◎黃順舟 王力 祁佩 張崇印

低溫貯箱隔熱層打磨機器人的動力學仿真分析

◎黃順舟 王力 祁佩 張崇印

在低溫貯箱隔熱層機器人柔性自動打磨過程中，合理控制機器人末端執(zhí)行器運動軌跡可有效保證打磨質(zhì)量，因此需對打磨機器人進行動力學分析。本文采用廣義坐標形式的牛頓-歐拉方法對空間一般串聯(lián)機器人建立多體系統(tǒng)動力學方程，將六個關節(jié)的驅(qū)動角位移作為機器人系統(tǒng)的廣義坐標,根據(jù)打磨機器人各活動構(gòu)件幾何和物理參數(shù)，在驅(qū)動力給定的情況下，對打磨機器人動力學正問題進行了仿真分析。仿真結(jié)果表明打磨機末端執(zhí)行器走了一條非預期的波動的路徑。因此，為了獲得較好的打磨質(zhì)量，提供有效的機器人動力學建模與仿真方法是非常有意義的，同時本文動力學建模方法也為打磨機器人的主動控制算法提供了一定的基礎。

某型號低溫貯箱外壁噴需噴涂一層聚氨酯泡沫塑料（PU）作為隔熱材料（見圖1），聚氨酯泡沫塑料噴涂后表面凹凸不平（見圖2）?？紤]到減重、外形表面美觀、隔熱效果等因素，需進行打磨加工處理，打磨精度要求±2mm。

打磨亦稱磨削，是指用磨料、磨具切除工件上多余材料的加工方法，即在一定程度上去除前道工序加工所形成的凸層和痕跡，保證工件滿足形狀、尺寸、粗糙度等方面要求。

圖1　噴涂有隔熱材料的低溫貯箱

圖2　低溫貯箱隔熱層噴涂后表面凹凸不平

貯箱箱底結(jié)構(gòu)比較復雜，主要體現(xiàn)為：箱底為橢球形曲面結(jié)構(gòu)；箱底在制造過程中存在焊接變形，因而并非規(guī)則的曲面結(jié)構(gòu)；箱底有很多法蘭等凸起物；箱底邊緣為短殼結(jié)構(gòu)。箱底的結(jié)構(gòu)復雜性導致其隔熱層打磨難度較大，也較難實現(xiàn)自動化打磨，此外隔熱層打磨過程中不能碰撞法蘭等凸起物，否則易導致貯箱損壞而報廢。目前，該型箱底仍采用人工手動打磨方法，不僅加工周期長，生產(chǎn)效率低，精度差，產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定性差，而且人工勞動強度大，作業(yè)環(huán)境也差。

由于實際產(chǎn)品結(jié)構(gòu)復雜且制造偏差較大難以直接采用基于理論模型的自動專機打磨，需研究基于機器人的柔性自動打磨技術(shù)（如圖3所示），以滿足不同類型尺寸貯箱打磨的加工要求，同時保證隔熱層打磨質(zhì)量及其穩(wěn)定性。在機器人實際打磨前，也有必要分析機器人打磨運動過程的動力學性能，以便對機器人進行運動控制。

針對機器人動力學的建模方法主要有：牛頓-歐拉方法、第二類拉格朗日方程和虛功原理。牛頓-歐拉方法以矢量力學為基礎，單個剛性構(gòu)件為建模對象，采用笛卡爾坐標描述多個構(gòu)件組成的系統(tǒng)的位姿，聯(lián)立運動副約束方程，組成系統(tǒng)動力學方程，由于積分變量為全部的笛卡爾坐標，計算量較大。第二類拉格朗日方程以分析力學為基礎，從能量角度出發(fā)，對于少自由度系統(tǒng)，求出每時每刻各活動構(gòu)件的動能和勢能，然后對廣義變量求偏導數(shù)，推導過程程式化程度高，然而當系統(tǒng)自由度增加時，計算量急劇上升，過程變得尤為繁瑣，并且無法得到關節(jié)的理想約束力。虛功原理處理問題較為簡潔，處理動力學逆問題效率較高，但計算動力學響應時同樣無法直接得到約束力。

本文采用廣義坐標形式的牛頓-歐拉方法（Schiehlen方法）對空間一般串聯(lián)機器人建立多體系統(tǒng)動力學方程。本文結(jié)合打磨機器人關節(jié)驅(qū)動的運動特征，將各關節(jié)的驅(qū)動角位移作為廣義坐標，各連桿的笛卡爾坐標通過齊次坐標變換矩陣的方法依次推導得到，所以各連桿的位姿可以轉(zhuǎn)換為以廣義變量表示的形式，然后對時間分別求一次和兩次導數(shù)代入牛頓方程和歐拉方程，聯(lián)立用矩陣形式求解。若求解動力學正問題，不需要關節(jié)理想約束力，可以用虛功原理將理想約束力和虛位移相乘得零，得到較為簡化的動力學方程。本文根據(jù)構(gòu)件幾何和物理參數(shù)，在驅(qū)動力恒定的情況下，對打磨機器人動力學正問題進行了仿真分析。

圖3　低溫貯箱隔熱層打磨機器人

圖4　打磨機器人機械結(jié)構(gòu)示意圖

打磨機器人

低溫貯箱隔熱層打磨機器人（如圖4所示）是一個六個轉(zhuǎn)動副鉸接而成的串聯(lián)機械臂。一般情況下，串聯(lián)機械臂逆運動學問題難以求解且不唯一，但對于機器人運動控制來說，這是一個基本問題。本文打磨機器人是一臺KUKA公司的210kg工業(yè)機器人，其運動學逆解則并不困難，因為其機構(gòu)構(gòu)型設計較為巧妙，即末端連續(xù)的三個轉(zhuǎn)動副（即四軸、五軸和六軸）的軸線是交于空間一個共同點。工業(yè)機器人的運動學逆解求解過程大致如下：已知機器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)（以下簡稱“位姿”），容易計算上述共同點在機器人世界坐標系（亦可稱“笛卡爾坐標系”）中的位置坐標值，接著通過聯(lián)立三個三元方程可計算機器人從基座開始的三個轉(zhuǎn)動副（依次為一軸、二軸和三軸）的角位移，最后也通過求解三變量方程組可計算機器人四軸、五軸和六軸的角位移。

圖5　打磨機器人各連桿連體坐標系

圖6　工具連體坐標系

打磨機器人動力學建模

本節(jié)采用Schiehlen多體動力學方法分析機器人操作手的動力學正問題。首先建立運動學模型，其次建立動力學模型。

運動學分析

為了描述各剛體在空間的位置和姿態(tài)，在打磨機器人各連桿上建立連體坐標系，如圖5所示。齊次坐標變換矩陣用來表征兩個不同坐標系之間的相對位置和姿態(tài)。通常地，從機器人一個構(gòu)件連體基到另一個構(gòu)件連體基的變換關系可由一個4×4的矩陣T來描述。假設矩陣i-1Ti是從構(gòu)件i-1到構(gòu)件i的變換矩陣，那么機器人相鄰構(gòu)件間的六個變換矩陣可表達如下：

其中：li和θi分別是每個構(gòu)件的尺寸常量和每個關節(jié)的角位移變量；帶有右下標的矩陣T和矩陣R分別為在前一個坐標系中描述的移動矩陣和轉(zhuǎn)動矩陣。例如，式中的0T1是指前一個坐標系（即第0個坐標系，描述為“x0y0z0”）沿著z0軸方向平移l1長度，然后繞著z0軸方向轉(zhuǎn)動θ1角度，至此第0個坐標系和第1個坐標系重合。其余類似。因此，從基坐標系0到末端坐標系6的總變換如下表示：

式中i-1Ti(θi)是一個以θi為變量的矩陣函數(shù)。

機器人末端工具固定在剛體6上，同樣地，工具的連體坐標系如圖6所示。

剛體6坐標系到工具坐標系的變換是一個常數(shù)矩陣，表示如下

所以打磨機器人末端工具在基坐標系下的位置和姿態(tài)可以表示如下：通常，末端執(zhí)行器的軌跡是給定的，所以矩陣0TG為已知。為了獲得動力學仿真的初始條件，首先計算六個關節(jié)的初始角位移。本文我們關注末端三關節(jié)的相交點J5。如果末端工具的位置已知，那么矢量在基坐標系里的描述能計算得到。所以J5的位置表示如下：

式中r→表示在基坐標系下的矢量。

此外，J5的位置也可以由如下方程獲得：

所以，三個未知數(shù)θ1、θ2和θ3可以通過如下方程組解出：

式中T(I,j)表示矩陣T的第I行第j列的元素。

此外，其余三個未知數(shù)θ4、θ5和θ6可以通過如下方程解出：

假設Ci是第i個連桿的質(zhì)心，其位置表示如下：

用方向余弦表示角速度，各連桿在局部坐標系下的角速度描述如下：

動力學分析

動力學分析旨在研究力與運動之間的關系。本文采用Schiehlen多體動力學建模方法。每個剛性連桿建立相應的牛頓歐拉方程，如式所示。

式中mi和Ji分別為各連桿的質(zhì)量和慣量，aFi和aMi分別是主動力和主動力矩，nFi和nMi分別是約束力和約束力矩。

一般地，各連桿的位置和角速度分別能表示成廣義變量或者廣義變量對時間的導數(shù)的函數(shù)，如式14,15所示：

考慮虛功原理，約束力的虛功等于零。在本文的打磨機器人動力學分析中，在各主動力作用下機器人末端執(zhí)行器的運動軌跡是所需要計算的，而約束力是不需要的。所以Schiehlen描述的動力學方程表示如下：

式中：θi和τi分別是各關節(jié)的角位移和驅(qū)動扭矩，F(xiàn)r和irRP分別是作用在末端執(zhí)行器上的外部工作阻力和局部坐標系中工作阻力作用點坐標矢量。

為了便于在Matlab/Simulink中搭建仿真數(shù)值模型，我們將式變化如下：

打磨機器人動力學仿真

本文第零至第二節(jié)已經(jīng)介紹了打磨機器人的相關背景以及動力學建模的過程，本節(jié)介紹動力學仿真算例來分析末端執(zhí)行器的運動軌跡。

如圖3所示，打磨機器人是一個6R串聯(lián)機器人。各連桿的幾何參數(shù)和物理屬性如表1和表2所示。本文算例分析中作用在各驅(qū)動關節(jié)上的扭矩為定值τ=[200000,1000,-8341.8,-65.1,-314.3,21.7]TNm。重力和作用在工具末端的工作阻力為作用在各連桿上的主動力。在此條件下，6R串聯(lián)機械手的動力學響應可以用第二部分給出的動力學模型求解。仿真結(jié)果如圖7-9所示。圖7顯示了一條軌跡。基坐標系下動態(tài)坐標點連接成一條曲線。紅色三角和黑色圓圈分別表示起始點和終止點。我們期望機器人末端執(zhí)行器走一條沿著Y軸方向的直線。然而末端執(zhí)行器沿著X和Z方向也有位移。之所以這樣，是因為驅(qū)動力給定和外部工作波動變化，或者主動力的和為一個正負波動的量。圖8和圖9分別顯示基坐標系下的平動位移和局部坐標系下的轉(zhuǎn)動角速度。

表1.機器人幾何參數(shù)

表2.機器人質(zhì)量屬性

圖8　末端執(zhí)行器平動位移

圖9　末端執(zhí)行器角位移

總結(jié)

本文采用Schiehlen方法建立了串聯(lián)機械手系統(tǒng)動力學方程，對聚氨酯泡沫隔熱層打磨機器人進行了動力學仿真分析。仿真結(jié)果表明打磨機器人末端執(zhí)行器走了一條非預期的并且是大而波動的軌跡，這將不利于最終的打磨質(zhì)量。因此，在隔熱層打磨過程中控制工具的軌跡是有難度的。為了獲得較好的打磨質(zhì)量，需要考慮精確、快速的機器人主動控制算法。

（作者單位：上海航天設備制造總廠）

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