王茂香，姜同松，張兆忠

(1.曲阜師范大學(xué) 管理學(xué)院，山東 日照 276826；2.菏澤學(xué)院 理學(xué)院，山東 菏澤 274015；3.臨沂大學(xué) 理學(xué)院，山東 臨沂 276005)

?

分裂四元數(shù)線性方程組的Cramer法則

王茂香1，姜同松2，3，張兆忠3

(1.曲阜師范大學(xué) 管理學(xué)院，山東 日照 276826；2.菏澤學(xué)院 理學(xué)院，山東 菏澤 274015；3.臨沂大學(xué) 理學(xué)院，山東 臨沂 276005)

本文借助分裂四元數(shù)的復(fù)表示方法，給出了分裂四元數(shù)矩陣的行列式和逆矩陣的定義及性質(zhì)，并得到了求解分裂四元數(shù)線性方程組的Cramer法則.

分裂四元數(shù)；線性方程組；復(fù)表示；Cramer法則

1 引言

1849年，James Cockle研究了分裂四元數(shù)集合，表示為以下形式：

Hs={q=q1+q2i+q3j+q4k；q1,q2,q3,q4∈R}，

(1)

其中i2=-1，j2=k2=1，ijk=1.分裂四元數(shù)環(huán)是結(jié)合代數(shù)和不可交換的4維Clifford代數(shù)，并且它包含零因子，冪零因子和非平凡的冪等元[1-4].

當(dāng)物理學(xué)家們在研究復(fù)合經(jīng)典力學(xué)和Non-Hermitian量子力學(xué)的關(guān)系時，他們發(fā)現(xiàn)四元數(shù)力學(xué)和四元數(shù)力學(xué)有驚人的聯(lián)系[5-8].主要發(fā)現(xiàn)是，在過去幾十年里，被廣泛研究的帶來實(shí)能量的復(fù)合力學(xué)系統(tǒng)可以看作是潛在的實(shí)力學(xué)系統(tǒng)的分裂四元數(shù)力學(xué)的推廣[8-11]，這一發(fā)現(xiàn)使運(yùn)用四元數(shù)和分裂四元數(shù)的代數(shù)方法去解決復(fù)合經(jīng)典力學(xué)中富有挑戰(zhàn)性的開放性問題成為可能.

在研究分裂四元數(shù)力學(xué)及其應(yīng)用時(如文獻(xiàn)[12-13])，經(jīng)常需要求解分裂四元數(shù)線性方程組.由于分裂四元數(shù)乘法的非交換性，給這方面的研究和應(yīng)用帶來了很大的困難.在文獻(xiàn)[14-15]中，Jiang首次引入了友向量的概念，借助四元數(shù)的復(fù)表示方法，研究了四元數(shù)線性方程組的求解問題，并給出了求解此問題的Cramer法則，本文通過利用分裂四元數(shù)的復(fù)表示，定義了分裂四元矩陣的行列式的概念，并基于行列式的理論，討論和研究了分裂四元數(shù)代數(shù)上矩陣的逆矩陣和Cramer法則.

2 分裂四元數(shù)矩陣的實(shí)表示

對任意x=x1+x2i+x3j+x4k=(x1+x2i)+(x3+x4i)j=y+zj∈Hs，其中x1,x2,x3,x4∈R，y,z∈C，i2

(2)

和

(3)

(4)

(A+B)C=AC+BC，(αA)C=αAC，

(5)

(AD)C=ACDC，

(6)

定理1 Hs.

3 分裂四元數(shù)矩陣的行列式、逆矩陣和Cayley-Hamilton定理

本部分，借助分裂四元數(shù)的復(fù)表示定義，討論了分裂四元數(shù)矩陣的行列式、逆矩陣和Cayley-Hamilton定理.

det(A)=det(AC).

(7)

det(AB)=det(A)det(B).

(8)

adj(A)=(adj(AC))C-1.

(9)

(Aadj(A))C=AC(adj(A))C=det(AC)I2n，

(10)

并且由定義1和復(fù)表示AC的定義，Aadj(A)=det(AC)In=det(A)In.同理可得，adj(A)A=det(A)In.因此，可得如下結(jié)果：

(1)Aadj(A)=adj(A)A=det(A)In；

(2)A可逆當(dāng)且僅當(dāng)det(A)≠0，且當(dāng)矩陣A可逆時

(11)

這個定理給出了一種判斷分裂四元數(shù)矩陣是否可逆和求其相應(yīng)逆矩陣的簡單方法.

由分裂四元數(shù)矩陣的行列式的定義，給出如下定義.

FA(λ)=det(λIn-A)=det(λCI2n-AC).

(12)

顯然，由復(fù)數(shù)域C上的Cayley-Hamilton定理可得：

易知，復(fù)數(shù)域C上的Cayley-Hamilton定理是上述定理的特例.

4 分裂四元數(shù)線性方程組的Cramer法則及算例

在這一節(jié)中，借助復(fù)表示定義，研究并給出求解分裂四元數(shù)線性方程組

Ax=β

(13)

由復(fù)表示定義(2)和(3)知，Ax=β當(dāng)且僅當(dāng)ACxC=βC.即，Ax=β有解x當(dāng)且僅當(dāng)ACY=βC有解Y，且Y=xC.

(14)

(15)

其中D2t-1和D2t分別是把det(AC)的第2t-1列和第2t列換為βC的第一列所得的行列式.

令

(16)

則由復(fù)表示定義，分裂四元數(shù)線性方程組Ax=β有唯一解

(17)

綜上所述，可得如下結(jié)果.

(18)

其中

(19)

其中D2t-1和D2t分別是把det(AC)的第2t-1列和第2t列換為βC的第一列所得的行列式.

(20)

其中△t是把det(A)的第t列換成復(fù)向量β后所得的行列式.因此，上述分裂四元數(shù)環(huán)上的Cramer法則是復(fù)數(shù)域上的Cramer法則的推廣.

例1 解分裂四元數(shù)線性方程組Ax=β，其中

我們將用兩種方法解上述方程組.

方法1：借助Cramer法則，首先，由復(fù)表示的定義計算出AC和βC，

并且det(A)=det(AC)=-5≠0，D1=-5-5i，D2=0,D3=0，D4=-10+5i.由分裂四元數(shù)環(huán)上的Cramer法則可知，所求線性方程組有唯一解，

所以，Ax=β的唯一解為

x=(1+i,2j+k)T.

方法2：借助逆矩陣，由復(fù)表示AC的定義，容易計算出AC的伴隨矩陣adj(AC)，

因此，Ax=β的唯一解為

5 小結(jié)

本文通過分裂四元數(shù)矩陣的復(fù)表示方法，將分裂四元數(shù)環(huán)上的矩陣的行列式、矩陣的逆、Cramer法則和Cayley-Hamilton定理歸結(jié)為復(fù)數(shù)域上的相應(yīng)問題，把分裂四元數(shù)環(huán)上的非交換分裂四元數(shù)問題巧妙地歸結(jié)為復(fù)數(shù)域上的可交換的復(fù)數(shù)問題.因此，上述結(jié)論和方法大大簡化了分裂四元數(shù)力學(xué)中的數(shù)值計算問題，使得相應(yīng)的計算機(jī)處理也成為可能，相信上述數(shù)學(xué)方法將會對現(xiàn)代分裂四元數(shù)力學(xué)的發(fā)展起到十分重要的推動作用.

[1]AlagozY,OralKH,YuceS.Splitquaternionmatrices[J].MiskolcMath.Notes, 2012(13): 223-232.

[2]KulaL,YaylY.SplitquaternionsandrotationsinsemiEuclideanspace[J].J.ofKoreanMath.Soc., 2007(44): 1313-1327.

[3]OzdemirM.Therootsofasplitquaternion[J].Appl.Math.Lett., 2009(22): 258-263.

[4]PogoruyAA,Rodriguez-DagninoRM.Somealgebraicandanalyticalpropertiesofcoquaternionalgebra[J].Adv.appl.Cliffordalg, 2010(20):79-84.

[5]BrodyDC,GraefeEM.Oncomplexifiedmechanicsandcoquaternions[J].J.ofPhys.A:Math.Theor, 2011(44):072001.

[6]AdlerSL.ScatteringanddecaytheoryforquaternionicquantummechanicsandthestructureofinducedTnonconservation[J].Phys.Rev.D., 1988(37): 3654.

[7]AdlerSL.Quaternionicquantummechanicsandquantumfields[M].NewYork：OxfordUniv.Press,1994.

[8]MoiseyevN.Non-Hermitianquantummechanics[M].England:CambridgeUniversityPress, 2011.

[9]BenderCM,BoettcherS.Realspectrainnon-HermitianHamiltonianshavingPTsymmetry[J].Phys.Rev.Lett., 1998(80): 5243.

[10]GuoA，etal.ObservationofPT-symmetrybreakingincomplexopticalpotentials[J].Phys.Rev.Lett., 2009(103): 093902.

[11]ZhaoKF,SchadenM,WuZ.Enhancedmagneticresonancesignalofspin-polarizedRbatomsnearsurfacesofcoatedcells[J].Phys.Rev.A.，2010(81):042903.

[12]ErdogduM,OzdemirM.Oncomplexsplitquaternionmatrices[J].Adv.Appl.CliffordAlg.,2013(23):625-638.

[13]ErdogduM,OzdemirM.Oneigenvaluesofsplitquaternionmatrices[J].Adv.Appl.CliffordAlg.,2013(23): 615-623.

[14]JiangT.Analgorithmforquaternioniclinearequationsinquaternionicquantumtheory[J].J.ofMath.Phys.，2004(45): 4218-4222.

[15]JiangT.Cramerruleforquaternioniclinearequationsinquaternionicquantumtheory[J].R.Math.Phys., 2006,57(3):463-468.

Cramer Rule for Split Quaternionic Linear Equations

WANG Mao-xiang1, JIANG Tong-song2, 3, ZHANG Zhao-zhong3

(1. School of Management, Qufu Normal University, Rizhao, 276826;2. School of Mathematics, Heze University, Heze, 274015;3. School of Mathematics, Linyi University, Linyi, 276005, China)

In this paper, by means of complex representation of split quaternion matrix, we propose a new definition of determinant for a split quaternion matrix, and derive a technique of finding an inverse matrix of an invertible split quaternion matrix. Moreover, the Cramer rule for split quaternionic linear equations is obtained in split quaternionic quantum theory.

split quaternionic; linear equation system; complex representation; Cramer rule

2016-09-27

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目NSFC(11301252)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BS2015DX012)

王茂香(1991-)，女，山東臨沂人，曲阜師范大學(xué)管理學(xué)院碩士研究生.

O151

A

1672-2590(2016)06-0037-05