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        一道拋物線定點(diǎn)問題的奇妙變題及推廣

        2016-12-17 03:17:35江蘇省興化市第一中學(xué)225700
        關(guān)鍵詞:變題傾斜角雙曲線

        江蘇省興化市第一中學(xué) (225700)

        葛新燕

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        一道拋物線定點(diǎn)問題的奇妙變題及推廣

        江蘇省興化市第一中學(xué) (225700)

        葛新燕

        一、奇妙的變題

        問題 過拋物線y2=2px的頂點(diǎn)O作互相垂直的直線OA,OB與拋物線相交于另兩點(diǎn)A,B,求證:直線AB經(jīng)過定點(diǎn)(2p,0).

        本題是一道常見的拋物線習(xí)題,以此題作為題根而編制的試題比比皆是.一種有趣的思考是:作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′,那么直線AB′是否仍然經(jīng)過定點(diǎn)呢?通過幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了這一猜想的正確性,并發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)為(-2p,0).這一有趣的事實(shí)激發(fā)了筆者的探索欲望.

        由于原題中OA,OB互相垂直,所以它們的斜率積為-1.相對于原題,此時(shí)直線OA,OB′有何特征呢?考察OA,OB′的斜率,發(fā)現(xiàn)關(guān)系并不明顯.轉(zhuǎn)換思維角度,從傾斜角的角度考察發(fā)現(xiàn),直線OA,OB′的傾斜角之和為90°,從而斜率積為1.下面,從傾斜角和為90°這一角度敘述該變題.

        定理1 過拋物線y2=2px的頂點(diǎn)O作直線OA,OB與拋物線相交于另兩點(diǎn)A,B,若直線OA,OB的傾斜角之和為90°,則直線AB過定點(diǎn)(-2p,0).

        二、問題的縱向推廣

        定理1的條件具有極大的自由度,發(fā)展空間很大;另一方面,有力的方法不僅使原問題獲得了簡解,也為我們進(jìn)一步研究問題打開了思路.

        三、問題的橫向推廣

        拋物線是圓錐曲線的一種,它和橢圓、雙曲線有著割舍不斷的血緣關(guān)系,因此,我們自然會(huì)思考:橢圓和雙曲線中是否也存在類似的定點(diǎn)呢?

        說明:當(dāng)u>0,v>0,u≠v時(shí),ux2+vy2=1表示橢圓;當(dāng)uv<0時(shí),ux2+vy2=1表示雙曲線.

        四、問題的統(tǒng)一推廣

        從成功的喜悅中抽出身來,回到起點(diǎn),將原題和變題進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)OA,OB的斜率之積分別為-1,1,都是定值,從這個(gè)角度,我們可將它們統(tǒng)一推廣為(證明略):

        類似的,我們有:

        我們從一道常見的拋物線定點(diǎn)問題出發(fā),由淺入深,由此及彼,動(dòng)中尋靜,探索發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線中一組耐人尋味的定點(diǎn).無序的運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)藏著靜態(tài)的結(jié)果,這是數(shù)學(xué)的精彩和魅力,數(shù)學(xué)之美妙著實(shí)令人如癡如醉.

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