楊一軍，趙 鑫，王江濤，鄒 峰，姜恩華

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

電磁能量和角動(dòng)量守恒的一致性討論

楊一軍，趙 鑫，王江濤，鄒 峰，姜恩華

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

通過(guò)分析處于變化外磁場(chǎng)中帶電導(dǎo)體的行為，發(fā)現(xiàn)各種形式能量同時(shí)出現(xiàn)的現(xiàn)象，經(jīng)計(jì)算，給出電磁能流、電磁能量、焦?fàn)枱崮芎蜋C(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)能量間關(guān)系，并用電磁體系的角動(dòng)量守恒定律加以佐證，說(shuō)明守恒律的一致性.

電場(chǎng)；磁場(chǎng)；電磁能量；電磁角動(dòng)量

0 引言

近年來(lái)，討論電磁能量的文獻(xiàn)不斷出現(xiàn)［1-3］，電磁能量成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)之一，但同時(shí)涉及到電磁能流、機(jī)械能量以及焦耳熱能的報(bào)道尚不多見(jiàn).本文通過(guò)分析處于變化磁場(chǎng)中帶電導(dǎo)體圓柱的行為，發(fā)現(xiàn)當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí)，部分電磁能量以能流形式經(jīng)閉合高斯面流出，面內(nèi)電磁能量減少；同時(shí)又有部分電磁能量轉(zhuǎn)為焦耳熱被消耗；還有一部分轉(zhuǎn)為體系的機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)能量.經(jīng)計(jì)算說(shuō)明在電磁體系能量轉(zhuǎn)化過(guò)程中，以不同能量形式同時(shí)出現(xiàn)的相互關(guān)系，給出帶電體系電磁能量守恒的全面、完整圖像.經(jīng)電磁體系角動(dòng)量守恒定律和歐姆定律的佐證，表明結(jié)果的正確性，同時(shí)也說(shuō)明因轉(zhuǎn)動(dòng)引起的附加磁場(chǎng)滿足楞次定律的要求.

1 模型的建立和計(jì)算

對(duì)于高為h、半徑為R、電阻率為ρ的帶電導(dǎo)體圓柱，在h?R條件下，可略去邊緣效應(yīng)，認(rèn)為電荷以面電荷形式均勻分布于外表面，這時(shí)庫(kù)侖場(chǎng)Ec僅有徑向分量

其中σ為面電荷密度.將其置于如圖1所示的外磁場(chǎng)中，當(dāng)外磁場(chǎng)恒定時(shí)，體系處于穩(wěn)定狀態(tài).現(xiàn)以帶電導(dǎo)體圓柱旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸為z軸、中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立柱坐標(biāo)系，并以z軸為縱軸，做高為（ll＜h），半徑為r′（r′＞R）的柱形高斯面（如圖1所示），考察外磁場(chǎng)變化時(shí)體系的行為（設(shè)B0隨時(shí)間減?。?根據(jù)電磁體系能量守恒定律［4］，有

圖1 圓柱形高斯面

式（2）表明：在單位時(shí)間內(nèi)，由高斯面外部流入的電磁能量，等于電磁場(chǎng)對(duì)帶電體系做的功和面內(nèi)電磁能量的增加.將式（2）變形在柱坐標(biāo)系下展開(kāi)有

其中Ei為磁場(chǎng)變化時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng).在B0(r,θ,z,t)=B0(t)ez條件下有

B′是由感應(yīng)電場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的感應(yīng)電流產(chǎn)生，在軸對(duì)稱、無(wú)窮長(zhǎng)條件下可利用螺線管模型，由安培環(huán)路定理∮H?dl=∫j?dS=∫Ei?dS/ρ得到

B″是變化的電磁場(chǎng)力矩作用于導(dǎo)體圓柱，使其以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，面電荷隨柱體旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生面電流α(=σω×R)所形成的附加磁場(chǎng)，表達(dá)式為

由楞次定律不難判斷，在外磁場(chǎng)B0隨時(shí)間減小時(shí)，其方向沿z軸正向，與式（6）一致.為討論方便，假設(shè)：

1）外磁場(chǎng)B0僅隨時(shí)間作線性減小變化，有

2）圓柱質(zhì)量足夠大，加速緩慢，有

結(jié)合上述假設(shè)條件，略去輻射場(chǎng)，將式（1）、（4）～（6）帶入式（3），結(jié)合對(duì)稱性，對(duì)圖1高斯面可得：?jiǎn)挝粫r(shí)間流入的電磁能量（式（2）左端）為

根據(jù)式（7）知式（9）結(jié)果為負(fù)，表示有電磁能量向系統(tǒng)外流出，體系內(nèi)電磁能量減少.而單位時(shí)間面內(nèi)電磁能量的減小量（式（2）右端第2項(xiàng)）可表示為

可以看到，高斯面內(nèi)電磁能量減少由3部分組成：第一為式（10）右端第一項(xiàng)，是經(jīng)高斯面與外界交換的能量（當(dāng)B0隨時(shí)間減小時(shí)，值為正，表示電磁能量減少），說(shuō)明高斯面內(nèi)電磁能量經(jīng)界面流出后減少，與式（9）計(jì)算自洽；第二是式（10）右端第二項(xiàng)，恒大于零，是體系消耗的焦耳熱；最后一部分是結(jié)果中的第三項(xiàng)，是帶電導(dǎo)體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能對(duì)時(shí)間的變化率，反映電磁能量轉(zhuǎn)為機(jī)械能.上述計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)高斯面內(nèi)電磁能量減少時(shí)，一部分流出界面，一部分轉(zhuǎn)為焦?fàn)枱?，還有一部分轉(zhuǎn)為機(jī)械能量.

最后得到電磁場(chǎng)對(duì)帶電體系在單位時(shí)間所做功（式（2）右端第一項(xiàng)）為

式（11）表明，若不考慮過(guò)程，僅從結(jié)果考察，則場(chǎng)量在變化時(shí)，對(duì)帶電體系所做功一部分轉(zhuǎn)為焦耳熱，一部分轉(zhuǎn)為體系的轉(zhuǎn)動(dòng)能量，與能流無(wú)關(guān).

2 討論

2.1 焦耳熱

根據(jù)Ohm定律的微分形式，單位時(shí)間的焦耳熱能為

2.2 機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)能量

由電磁體系角動(dòng)量守恒表達(dá)式［5］，其對(duì)時(shí)間的變化率為

其中，T電磁場(chǎng)角動(dòng)量流密度張量

式（13）右端第一項(xiàng)為

考慮到上、下底面的對(duì)稱性，積分時(shí)抵消為零，（13）式右端第2項(xiàng)為

則按帶電體系角動(dòng)量守恒定律，有

在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)條件下，轉(zhuǎn)動(dòng)能量對(duì)時(shí)間變化率為

將式（17）代入式（18）可知，式（10）第三項(xiàng)為體系獲得的轉(zhuǎn)動(dòng)能量.同時(shí)由式（17）知，轉(zhuǎn)動(dòng)沿z軸正向，滿足楞次定律.不難理解，電磁體系的能量守恒和角動(dòng)量守恒都源于麥克斯韋方程，遵循自然界普遍規(guī)律，在處理同一問(wèn)題時(shí)應(yīng)一致.

3 結(jié)論

處于外磁場(chǎng)中帶電導(dǎo)體，當(dāng)磁場(chǎng)變化時(shí)，高斯面內(nèi)的電磁能量不僅通過(guò)界面以能流形式與外界進(jìn)行交換，也有部分轉(zhuǎn)為焦耳熱能以及體系的轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械能量，給出同時(shí)出現(xiàn)各種形式能量情況下帶電體系能量守恒定律的完整圖像.經(jīng)電磁體系的角動(dòng)量守恒定律和歐姆定律佐證，說(shuō)明體系滿足能量守恒，表明兩個(gè)守恒律的一致性.

［1］苑新喜.微波諧振腔運(yùn)動(dòng)時(shí)電磁場(chǎng)的能量和動(dòng)量［J］.雷達(dá)科學(xué)與技術(shù)，2016，14（2）：198-201.

［2］趙志剛，丁旭升，劉福貴，等.微型電磁式振動(dòng)能量采集器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與仿真研究［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，27（8）：255-260.

［3］張瑜，趙俊杰，閆灑灑，等.圓柱型諧振腔最大電磁能量耦合方法［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，41（1）：50-54.

［4］STRAUB A R，Unbehauen.Conservation of quasi-energy in electrodynamics［J］.Electrical Engineer，2004，86：179.

［5］蔡圣善.經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1985：48-56.

Discussion on the Consistency of the Conservation of Electromagnetic Energy and Angular Momentum

YANG Yijun，ZHAO Xin，WANG Jiangtao，ZOU Feng，JIANG Enhua
（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，235000,Huaibei，Anhui,China）

By analyzing a charged conductor placed in changing magnetic field，it is found that a phenomena of different energy forms appeared simultaneously.The relations among the energy flux，electromagnetic ener?gy，Joule heat and the rotational mechanical energy are presented by calculating，and it is verified by using the conservation of angular momentum for the electromagnetic system.Consequently，the consistency of the conversation laws for the charged system is given.

electric field；magnetic field；electromagnetic energy；angular momentum for the electromagnetic

O 441

A

2095-0691（2016）04-0048-04

2016-09-21

安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究一般項(xiàng)目（KJ2016B005）；安徽省教育廳名師工作室（2015msgzs138）；一般教研項(xiàng)目（2014jyxm166，2015jyxm163）；線性電子線路資源共享課（2012gxk057）

楊一軍（1956- ），男，浙江寧波人，教授，研究方向：電子信息.