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        一元函數(shù)與二元函數(shù)

        2016-12-20 19:42:13任其昇
        知音勵志·社科版 2016年11期

        摘 要一元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間存在一定的關(guān)系,這些關(guān)系對于二元函數(shù)是否還成立呢?本文將討論它們之間的關(guān)系問題。

        【關(guān)鍵詞】連續(xù);可導(dǎo);可微

        1 一元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系

        對于一元函數(shù),可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo);可微必連續(xù),連續(xù)不一定可微;可導(dǎo)必可微,可微必可導(dǎo)。這些關(guān)系對二元函數(shù)會是怎樣呢?

        2 二元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系

        2.1 二元函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)(偏導(dǎo)數(shù)存在)的關(guān)系

        對于二元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),連續(xù)也不一定偏導(dǎo)數(shù)存在。

        如對于二元函數(shù):

        所以二元函數(shù)在(0,0)處連續(xù)。

        即二元函數(shù)在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在。

        結(jié)論:對于二元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)也可以連續(xù),連續(xù)時(shí)偏導(dǎo)數(shù)也可以存在。

        而對于二元函數(shù)

        由于

        即與k有關(guān),

        所以極限不存在。

        而由,

        知二元函數(shù)在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在。

        結(jié)論:對于二元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)也可以不連續(xù)。

        而對于二元函數(shù):

        由于

        即,所以二元函數(shù) 在(0,0)連續(xù)。

        但由于

        所以二元函數(shù)在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)不存在。

        結(jié)論:對于二元函數(shù),連續(xù)時(shí)偏導(dǎo)數(shù)也可以不存在。

        綜合以上例子可得出如下結(jié)論:對于二元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),連續(xù)也不一定偏導(dǎo)數(shù)存在。

        2.2 二元函數(shù)可導(dǎo)(偏導(dǎo)數(shù)存在)與可微(全微分存在)的關(guān)系

        對于二元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微,可微一定偏導(dǎo)數(shù)存在。

        如對于二元函數(shù)

        由,知

        由,知

        即二元函數(shù)

        在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在。

        不存在

        所以二元函數(shù)

        在(0,0)處的全微分不存在。

        而對于二元函數(shù):

        由于

        即二元函數(shù)在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在。

        且由于函數(shù)在(0,0)處的增量

        所以函數(shù)在(0,0)處的全微分存在。

        結(jié)論:對于二元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微。

        而對于二元函數(shù),全微分存在一定偏導(dǎo)數(shù)存在。證明如下:

        設(shè)二元函數(shù)在(x,y)處全微分存在,則在(x,y)處的增量

        所以

        所以二元函數(shù)在(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在。

        綜合以上例子可得出如下結(jié)論:對于二元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在不一定全微分存在,但全微分存在一定偏導(dǎo)數(shù)存在。

        2.3 二元函數(shù)連續(xù)與可微(全微分存在)的關(guān)系

        對于二元函數(shù),連續(xù)不一定可微,可微一定連續(xù)。

        如對于二元函數(shù):

        由于

        所以二元函數(shù)在(0,0)處連續(xù)。

        由于函數(shù)在(0,0)處的增量

        所以函數(shù)在(0,0)處的全微分存在。

        而對于二元函數(shù):

        由于

        即,所以二元函數(shù)在(0,0)連續(xù)。

        但由于函數(shù)在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)

        所以二元函數(shù)在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)不存在。

        所以函數(shù)在(0,0)處的全微分也不存在。

        結(jié)論:對于二元函數(shù),連續(xù)不一定全微分存在。

        而對于二元函數(shù)在(x,y)處全微分存在時(shí)必連續(xù)是可證明的。證明如下:

        由于二元函數(shù)在(x,y)處全微分存在,所以在(x,y)處的增量

        所以

        所以二元函數(shù)在(x,y)處連續(xù)。

        綜合以上例子可得出如下結(jié)論:對于二元函數(shù),連續(xù)不一定全微分存在,但全微分存在一定連續(xù)。

        3 結(jié)束語

        本文對一元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系同二元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系做了詳細(xì)的比較,對一元函數(shù)成立的結(jié)論,對二元函數(shù)不一定成立,這一點(diǎn)絕不能隨便借用一元函數(shù)的結(jié)論。

        參考文獻(xiàn)

        [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2007(04).

        作者簡介

        任其昇(1967-),男,現(xiàn)為沈陽工學(xué)院基礎(chǔ)課部副教授。研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)。

        作者單位

        沈陽工學(xué)院基礎(chǔ)課部 113122

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