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        探究多邊形的外角和

        2019-09-10 23:26:33李榃
        讀書文摘(下半月) 2019年12期
        關(guān)鍵詞:方向探究

        李榃

        如圖,∠1、∠2、∠3分別是三角形ABC的三個外角,∠1、∠2、∠3、∠4分別是四邊形ABCD的四個外角,∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分別是五邊形ABCDE的五個外角。設(shè)三角形ABC的三個外角和為W3,四邊形ABCD的四個外角和為W4,五邊形ABCDE的五個外角和為W5。

        (1)求W3,W4,W5。

        (2)一般地,設(shè)n邊形的n個外角和為Wn,試求Wn。

        一、探究

        (1)如圖,假設(shè)你站在A點,面向正東,那么經(jīng)過圖中的∠1對你來說意味著什么?

        若你逆時針旋轉(zhuǎn)∠1后,就與AB(箭頭所指)方向一致,繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)∠2后,就與BC(箭頭所指)方向一致,繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)∠3后,就與CA(箭頭所指)方向一致,并最終回到A點,即逆時針旋轉(zhuǎn)了一周。

        如圖,作AN∥BC,則∠2=∠BAN,∠3=∠MAN,因此,經(jīng)過上述逆時針旋轉(zhuǎn),實質(zhì)是繞A點轉(zhuǎn)了整整一圈,即W3=360°。

        (2)按照(1)中的思路,不難發(fā)現(xiàn)W4,W5,Wn均為360°。

        二、拓展

        如圖丁,∠1、∠2、∠3、∠4分別是凹四邊形ABCD的四個外角;如圖戊,∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分別是凹五邊形ABCDE的五個外角。試探究所有外角之間有何數(shù)量關(guān)系?

        點撥:如圖丁,延長DC,交AB于點P,則∠3=∠BCP。

        因為∠2=∠BCP+∠CPB=∠3+∠CPB,∠1+∠CPB+∠4+=360°,所以∠1+∠2+∠4-∠3=360°。

        思考:就外角和而言,凹多邊形與凸多邊形有何區(qū)別呢?

        當(dāng)旋轉(zhuǎn)的方向到凹角(如∠3)形成的頂點處時,角是順時針旋轉(zhuǎn);當(dāng)旋轉(zhuǎn)的方向到凸角(如∠1、∠2、∠4)形成的頂點處時,角是逆時針旋轉(zhuǎn)的。從數(shù)學(xué)角度看,就是“正”與“負(fù)”的區(qū)別,即把逆時針旋轉(zhuǎn)的角度視為“正角”,把順時針旋轉(zhuǎn)的角度視為“負(fù)角”,由此可以得出結(jié)論:對于(凹或凸)多邊形而言,所有外角的代數(shù)和為360°。

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