龐岳峰，吳小東，牛攀峰

(酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心 指揮控制站，甘肅 酒泉732750)

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測(cè)控設(shè)備引導(dǎo)跟蹤數(shù)據(jù)插值方法

龐岳峰，吳小東，牛攀峰

(酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心 指揮控制站，甘肅 酒泉732750)

航天測(cè)控設(shè)備在引導(dǎo)跟蹤時(shí)需要將轉(zhuǎn)換后的方位、俯仰角度進(jìn)行插值，在工程中盡可能采用易軟件實(shí)現(xiàn)且不影響插值精度的插值方法。文中在介紹目前常用的Lagrange插值、Newton插值、Neville插值和Aitken插值4種方法原理的基礎(chǔ)上，分析了4種插值下待插值點(diǎn)位置對(duì)插值結(jié)果的影響，通過實(shí)際算例得到結(jié)論。并討論了4種方法在測(cè)控設(shè)備引導(dǎo)跟蹤數(shù)據(jù)插值方面的優(yōu)缺點(diǎn)，得出在航天測(cè)控設(shè)備引導(dǎo)跟蹤插值時(shí)使用Neville算法最好的結(jié)論。

測(cè)控設(shè)備；引導(dǎo)跟蹤；Neville插值；Lagrange插值

航天測(cè)控設(shè)備在航天器發(fā)射任務(wù)中主要承擔(dān)目標(biāo)跟蹤、測(cè)量、控制任務(wù)，程序引導(dǎo)跟蹤是測(cè)控設(shè)備的跟蹤方式之一[1]。程序引導(dǎo)跟蹤原理是事先將目標(biāo)理論彈道裝訂于測(cè)控設(shè)備跟蹤單元，收到起飛信號(hào)后跟蹤單元依據(jù)理論彈道轉(zhuǎn)換為設(shè)備跟蹤的A-E-R(方位-俯仰-距離)，最后控制天線按此A-E角運(yùn)轉(zhuǎn)。目前測(cè)控設(shè)備裝訂的彈道都是1組/s，設(shè)備在進(jìn)行引導(dǎo)時(shí)采用Lagrange算法插值為20組/s或者40組/s。

插值點(diǎn)在已知節(jié)點(diǎn)中間的稱為內(nèi)插，在節(jié)點(diǎn)外面的稱為外推。插值的方法有多種，目前常用的有Lagrange插值、Newton插值、Neville插值和Aitken插值等[2-7]，這些方法在GPS衛(wèi)星精密星歷差值方面的研究較為廣泛[8-10]，在航天測(cè)控設(shè)備引導(dǎo)跟蹤數(shù)據(jù)的插值研究較少。

1 插值方法及原理

1.1 Lagrange插值

在數(shù)值計(jì)算方面，關(guān)于多項(xiàng)式插值的方法有多種，其中拉格朗日插值法是既簡單而又實(shí)用的方法。

設(shè)有行n個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)刻t1,t2,…,tn，對(duì)應(yīng)的理論彈道角度為f(t1),f(t2),…,f(tn)，則任意時(shí)刻的經(jīng)過這n個(gè)點(diǎn)的n-1階拉格朗日插值多項(xiàng)式P(t)的表達(dá)式為[3]

(1)

式中,Kn,i(t)是關(guān)于n個(gè)點(diǎn)xi(i=1,2,…,n)的拉格朗日基函數(shù)，其具體形式為

(2)

1.2 Neville插值

Neville插值是基于這樣一個(gè)事實(shí)：對(duì)于兩個(gè)低次多項(xiàng)式經(jīng)過線性插值，能夠得到高一次的插值多項(xiàng)式。如對(duì)于3個(gè)二維點(diǎn)(t0，y0)，(t1，y1)和(t2，y2)，yi=f(ti) ，i=0,1,2。設(shè)(x0，y0)和(t1，y1)兩點(diǎn)的Lagrange線性插值為P0,1(t)，(t1，y1)和(t2，y2)兩點(diǎn)的Lagrange線性插值為P1,2(t)。則

(3)

(4)

容易驗(yàn)算，P0,1,2(ti)=yi，i=0,1,2。即此時(shí)P0,1,2(t)為f(t)關(guān)節(jié)節(jié)點(diǎn)t0，t1，t2的的二次插值多項(xiàng)式。這種插值方法記為Neville插值。

進(jìn)一步，用類似的方法定義P2,3(t),P3,4(t)，…，P(n-2),(n-1)(t)。對(duì)高階多項(xiàng)式進(jìn)行類似定義，直至P0,1,2,...,(n-1)(t)，它是對(duì)所有N個(gè)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式的值，即所求的解。各個(gè)不同的P形成一張“表”，左邊為“祖先”，一直到右邊的一個(gè)“后代”，Neville插值計(jì)算如表1所示[5]。

表1 Neville插值計(jì)算表格

Neville方法用遞推的方法填寫表中的數(shù)據(jù)，從左到右每次一列，其遞推公式為

(5)

其中，i=0,1,…,n，m=0,1,…,n-i。

1.3 Newton插值

同樣設(shè)有行n個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)刻t1,t2,tn，對(duì)應(yīng)的理論彈道角度為f(t1),f(t2),…,f(tn)，則牛頓插值的表達(dá)式為[6]

Pn(t)=f[t1]+f[t1,t2](t-t1)+…+

f[t1,t2…tn](t-t1)(t-t2)…(t-tn-1)

(6)

其中，f[t1,t2…tk]為t1,t2…tk的k階差商，并規(guī)定

體育產(chǎn)業(yè)的崛起，為體育特色小鎮(zhèn)發(fā)展提供了重要的資金支持，也為體育特色小鎮(zhèn)發(fā)展提供了重要的人員循環(huán)參與的動(dòng)力保障。當(dāng)前，國家對(duì)體育事業(yè)的大力支持是體育產(chǎn)業(yè)發(fā)展的黃金時(shí)期，也是體育特色小鎮(zhèn)建設(shè)的絕佳機(jī)遇。

f[t1]=f(t1)

f[t1,t2]=(f(t1)-f(t2))(t1-t2)

f[t1,t2,t3]=(f(t1,t2)-f(t1,t3))(t1-t3)

f[t1,t2…tn]=(f(t1,t2…tn-1)-f(t1,t2…tn))(t1-tn)

而Pn(t)即為所需內(nèi)插節(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)位置的插值結(jié)果。

1.4 Aitken插值

采用與Neville插值不一樣的節(jié)點(diǎn)，產(chǎn)生了另一種不同的逐步線性插值方法—Aitken插值，Aitken插值的構(gòu)造是基于這樣的直觀想象：平面上的兩個(gè)點(diǎn)可以連成一條直線，對(duì)應(yīng)一個(gè)線性函數(shù)，把線性函數(shù)看作形式點(diǎn)，經(jīng)線性組合構(gòu)成二次函數(shù)，將二次函數(shù)再看作形式點(diǎn)，經(jīng)線性組合構(gòu)成三次函數(shù)。

表2 Aitken插值計(jì)算表格

Aitken插值用遞推的方法填寫表中的數(shù)據(jù)，從左到右每次一列，其遞推公式為

(7)

2 實(shí)例分析

選用火箭廠家提供的某次任務(wù)20點(diǎn)/s的精確彈道分析，把它作為真值，然后抽取1點(diǎn)/s彈道，用不同插值方法內(nèi)插結(jié)果進(jìn)行比較。此時(shí)，插值點(diǎn)位于節(jié)點(diǎn)中間附近位置。分別運(yùn)用4種內(nèi)插方法，使用不同階數(shù)得到的A-E-R以及它們與真值的差值如表3所示。

表3 插值點(diǎn)位于中間時(shí)的插值結(jié)果及其與真值的差值

表3中發(fā)現(xiàn)當(dāng)插值階數(shù)>6階時(shí)，4種插值方法表現(xiàn)出一致性，4種插值方法的角度誤差都<0.015°，距離誤差<0.05 km，滿足目前測(cè)控設(shè)備跟蹤精度的要求(光測(cè)、雷達(dá)、遙測(cè)和統(tǒng)一測(cè)控系統(tǒng)中對(duì)精度最高的要求是隨機(jī)誤差<0.02°)。但是隨著階數(shù)的提高，插值精度并沒有明顯提高。插值階數(shù)為5階以下時(shí)精度有明顯下降，不能滿足要求。當(dāng)插值點(diǎn)位于所選取節(jié)點(diǎn)的兩端時(shí)，選取精確彈道的另一個(gè)點(diǎn)來分析，此時(shí)刻真值如表4所示，4種方法的插值結(jié)果如表4所示。

表4 插值點(diǎn)位于兩端時(shí)的插值結(jié)果及其與真值的差值

通過表4，發(fā)現(xiàn)當(dāng)插值點(diǎn)不在節(jié)點(diǎn)中央時(shí)，4種插值方法仍然表現(xiàn)出一致性，且都在6階時(shí)達(dá)到精度最高，隨著插值階數(shù)的增大精度反而迅速降低。

通過表3和表4對(duì)比坐標(biāo)插值結(jié)果和真值的差來看，發(fā)現(xiàn)插值點(diǎn)在中間時(shí)的精度高于插值點(diǎn)在兩端的情況。對(duì)于插值階數(shù)的選擇，4種方法6階的插值都可以達(dá)到要求，對(duì)于插值點(diǎn)不在節(jié)點(diǎn)中間的情況，無論采用哪種插值方法，相同階數(shù)的插值精度總是比插值點(diǎn)在中央的情況要低，因此，在選擇插值節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，要盡量使插值點(diǎn)位于節(jié)點(diǎn)的中間，同時(shí)盡量選取偶數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)。

3 結(jié)束語

由本文算例可以得到以下結(jié)論：

(1) Lagrange插值、Newton插值、Neville插值和Aitken插值用于內(nèi)插程序引導(dǎo)數(shù)據(jù)，當(dāng)插值階數(shù)>6階(包括6階)且插值點(diǎn)位于節(jié)點(diǎn)中間時(shí)，插值結(jié)果表現(xiàn)出相當(dāng)?shù)囊恢滦裕逯稻瓤梢詽M足測(cè)控設(shè)備要求。同時(shí)，更高階的插值對(duì)于精度提高的貢獻(xiàn)非常有限，反而增加插值的復(fù)雜程度。在內(nèi)插時(shí)盡量選取節(jié)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，使所求時(shí)刻盡可能位于節(jié)點(diǎn)的中間，插值的誤差也最??；

(2) Lagrange插值的模型簡單，是經(jīng)典的插值方法。但是由于拉格朗日的基函數(shù)和每一個(gè)節(jié)點(diǎn)有關(guān)，使得原來的數(shù)據(jù)都不能利用，要重新計(jì)算，計(jì)算量大。當(dāng)插值階數(shù)較大時(shí)，Lagrange高次插值易產(chǎn)生所謂的龍格震蕩現(xiàn)象，降低了多項(xiàng)式逼近的整體精確性；

(3) Aitken插值、Neville插值及Newton插值，其最后結(jié)果都基本相同。Neville插值模型簡單、計(jì)算量小，沒有龍格現(xiàn)象，程序?qū)崿F(xiàn)方便靈活，易于增加和減少節(jié)點(diǎn)而不降低程序的效率，是一種較實(shí)用的內(nèi)插方法。

[1] 魯盡義.航天測(cè)控系統(tǒng)測(cè)角分系統(tǒng)[M].西安:中國電子科技集團(tuán)公司第三十九研究所情報(bào)室,2008.

[2] 沈劍華.數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)[M] .上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,1999.

[3] 李乃成,鄧建中.數(shù)值計(jì)算方法[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2002.

[4] 易太義,陳道琦.數(shù)值分析[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,1998.

[5] 田德宇,葉留青.Aitken-Neville-Newton插值法計(jì)算過程的等價(jià)性[J].河南科學(xué),2007,25(6):885-887.

[6] 李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M].北京: 清華大學(xué)出版社,2010.

[7] 陳啟宏.m×n網(wǎng)函數(shù)插值及其Aitken逐次插值結(jié)構(gòu)[J].蘇州城建環(huán)保學(xué)院學(xué)報(bào),1994(3):1-8.

[8] 劉迎春,林寶軍,張曉坤.一種衛(wèi)星精密星歷的插值方法[J].飛行器測(cè)控學(xué)報(bào),2004,23(4):43-46.

[9] 邱蕾,廖遠(yuǎn)琴,花向紅.基于IGS精密星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)插值[J].測(cè)繪工程報(bào),2008,17(4):15-18.

[10] 劉靖曄,劉立龍,宋元明,等.Aitken插值法插值GPS衛(wèi)星精密坐標(biāo)[J].地理空間信息,2011,9(6):75-76.

Measurement and Control Equipment Tracking Data Interpolation Method

PANG Yuefeng, WU Xiaodong, NIU Panfeng

(Department of Command and Control Station, Jiuquan Satellite Launch Center, Jiuquan 732750, China)

Interpolation of the converted azimuth and elevation angle is required in the measurement and control equipment, and the interpolation method should be as simple as possible without affecting the accuracy of interpolation. The commonly used methods of the Lagrange interpolation, Newton interpolation, Neville interpolation and Aitken interpolation are introduced, and the effects of the interpolation points on the interpolation results by these four methods are analyzed．The conclusion is obtained through the calculation of a practical example. Finally, the advantages and disadvantages of the four methods are discussed. It is concluded that the Neville algorithm is the best interpolation for guiding the tracking interpolation of space measurement and control equipment．

measurement and control equipment; guide tracking; Neville interpolation; Lagrange interpolation

2015- 12- 29

龐岳峰(1980-)，男，工程師。研究方向：測(cè)控地面站信號(hào)處理。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.11.034

TP391.9

A

1007-7820(2016)11-118-04