臧亞麗　姚建法

“橫向數(shù)學(xué)化”視角下的教學(xué)思辨與效度回歸——以蘇教版四上《簡單的周期》一課的教學(xué)為例

臧亞麗1姚建法2

橫向數(shù)學(xué)化；教學(xué)思辨；效度重構(gòu)；教學(xué)啟示；簡單的周期

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認為：可以把數(shù)學(xué)當成一種活動，“數(shù)學(xué)化”是實施這個活動的方式，也是這個活動的目的?！皵?shù)學(xué)化”可以分為兩類：第一類是“橫向數(shù)學(xué)化”，注重把生活世界引向數(shù)學(xué)的符號世界，將現(xiàn)實情境引向數(shù)學(xué)體系，建立兩者間的聯(lián)系；第二類是“縱向數(shù)學(xué)化”，注重在數(shù)學(xué)符號的世界里，在數(shù)學(xué)體系內(nèi)部，實現(xiàn)抽象符號的生成、變換、重塑與應(yīng)用。

在教學(xué)中，教師往往會為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的生活情境，并從中剝離抽象出數(shù)學(xué)學(xué)習內(nèi)容，實施從生活到數(shù)學(xué)的跨越。教師需要思考的是，這種“橫向數(shù)學(xué)化”的過程是否科學(xué)合理，是否符合學(xué)情，是否能提高學(xué)生正確感知學(xué)習內(nèi)容的效度。下面以蘇教版四上《簡單的周期》一課的教學(xué)實踐為例，談?wù)劰P者對“橫向數(shù)學(xué)化”的一些思考，與大家交流和探討。

一、教學(xué)嘗試：舍棄教材例圖，使用學(xué)生珠串

在三年級上學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)接觸過圖形規(guī)律，探索過“一一間隔排列”的規(guī)律，對探索形象直觀的規(guī)律積累了一定的經(jīng)驗。小學(xué)生對于珠串手工活動比較感興趣，于是，教師前期布置學(xué)生串一串或幾串“你認為具有數(shù)學(xué)特點的珠串”，發(fā)現(xiàn)相當一部分學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗與認識，串出了具有“數(shù)學(xué)味”的珠串。因此，教師舍棄了教材例題圖，改用學(xué)生的珠串作品進行了以下教學(xué)嘗試：

1.PPT呈現(xiàn)珠串作品，學(xué)生欣賞并交流從中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

師：下面這兩串珠串（如圖1）的排列有什么共同特點？先獨立觀察，再在小組里說一說。

（圖1）

生1：它們都是重復(fù)出現(xiàn)的。

生2：第一幅是藍珠、粉五星、藍珠、綠花，再藍珠、粉五星、藍珠、綠花，再藍珠、粉五星、藍珠……第二幅是黑珠、紫五星、白珠、紫五星，再黑珠、紫五星、白珠、紫五星……

師小結(jié)：這兩串珠串都是一組一組重復(fù)出現(xiàn)的。（板書：一組一組重復(fù)出現(xiàn)）

師：你有什么辦法能讓我們把一組一組看得更清晰嗎？

生3：串珠串的時候把它們一組一組適當分開一些，比如這樣……（該生上臺擺一擺）

生4：在圖上可以畫線隔開。（該生上臺畫一畫）

生5：還可以圈一圈。

師追問：請大家再仔細觀察一下，每一組里面珠串的排列順序是怎樣的？

生6：每一組的排列順序都是相同的。

師提煉并板書：同一事物依次重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象。我們今天就一起來學(xué)習《簡單的周期》。

2.練習。教師課件展示學(xué)生珠串作品的照片（如圖2），讓學(xué)生判斷其中的珠串是否具有周期現(xiàn)象，具有周期現(xiàn)象的打“√”，不具有周期現(xiàn)象的打“×”。

（圖2）

實物投影學(xué)生作品，重點選擇兩張照片交流：

①為什么這個珠串打“×”？可以怎樣調(diào)整使其具有周期性？

②這個珠串打“√”，你能說出其中的周期規(guī)律嗎？

3.活動。繼續(xù)看圖，圖上的珠串是按照怎樣的順序排列的？用你喜歡的方式記錄下來，可以用語言，也可以用圖形符號。

…………

二、“橫向數(shù)學(xué)化”視角下的思辨

教師設(shè)計珠串這一教學(xué)環(huán)節(jié)，是想引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“橫向數(shù)學(xué)化”的過程，對簡單的周期規(guī)律獲得正確的感知。然而，這樣的教學(xué)設(shè)計真的更貼近學(xué)生、更容易讓學(xué)生感知其中的周期規(guī)律嗎？

從教學(xué)反應(yīng)來看，學(xué)生雖然已經(jīng)能串出具有數(shù)學(xué)特色的珠串，并能從中發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)規(guī)律，但由于珠串形狀繁多（星形、球形、心形等），大小各異，顏色又多種多樣，勢必導(dǎo)致學(xué)生觀察它的特征時受到多重無效影響。除此之外，男生對珠串的興趣遠低于女生；有些珠串只有兩三組，組數(shù)較少，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而且珠串個數(shù)較少，是有限的，不利于學(xué)生對個數(shù)較多甚至個數(shù)無限形成更好的感知。

（圖3）

反觀教材呈現(xiàn)的情境圖（如圖3），由近到遠依次是盆花、彩燈、彩旗，它們有規(guī)律地擺放著，且從左往右看隱喻著個數(shù)的無限或不確定性。擺放的順序（即周期規(guī)律）聚焦于顏色，簡潔、清爽、醒目，便于學(xué)生看出來，利于學(xué)生說出來。教材設(shè)問：盆花、彩燈、彩旗的排列有什么共同特點？意在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這些物體的排列，尋找它們排列的共同點。學(xué)生通過仔細觀察與比較，可以體會到“盆花、彩燈、彩旗的排列都是有規(guī)律的”“三種物體都是一組一組地排列的”“同一種物體中，每組的排列完全相同”。學(xué)生獲得的這些體會與認知，就是對簡單周期現(xiàn)象的初步感受。

可見，引例素材的選擇，不能只考慮學(xué)生的已有經(jīng)驗，而應(yīng)圍繞相關(guān)學(xué)習內(nèi)容，挖掘其核心的本質(zhì)要素，為學(xué)生的探索作清晰簡明的素材準備。

三、“橫向數(shù)學(xué)化”的效度重構(gòu)與教學(xué)啟示

教學(xué)規(guī)律探索課，教師應(yīng)深入分析教材例題蘊藏的體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的核心要素，為學(xué)生提供合適的引例，給予他們充分的時間與空間，讓他們觀察、交流與討論，逐步明晰引例中隱含的內(nèi)在規(guī)律。如果仍要用珠串作為引例，就要精簡珠串的形與色，或形同色不同，或色同形不同，還要有“無限”的痕跡體現(xiàn)，比如在出示的學(xué)生作品圖的后面加上“……”，便于數(shù)學(xué)化的橫向演進。

另外，筆者注意到，教材中對于“周期現(xiàn)象”的概念揭示，是在學(xué)生探究完盆花、彩燈、彩旗的排列規(guī)律，并能正確推理出第幾個是哪種顏色之后?！巴皇挛铩薄耙来沃貜?fù)出現(xiàn)”這些“高效能”的數(shù)學(xué)化用詞出現(xiàn)略顯滯后，不利于學(xué)生表達規(guī)律。而上述案例中，教師以珠串作引例揭示數(shù)學(xué)概念又顯過早，不利于學(xué)生充分感知與體驗。因此，可以調(diào)整為在學(xué)生判斷其他珠串是否也有這種規(guī)律后再揭示概念。隨后，可以補充一個教學(xué)環(huán)節(jié)——舉例生活中的周期現(xiàn)象，實現(xiàn)“生活數(shù)學(xué)化”與“數(shù)學(xué)生活化”的雙向關(guān)聯(lián)，使學(xué)生更加高效地經(jīng)歷與體悟 “橫向數(shù)學(xué)化”的過程，也為后面“縱向數(shù)學(xué)化”的符號化表達與應(yīng)用提供有力的平臺支撐。

綜上所述，要有效地實現(xiàn)“橫向數(shù)學(xué)化”，筆者認為，教師應(yīng)做到以下幾點：一是對選用的例題素材進行篩選與優(yōu)化，要彰顯教學(xué)內(nèi)容的基本要素；二是合理把握概念揭示的時機；三是注重原生態(tài)資源對數(shù)學(xué)化過程的層次推進；四是關(guān)注全體學(xué)生的情感調(diào)度，讓現(xiàn)實情境適合每一位學(xué)生。只有這樣，才能更好地體現(xiàn)教材味、學(xué)生味、數(shù)學(xué)味，提升“橫向數(shù)學(xué)化”的效度。

G623.5

A

1005-6009（2016）44-0063-02

1.臧亞麗，江蘇省常州市新北區(qū)新華實驗小學(xué)（江蘇常州，213127），一級教師；2.姚建法，江蘇省常州市新北區(qū)新華實驗小學(xué)（江蘇常州，213127）副校長，高級教師，常州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，常州市數(shù)學(xué)教師基本功競賽一等獎獲得者。