四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 (610068)

彭文強(qiáng) 邵 利 盧道燕

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從猜想到證明：由2244號問題引發(fā)的探究*

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 (610068)

彭文強(qiáng) 邵 利 盧道燕

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2244號數(shù)學(xué)問題提出一個(gè)簡潔優(yōu)美的不等式，受其解決過程的啟發(fā)，通過一般化和類比的思維方式，從猜想到證明，最終得到了較2244號問題更一般性的結(jié)論.

1.原問題概述

2.問題一般化

2.1 以退為進(jìn)

若對任意n≥2都有這樣的結(jié)論，那么首先對n=2應(yīng)該有：

那么，它成立嗎？

我們想f(x)在x=2時(shí)有最小值0.

2.2 再探規(guī)律

再同理可得

于是，我們有了更大的把握說明原問題成立.

2.3 一般化的證明

其中h(x)=(1+2n)2(1+x)(1+xn)，顯然h(x)>0.

g(x)=(x-2)2[(3n2n-1-2n-1)xn-1+(3n2n-5·20(2n+1))xn-2+(3n2n+1-(5+3)·21(2n+1))xn-3+(3n2n+2-(5+3×2)·22(2n+1))xn-4+…+(3n2n+k-2-(3k-1)2k-2(2n+1))xn-k+…+(3n22n-2-(3n-1)2n-2(2n+1))]，令g(x)=(x-2)2[axn-1+a0xn-2+a1xn-3+a2xn-4+…+ak-2xn-k+…+an-3x+an-2]當(dāng)n≥3時(shí)，a=(3n-2)2n-1-1>2n-1-1>0，a0=(3n-5)2n-5>2n-5>0.g(x)中括號中要出現(xiàn)ak-2xn-k，必有n≥k.由于x>0，因此，若證明了對于n≥k≥3，都有ak-2≥0，也就證明了當(dāng)n≥3時(shí)g(x)≥0.

對于任意n≥k≥3，ak-2=3n2n+k-2-(3k-1)2k-2(2n+1)=(3n-3k+1)2n+k-2-(3k-1)2k-2≥2n+k-2-(3k-1)2k-2=(2n-3k+1)2k-2≥(2k-3k+1)2k-2≥0.

這里只少了n=2的情形，似乎有點(diǎn)遺憾.

于是，我們就探究出較數(shù)學(xué)問題2244更一般的結(jié)論：

[1]尚生陳.數(shù)學(xué)問題與解答[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2015.06:64-66.