形中每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定的線段也是同向、平行且相等的。在旋轉(zhuǎn)變換中，旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形上每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離是相等的；旋轉(zhuǎn)中心到每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所引射線所成的角都同向且相等。

四、坐標(biāo)幾何的思想

小學(xué)幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)開始滲透坐標(biāo)思想，主要體現(xiàn)在方格紙上。方格紙是坐標(biāo)的基礎(chǔ)。通過方格紙，學(xué)生可以了解到交點(diǎn)、數(shù)值以及從左向右、從下向上的看圖方法，這些都是學(xué)習(xí)坐標(biāo)軸時(shí)需要的基礎(chǔ)知識(shí)。事實(shí)上，方格紙左邊線的延伸就是縱軸，下邊線的延伸就是橫軸，且方格紙以一格為單位。而且方格紙相對(duì)來說更加具體形象，這為學(xué)生過渡到坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)建立了表象。

小學(xué)幾何變換的學(xué)習(xí)，僅限于在方格紙上進(jìn)行，即沿著平行或垂直于方格紙的邊緣線進(jìn)行。不涉及直接按斜線方向運(yùn)動(dòng)的情況（但可以先按照平行方向運(yùn)動(dòng)若干格，再沿著垂直方向運(yùn)動(dòng)若干格）。小學(xué)生在方格紙上通過平移和旋轉(zhuǎn)來畫圖，并在方格紙上觀察并畫出軸對(duì)稱圖形，這些都體現(xiàn)了坐標(biāo)幾何的思想。

小學(xué)階段，坐標(biāo)思想還體現(xiàn)在用數(shù)對(duì)確定物體位置的內(nèi)容上。學(xué)生先是在實(shí)物圖中確定位置，再在點(diǎn)陣中確定位置，最后在方格紙中確定位置。學(xué)生通過用數(shù)對(duì)在方格紙上確定位置的學(xué)習(xí)，逐漸理解只有兩個(gè)數(shù)才能確定一個(gè)位置，這個(gè)位置就是數(shù)對(duì)表示的行與列的交點(diǎn)。這為日后坐標(biāo)系中某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示打下了基礎(chǔ)。

綜上所述，小學(xué)幾何中蘊(yùn)藏著豐富的思想方法，值得進(jìn)一步深入研究。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助小學(xué)生積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想方法、形成空間觀念是小學(xué)幾何學(xué)習(xí)的重要任務(wù)。