王洪彬,武怡宏(淄博師范高等?？茖W(xué)校, 山東 淄博 255130)

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Littlewood-Paley算子交換子的Lipschitz估計(jì)

王洪彬,武怡宏(淄博師范高等?？茖W(xué)校, 山東 淄博 255130)

本文應(yīng)用變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的原子分解定理, 證明了由Littlewood-Paley算子和Lipschitz函數(shù)生成的交換子在變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的有界性.

Littlewood-Paley算子；交換子；Herz型Hardy空間；變指標(biāo)；Lipschitz估計(jì)

一、預(yù)備知識和記號

賦予如下Luxemburg-Nakano范數(shù)

‖f‖Lp(?)(Ω)=

則Lp(?)(Ω)是Banach空間, 稱之為變指標(biāo)Lebesgue空間, 或者可以簡單地看作是變指標(biāo)Lp空間, 因?yàn)樗鼈兺茝V了標(biāo)準(zhǔn)的Lp空間: 如果p(x)=p是常數(shù), 那么Lp(?)(Ω)與Lp(Ω)是等距同構(gòu)的. 變指標(biāo)Lp空間是Musielak-Orlicz空間的一種特殊情形.

Lipβ(n)=

定義 1.1[5]令α∈, 0

在此基礎(chǔ)上我們給出變指標(biāo)Herz型Hardy空間的定義及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空間, 它是由無窮可微且在無窮遠(yuǎn)處迅速遞減的函數(shù)所構(gòu)成的,S'(n)表示S(n)的對偶空間. 令GNf(x)為f(x)的grand極大函數(shù), 其定義為

定義 1.2[7]令α∈, 0n+1.

定義 1.3[7]令nδ2α<,

q(·)∈Ρ(n)且非負(fù)整數(shù)s≥[α-nδ2].

(2) ‖a‖Lq(·)(n).

(1)' 對某個r≥1有suppa?B(0,r).

引理 1.1[7]令nδ2α<, 0

其中下確界是對f的所有上述分解而取的.

其中下確界是對f的所有上述分解而取的.

在主要結(jié)論的證明中，我們還需要下面的幾個引理.

引理 1.2[1]令p(·)∈Ρ(n). 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp'(·)(n), 則fg在n上可積并且

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被稱為廣義H?lder不等式.

引理 1.3[5]令p(·)∈Β(n). 則存在正常數(shù)C使得對所有n中的球B和所有可測子集S?B, 都有

其中δ1,δ2是常數(shù)且滿足0<δ1,δ2<1(注意在整篇論文中δ1, δ2都同引理1.3中的一樣).

引理 1.4[5]設(shè)p(·)∈Β(n). 則存在常數(shù)C>0使得對所有n中的球B, 都有

二、主要結(jié)論及證明

給定ε>0和函數(shù)ψ滿足下面三個條件：

(1)∫nψ(x)dx=0,

定義Littlewood-Paley算子為

且ψt(x)=t-nψ(x/t),t>0.

令b∈Lipβ(n), 由Littlewood-Paley算子和b生成的交換子[b,Sψ]定義為

[b,Sψ]f(x)=

其中Fb,t(f)(x,y)=

∫nψt(y-z)f(z)(b(x)-b(z))dz.

下面我們給出交換子[b,Sψ]在變指標(biāo)Herz型Hardy空間中的有界性.

定理 令b∈Lipβ(n),

0

因此, 我們得

=:I1+I2.

(1)

我們首先估計(jì)I1. 由aj的消失矩條件和廣義H?lder不等式, 我們得

所以由Iβ的(Lq1(?)(n),Lq2(?)(n))有界性, 上式以及引理1.2-1.4, 我們有

‖[b,Sψ](aj)χk‖Lq2(·)(n)C2jε+kβ-k(n+ε)‖aj‖Lq1(·)(n)‖χBj‖Lq1'(·)(n)‖χk‖Lq2(·)(n)

(2)

I1=

(3)

I1

(4)

現(xiàn)在我們來估計(jì)I2. 類似于I1, 我們可得

‖[b,Sψ](aj)χk‖Lq2(·)(n)C2j(β-n)‖aj‖Lq1(·)(n)‖χBj‖Lq1'(·)(n)‖χk‖Lq2(·)(n)

I2=

(5)

I2

(6)

結(jié)合(1)和(3)-(6), 我們有

因此, 定理得證.

[1]Kovácik O, Rákosník J. On spaces Lp(x)and Wk,p(x)[J]. Czechoslovak Math J, 1991, 116(41): 592-618.

[2]Diening L, Harjulehto P, H?st? P, et al. Lebesgue and Sobolev spaces with variableExponents[M]. Heidelberg: Springer, Lecture Notes in Math, vol. 2017, 2011.

[3]Diening L, Riesz potential and Sobolev embeddings of generalized Lebesgue and Soblev spacesLp(?)and Wk, p(?)[J]. Math Nachr, 2004, 268(1), 31-43.

[4]Xu J S, Variable Besov and Triebel-Lizorkin spaces[J]. Ann Acad Sci Fenn Math, 2008, 33, 511-522.

[5]Izuki M, Boundedness of sublinear operators on Herz spaces with variable exponent and application to wavelet characterization[J]. Anal Math, 2010, 36(1), 33-50.

[6]Nakai E, Sawano Y, Hardy spaces with variable exponents and generalized Campanato spaces[J]. J Funct Anal, 2012, 262(9), 3665-3748.

[7]Wang H B, Liu Z Z, The Herz-type Hardy spaces with variable exponent and their applications[J]. Taiwanese J Math, 2012, 16(4), 1363-1389.

[8]Wang H B, Liu Z Z, The wavelet characterization of Herz-type Hardy spaces with variable exponent[J]. Ann Funct Anal, 2012, 3(1): 128-141.

[9]Wang H B, Liu Z Z, Some characterizations of Herz-type Hardy spaces with variable exponent[J]. Ann Funct Anal, 2015, 6(2), 224-243.

[10]Wang H B, Liu Z Z, Local Herz-type Hardy spaces with variable exponent[J]. Banach J Math Anal, 2015, 9(4), 359-378.

[11]王洪彬, 變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的Marcinkiewicz積分[J]. 山東理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2015, 29(4), 16-20.

[12]王洪彬, 變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的齊性分?jǐn)?shù)次積分[J]. 魯東大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2015, 31(2), 107-111.

[13]王洪彬, 武怡宏, 變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的Littlewood-Paley算子[J]. 淄博師專學(xué)報, 2015, (2), 71-74.

(責(zé)任編輯：胡安波)

By using the atomic decomposition characterizations of Herz-type Hardy spaces with variable exponent, some boundedness of the commutators generated by Littlewood-Paley operators and Lipschitz functions on the Herz-type Hardy spaces with variable exponent is obtained.

Littlewood-Paley operator；commutator；Herz-type Hardy space；variable exponent；Lipschitz estimate

2015-11-05

王洪彬(1981-)男，博士，山東淄博人，淄博師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系教師，主要從事調(diào)和分析方向研究；武怡宏(1986-)女，碩士，山東濰坊人，淄博師范高等?？茖W(xué)校招生就業(yè)處教師，主要從事英語教育研究。

O174.2

A

(2016)02-0045-04