安徽省太和中學(xué) 岳 峻

空間角的向量求法

安徽省太和中學(xué) 岳 峻

在立體幾何試題中，空間角的求解是常考查的問題，傳統(tǒng)的解法：作圖、證明、解三角形，需要的輔助線多，技巧性強(qiáng)，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)?？臻g向量的引入使得很多較難的空間角的計(jì)算問題，有了解決的通法，減小了學(xué)習(xí)度量問題的難度。

一、求異面直線所成的角

設(shè)a、b分別為異面直線a、b的方向向量，異面直線所成的角α的范圍是，而向量夾角θ的范圍［0，π］，則。

例1 如圖1，三棱柱OAB-O1A1B1中，平面O1OBB1⊥平面OAB，，求異面直線A1B、AO1所成的角的余弦值。

圖1

圖2

評(píng)注 異面直線所成的角的求法有兩類：

其一，向量法，可分為自由向量法、坐標(biāo)向量法兩種，如本例所示。

其二，轉(zhuǎn)化法，把兩異面直線中的一條平移到另一條直線上的某一點(diǎn)，或把兩異面直線都平移經(jīng)過空間同一點(diǎn)，以構(gòu)造出易于求解的平面角。思路如下：選點(diǎn)→平移→定角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解三角形。

二、求線面角問題

設(shè)l是斜線l的方向向量，n是平面α的法向量，則斜線l與平面α所成的角θ滿足。

例2 四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)。

（1）證明：MN∥平面PAB。

（2）求直線AN與平面PMN所成角θ的正弦值。

圖3

圖4

評(píng)注 直線與平面所成的角的求法有兩類：

其一，向量法，如本例提供的方法。

其二，轉(zhuǎn)化法，思路如下：選點(diǎn)→作垂線→定角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求直角三角形的內(nèi)角。如本例思路如下：

圖5

三、求二面角問題

方法一：設(shè)α∩β=l，在α內(nèi)a⊥l，在β內(nèi)b⊥l，如圖6，則二面角α-l-β的平面角θ滿足（正負(fù)號(hào)由具體圖形確定）。

方法二：設(shè)n1、n2是二面角α-l-β的兩個(gè)平面的法向量，如圖7，則二面角α-l-β的平面角θ滿足（正負(fù)號(hào)由具體圖形確定）。

圖6

圖7

例3 如圖8，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5， AC=6，點(diǎn)E、F分別在AD、CD上，，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，。

圖8

（1）證明：D′H⊥平面ABCD。

（2）求二面角B-D′A-C的正弦值。

圖9

評(píng)注 平面與平面所成二面角的平面角的求法有三類：

其一，向量法，如本例提供的方法。

圖10

例4 在如圖11所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線。

（1）已知G、H分別為EC、FB的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC。

圖11

圖12

圖13

總之，利用空間向量解決立體幾何的空間角問題，都可以將幾何問題用向量形式表示，通過向量的運(yùn)算，得出相應(yīng)的幾何結(jié)論。