江蘇省蘇州第十中學(xué) (215006)

徐 青

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涉及圓錐曲線焦點(diǎn)三角形旁(內(nèi))切圓的一個(gè)性質(zhì)及引申

江蘇省蘇州第十中學(xué) (215006)

徐 青

有關(guān)圓錐曲線焦點(diǎn)三角形旁(內(nèi))切圓的性質(zhì)很多，筆者借助超級(jí)幾何畫板，得到了一個(gè)新性質(zhì)，并對(duì)其作了探究引申，現(xiàn)介紹如下，供同行參考.

圖1

(1)A,P,D三點(diǎn)共線；

(2)延長(zhǎng)PF2交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)直線APD與橢圓的右準(zhǔn)線l交于點(diǎn)R,則Q,B,R三點(diǎn)共線.

由焦半徑公式，m+n=2a,m-n=2ex0，得

在證明過程中得xE=a,說明圓E與x軸切于橢圓頂點(diǎn)，這是我們非常熟悉的結(jié)論.

對(duì)性質(zhì)1(1)逆向探究易得：

證明留給讀者.

在圖1中，通過幾何畫板作圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)準(zhǔn)線上的點(diǎn)R移動(dòng)時(shí)，若R、P、A三點(diǎn)不共線，則R、Q、B三點(diǎn)也不共線，但仍有如下性質(zhì)：

圖2

(1)A,D,P三點(diǎn)共線；

(2)延長(zhǎng)PF2交雙曲線于點(diǎn)Q，設(shè)直線ADP與雙曲線的右準(zhǔn)線l交于點(diǎn)R,則Q,B,R三點(diǎn)共線.

上述性質(zhì)的證明與橢圓性質(zhì)證明完全一樣，這里從略.

如果把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看成是拋物線的另一焦點(diǎn)，上述性質(zhì)還可以類比到拋物線中，限于篇幅，不再贅述.