江蘇省徐州市侯集高級(jí)中學(xué) (221121)

李培穎

?

賞析兩組形似質(zhì)同的高考試題

江蘇省徐州市侯集高級(jí)中學(xué) (221121)

李培穎

歷年高考中，形似質(zhì)異的試題很多，即題面相似，實(shí)質(zhì)不同．但題面相似，本質(zhì)相同的試題卻鮮有．筆者研究近幾年高考試題，從形似質(zhì)同的題目中找出兩組典型，與大家共賞．

題1 (2015年高考重慶卷(理)第16題，填空題壓軸題)若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a= .

分析一:本題涉及的是由兩個(gè)一次函數(shù)加絕對(duì)值復(fù)合而成的函數(shù)最值問(wèn)題，處理絕對(duì)值問(wèn)題最常用的方法是找零點(diǎn)(使絕對(duì)值為0的變量的值)分區(qū)間分類討論法.即通過(guò)分類討論將絕對(duì)值函數(shù)化為一個(gè)分段函數(shù)，求出其最小值(用參數(shù)a表示)，再建立關(guān)于a的方程求出a的值.

解法一:當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=3|x+1|≥0，不滿足題意；當(dāng)a<-1時(shí)，

綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為-6或4.

分析二:由絕對(duì)值幾何意義，函數(shù)y=|x-a|+|x-b|表示數(shù)軸上的點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(a,0)、(b,0)的距離之和，易知其最小值為|a-b|，當(dāng)ab)時(shí)，在x∈[a,b]([b,a])時(shí)取得；當(dāng)a=b時(shí)，在x=a=b時(shí)取得.在本題中，將函數(shù)f(x)的表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)變形，就可以用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解.

解法二:f(x)=|x+1|+2|x-a|可以變形為f(x)=|x+1|+|x-a|+|x-a|①，又f(x)=|x-a|+|x-a|+|x+1|②，①+②可得2f(x)=(|x+1|+|x-a|)+(|x-a|+|x-a|)+(|x-a|+|x+1|)≥|1+a|+0+|a+1|=10，當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)取等，解得a=-6或4.

點(diǎn)評(píng):解法一中運(yùn)用分段函數(shù)的圖像，函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，結(jié)合分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想解題.解法二則是對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行合理變形，巧妙地利用絕對(duì)值的幾何意義，使問(wèn)題輕松獲解.

2014年高考安徽卷(理科)第9題就是與其形似質(zhì)同的試題．

題2 (2014年高考安徽卷(理)第9題，選擇題倒數(shù)第二題)若函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為( ).

(A)5或8 (B)-1或5

(C)-1或-4 (D)-4或8

ai|(ai為常數(shù)，且a1

|2011x-1|的最小值，則法二的優(yōu)勢(shì)就會(huì)體現(xiàn)的淋漓盡致，有興趣的讀者不妨一試．

上兩道題是小題、客觀題，無(wú)獨(dú)有偶，大題、主觀題中也有這樣的“重題”.

圖1

(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；

(2)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(3)對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB.

本題主要考查直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力．第(1)(2)問(wèn)較簡(jiǎn)單，略去，此處僅談第(3)問(wèn)．本問(wèn)中要證明PA⊥PB，即證明二者的斜率之積為定值-1．

分析一:聯(lián)立方程組解交點(diǎn)，是解決解析幾何問(wèn)題的通性通法，此解法思路簡(jiǎn)單，常規(guī)自然，但解題過(guò)程中運(yùn)算較為復(fù)雜.第三問(wèn)中要得到定值-1，可以首先解出P、A、B的坐標(biāo)(用k表示)，再用k表示直線PA、PB的斜率，最后消去參數(shù)k出現(xiàn)定值.

分析二:除了解方程組以外，還可以根據(jù)題意選擇點(diǎn)的坐標(biāo)作為參變數(shù),搭建未知和已知之間的橋梁，而未知數(shù)本身并不需要求出它的值.這種“設(shè)而不求”的解題思路,可以幫助我們簡(jiǎn)化解題過(guò)程，減少運(yùn)算量.

題3是橢圓方程已知，證明PA⊥PB．我們自然地聯(lián)想到它的逆向問(wèn)題：已知PA⊥PB，求橢圓的方程或離心率等，這與題3并沒(méi)有實(shí)質(zhì)上的區(qū)別.2012年高考湖北卷(理科)第21題就是題3的逆向問(wèn)題.

題4 (2012年高考湖北卷(理)第21題)設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對(duì)任意的k>0，都有PQ⊥PH?若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

如圖2、3，設(shè)P(x1,y1),H(x2,y2)，則x1>0,x2

>0,x1≠x2，Q(-x1,-y1),N(0,y1).

圖2 圖3

題3、4(僅指最后一問(wèn))的題面、解法、背景基本一致，這在高考解析幾何壓軸題中實(shí)屬罕見(jiàn)．

年年歲歲花相似，歲歲年年題不同．從命題角度來(lái)說(shuō)，高考試卷中的高檔題出現(xiàn)“重題”與高考命題要?jiǎng)?chuàng)新的理念相悖，是美玉有暇，應(yīng)該避免．但換個(gè)角度，說(shuō)明試題經(jīng)典，倍受命題者青睞．但是，我們不應(yīng)存有“押題”、“猜題”的僥幸心理，而應(yīng)該潛心研究，剖析經(jīng)典考題，揭示命題背景，探索解題規(guī)律，讓高考題在復(fù)習(xí)課中發(fā)揮它應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值．