李 影，徐伯慶

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093)

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一種基于壓縮感知的迭代重建算法

李 影，徐伯慶

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093)

迭代重建算法是一種經(jīng)典的CT圖像重建算法，適合于不完全投影數(shù)據(jù)的圖像重建，其缺點是重建速度慢。為提高圖像重建的質(zhì)量和速度，文中利用壓縮感知理論提出了一種改進的基于圖像全變差最小的迭代重建算法。該算法在迭代的不同階段對迭代初始值做不同處理，并在每次迭代結束后采用梯度下降法調(diào)整全變差。實驗結果表明，該算法不但提高了圖像重建質(zhì)量，同時也加快了迭代圖像的收斂速度。

迭代重建算法；壓縮傳感；圖像全變差

迭代圖像重建算法是一種經(jīng)典的CT圖像重建算法，其優(yōu)勢主要體現(xiàn)在投影數(shù)據(jù)不完全或投影角度缺失的情況下，該算法仍能獲得高質(zhì)量的重建圖像，其缺點是重建速度慢[1]。隨著并行計算理論及計算機技術的快速發(fā)展，迭代重建算法低速率的缺點已經(jīng)變成次要矛盾[2]。如何重建出更高質(zhì)量的圖像獲得更優(yōu)的算法性能，才是目前圖像重建領域內(nèi)學者們致力研究的問題。

近年發(fā)展起來的壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論表明，若圖像能在某個變換域稀疏表示，則可由遠少于奈奎斯特采樣數(shù)的投影觀測值足夠清晰地重建出原始圖像[3]。對于醫(yī)學CT圖像，由于同一器官內(nèi)部組織差異性較小，圖像具有局部平滑性，對其進行有限差分(Finite Difference)變換后，圖像符合稀疏條件[4]。

本文在經(jīng)典的迭代重建算法ART的基礎上，利用壓縮感知理論提出了一種改進的基于圖像全變差最小的迭代重建算法，并通過Shepp-logan頭模型仿真結果驗證了該算法的有效性。

1 傳統(tǒng)ART算法基本原理

ART算法先離散化重建模型，將待重建圖像f(x,y)看成是由N=n×n個正方形的非重疊的像素格組成的[5]，每個正方形的像素格的邊長為1，在每個像素格里的像素值是一個常數(shù)，用fj(1≤j≤M)表示第j個像素格的像素值。若用pi表示第i條射線的投影值，用wij表示第j個像素對第i條射線投影值的貢獻，即權重因子。根據(jù)成像的物理過程和相應的數(shù)學模型，則圖像向量f和投影向量p的關系可表示為

(1)

式(1)可用矩陣表示為

wr=p

(2)

代數(shù)方程組(1)一般采用迭代的方法來進行求解[6]。迭代公式為

(3)

2 基于壓縮感知的迭代重建算法

由壓縮感知理論與圖像重建的基本原理可知，二維CT圖像可通過求解如下有約束的最小化問題進行重建[7-8]

min‖ΨX‖l1s.tΦX=Y

(4)

其中，X為待重建圖像，X∈RN；Y為觀測向量，Y∈RM；Ψ為稀疏變換矩陣；Φ。由于CT梯度圖像具有稀疏性的先驗知識，常將其有限差分變換的 范數(shù)，即全變差(Total Variation，TV)作為優(yōu)化問題的目標函數(shù)[9]。若用f表示二維CT圖像，則其全變差為

‖f‖TV=∑i,j((fi,j-fi-1,j)2+(fi,j-fi,j-1)2)1/2

(5)

用N維向量F表示圖像，此時重構問題轉化為

min‖F(xiàn)‖TVs .tWF=P

(6)

其中，W為系統(tǒng)矩陣；P為投影數(shù)據(jù)。

文獻[10]先用傳統(tǒng)代數(shù)迭代重建算法得到滿足約束條件的原始圖像，然后在每次迭代結束后采用梯度下降法調(diào)整全變差，循環(huán)迭代得到最終圖像，可稱為ART-TVM算法。

本文在ART-TVM算法的基礎上，將此算法分成兩個階段，并根據(jù)投影角度數(shù)來設定迭代次數(shù)的臨界值，令k為整個算法的迭代次數(shù)，c為迭代次數(shù)的臨界值。當?shù)螖?shù)k小于臨界值c時為第一階段，將前一次完整迭代過程中所有子迭代值的平均值作為下一次迭代的初始值，使TVM所依賴的初始估計圖像達到一定質(zhì)量，在此基礎上，TVM修正更為有效；當?shù)螖?shù)k≥臨界值c時為第二個階段，為了保持圖像的邊緣，后幾次迭代不再進行平滑處理。

本文算法流程如下：

用f(k)表示第k次完整迭代結果;f(k)(i)表示第k次迭代過程中第i個方程的計算結果。

(1)對投影角度進行排序，使相鄰的訪問角度盡可能正交，從而加快收斂速度；

(2)將待重建圖f初始化，f(k=0)=0；

(3)按照式(3)，對f進行一次完整的迭代，得到f(k)；

3 實驗結果對比分析

實驗采用Shepp-logan頭模型圖像進行仿真驗證，圖像尺寸大小為128×128。下面將給出3組實驗，對傳統(tǒng)ART算法、ART-TVM算法以及本文中改進的TVM算法分別在180，90和30個投影角度進行比較。本文算法中的松弛因子，步長因子以及臨界值c在不同投影角度數(shù)下的設置如表1所示。

表1 不同投影角度數(shù)下的參數(shù)設置

實驗1 在這組實驗中，投影角度數(shù)為180個，圖1為傳統(tǒng)ART算法與ART-TVM算法以及本文算法的PSNR值隨迭代次數(shù)的變化曲線圖。并在圖2中分別列出了3者在不同次數(shù)迭代之后的重建結果。

圖1 180個投影角PSNR值變化曲線

圖2 180個投影角迭代結果圖比較

實驗2 在這組實驗中，投影角度數(shù)為90個，圖3中為傳統(tǒng)ART算法與ART-TVM算法以及本文算法的PSNR值隨迭代次數(shù)的變化曲線圖。并在圖4中分別列出了3者在不同次數(shù)迭代之后的重建結果。

圖3 90個投影角PSNR值變化曲線

圖4 90個投影角迭代結果圖比較

實驗3 在這組實驗中，投影角度數(shù)為30個，圖5中為傳統(tǒng)ART算法與ART-TVM算法以及本文算法的PSNR值隨迭代次數(shù)的變化曲線圖。并在圖6中分別列出了3者在不同次數(shù)迭代之后的重建結果。

圖5 30個投影角PSNR變化曲線

圖6 30個投影角迭代結果圖比較

由以上3組實驗可看出，在相同投影角度數(shù)下達到相同PSNR 時, 本文算法所需要的迭代次數(shù)遠少于傳統(tǒng)ART 算法以及ART-TVM算法，本文算法能更快地達到較好的質(zhì)量，在前幾次迭代時重建質(zhì)量提高得比較快，一般迭代了6、7次后PSNR值就能趨于平穩(wěn)。此外，相比于傳統(tǒng)的ART-TVM算法適用于投影角度稀疏的情況，本文中改進的TVM算法不僅適用于少量的投影角度，也同樣適用于較完備的投影角度。

4 結束語

本文利用壓縮感知理論提出了一種改進的基于圖像全變差最小的迭代重建算法。該算法在迭代的不同階段對迭代初始值做不同處理，并在每次迭代結束后采用梯度下降法調(diào)整全變差。對Shepp-logan標準CT 模型圖像進行重建的實驗結果表明，本文算法重建圖像的峰值信噪比和主觀視覺效果均優(yōu)于傳統(tǒng)的ART 算法與ART-TVM算法，值得進一步深入研究。

[1] 郭威.CT不完全投影數(shù)據(jù)重建算法研究[D].長春:吉林大學,2011.

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An Iterative Image Reconstruction Algorithm based on Compressed Sensing

LI Ying, XU Boqing

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093, China)

The iterative image reconstruction algorithm is a classic method for the image reconstruction of computed tomography (CT), which can recover the image from incomplete projection data. However, the Iterative image reconstruction algorithm suffers slow reconstruction speed. With the theory of compressed sensing, an improved algorithm based on the minimization of the image total variation (TV) is proposed to improve the quality of the recovered image and the speed of reconstruction. In the improved algorithm, the initial value of iteration differs in different stages of the iteration, and the total variation is adjusted by the gradient descend method after each iteration. Experimental results indicate that the proposed algorithm not only improves the quality of image reconstructed, but also increases the convergence speed of the iteration image.

iterative image reconstruction algorithm; compressed sensing; image total variation

2016- 01- 22

李影(1990-)，女，碩士研究生。研究方向：信號與信息處理。徐伯慶(1958-)，男，博士，副教授。研究方向：通信及圖像處理。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.11.037

TN919.8；TP391.41

A

1007-7820(2016)11-129-04